李代輝

（四川省德陽市德陽中學(xué)校）

基本不等式解題“三步走”

第一步：應(yīng)用特征

例1.已知a2+b2=1（a，b＞0），求a+b的最大值。

分析：條件中有平方和為定值、結(jié)論中有和為最值，滿足基本不等式的應(yīng)用特征，故可以直接使用基本不等式求解。而包含和與平方和的基本不等式是公式④。

例2.α為銳角，求sinαcosα的最大值。

分析：題目中只有一個(gè)字母α，但可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論中是sinα與cosα積的最值，而sinα與cosα的平方和是定值1為隱藏條件，滿足基本不等式的應(yīng)用特征。包含和與積的基本不等式是公式②。

解：∵2sinαcosα≤sin2α+cos2α=1

點(diǎn)評(píng)：在使用基本不等式時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)在和、積、倒數(shù)、平方和這四個(gè)中，題目上只有一個(gè)最值。那就需要你尋找隱藏的定值，而隱藏的定值就必然在剩下三個(gè)中（例1）。同時(shí)在使用中不一定是兩個(gè)字母，它可能是只有一個(gè)字母（例2）。

第二步：應(yīng)用技巧

在題目滿足基本不等式的應(yīng)用特征時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)不能直接得出定值或直接應(yīng)用公式的情況。這時(shí)就需要有一定的技巧進(jìn)行轉(zhuǎn)化，技巧規(guī)律為：加減常數(shù)（或定值）與乘除常數(shù)（或定值）。舉例如下：

李代輝

（四川省德陽市德陽中學(xué)校）

（當(dāng)且僅當(dāng)x+1=2時(shí)等號(hào)成立）

分析：題目中滿足倒數(shù)和與和的特征，但基本不等式中沒有對(duì)應(yīng)的公式。此時(shí)直接在結(jié)論中乘除定值后整理就可以把和與倒數(shù)和的特征轉(zhuǎn)化為和與積的特征，從而使用公式①。

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立）

∴a+b的最小值為1。

第三步：應(yīng)用檢測(cè)

基本不等式的應(yīng)用過程中會(huì)全程貫穿應(yīng)用前提“一正二定三相等”。在前面兩步中，我們主要在公式的應(yīng)用和定值上下功夫，第三步就需要考慮“一正”和“三相等”了。

“一正”是出現(xiàn)字母為負(fù)需要提負(fù)調(diào)整為正后才能用基本不等式。

“三相等”是指在計(jì)算出結(jié)果后一定要檢驗(yàn)其不等式中等號(hào)是否能夠成立，如果能成立，則最值是可以取到的；如果不成立，則不能用基本不等式求解，需要放入函數(shù)中求解。

∵a+b=1

總結(jié)：在實(shí)際使用中，按照“三步走”的原則弄懂知識(shí)點(diǎn)后，加以少量的訓(xùn)練鞏固就可以解決所有涉及基本不等式的最值問題，從而達(dá)到靈活應(yīng)用基本不等式的目的。

·編輯李建軍