杜海霞　潘燕玲

摘要：討論在教學中處理置換群的一種新的處理方法，以利于學生更好地理解教材內(nèi)容。

Abstract： In this paper， a new method of permutation group teaching is introduced， which makes the student to understand these concept easily.

關鍵詞：置換群；k-輪換；奇（偶）置換；階

Key words： permutation group；K-rotation；odd （even） replacement；order

中圖分類號：O152.1 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2016）07-0186-02

0 引言

置換群是人類最早研究的一類群，利用這種群，迦羅瓦成功的解決了高次代數(shù)方程是否可用根式求解的問題[1]。由于每個有限的抽象群都與一個置換群同構(gòu)，也就是說，在同構(gòu)意義下，若把置換群研究清楚了，那么所有的有限群即完全被了解，故置換群是一類非常重要的群。正是由于它的重要性，引起了學術(shù)界的廣泛關注，文獻[2]研究了置換群群的循環(huán)指數(shù)，文獻[3]研究有有界運動的置換群，給出了非單位元恰有兩個運動的有極大次數(shù)的傳遞置換群的結(jié)構(gòu)和分類，文獻[4]給出了計算置換的乘法、置換的逆、置換的階、置換的冪、置換的輪換分解、置換的奇偶性判斷的C語言程序，文獻[5]利用ONan-Scott定理刻畫了3次自由次的擬本原置換群和二部擬本原置換群，并給出了一般3次自由置換群的描述，文獻[6]研究了給定生成元集、給定群、給定階的置換群的群圖的作圖方法，并給出若干計算機作圖的實例，文獻[7]確定Sn的元素的階的集合On的第二種方法，同時給出了例子，文獻[8]對素數(shù)冪次的本原置換群給出一個清晰明了的刻畫。

教材[1]是目前各高校近世代數(shù)課程選用較多的一本優(yōu)秀教材，它對置換群一節(jié)的處理是，先給出定義，再以定理形式給出相關性質(zhì)，但對于初學者來說，總感覺邏輯性不是那么強，不知為什么介紹完定理1，介紹定理2，所以本人試著以例子引入并貫穿整節(jié)課的方式，給出一種新的處理方法。這樣的處理有以下優(yōu)點：

①以例子做主線，激發(fā)學生學習興趣；

②可加深學生對所學過的知識的認識；

③可引導學生逐步掌握本節(jié)課所有內(nèi)容。

為檢驗新處理方式的效果，筆者對所任教的12屆數(shù)學與應用數(shù)學四個班的學生及13屆數(shù)學與應用數(shù)學四個班的學生進行了比較教學，并對他們進行了問卷調(diào)查，剔除遺漏和錯誤等不合格問卷，獲得有效問卷451份，經(jīng)統(tǒng)計結(jié)果如表1、表2所示。

1 置換群教學的新處理

由凱萊定理可知，任何n階有限群都同n元對稱群Sn的一個子群同構(gòu)。教材[1]就把n元對稱群的任何一個子群定義為置換群。也就是說，置換群這一節(jié)主要介紹的內(nèi)容，在同構(gòu)意義下，可推廣到一般抽象的有限群。我們在研究有限集合的置換時，有限集合中的元素是什么是無關緊要的。因此，為方便起見，這個集合的元素常用數(shù)碼1，2，…，n表示，并且一般假設n>1。按照教材[1]，接下來給出k-輪換的定義，以及輪換相乘的性質(zhì)，可一上來就講這些理論，學生理解起來就會有困難，不知為什么要講，講這些有什么用，而通過現(xiàn)在的處理方式，就會避免這個問題。

首先，讓同學們自己寫出S4，寫的過程會發(fā)現(xiàn)，4個元素的全排寫起來并不是那么簡單，關鍵是全寫出來，書寫很不方便，所以我們想，對于置換，是否有更簡單的表示方法，且能把所有的置換區(qū)分開，不重不漏。這時，給出k-輪換的定義，學生就會很欣喜的接受，而且還會發(fā)現(xiàn)，S4中的24個元素，按照k-輪換的定義，我們只能寫出21個，剩下的3個該如何表示？引導學生思考。此時，可以給出下面定理：

定理1：每個（非輪換）置換都可表為不相連輪換之積，每個輪換都可表為對換之積，因此，每個置換都可表為對之積。

更進一步，每個非輪換置換表為不相連輪換之積時，元素相乘的先后順序是否可以顛倒？于是可得如下結(jié)論。

定理2：不相連輪換相乘時可以交換。

這樣，用輪換和輪換的乘積來表示置換，在書寫時非常方便。

接著，讓同學們自己把S4的24個置換用輪換或輪換的乘積表示出來。這個過程，同學們又會發(fā)現(xiàn)，把每一個置換表示成對換乘積時，表示方法不是唯一的。例如：

（132）=（12）（13）=（31）（32）=（12）（32）（23）（13）；

（1432）=（23）（12）（14）=（34）（13）（23）=（23）（13）（23）（13）（14）。

認真觀察會發(fā)現(xiàn)，同一個置換雖然有不同的對換分解，但各個分解中，對換個數(shù)的奇偶性必然相同，此即下面的定理。

定理3：每個置換表成對換乘積時，其對換個數(shù)的奇偶性不變。

這樣，就有S4這個特例的結(jié)論推廣到了一般的置換群。而且，順理成章的給出奇置換與偶置換的定義。同時，進一步，我們還有結(jié)論。

定理4：一個n元置換群中的置換或者全是偶置換，或者奇、偶置換各占一半，且全體偶置換做成一個子群。

證明：設G為任意一個n元置換群。因為G必包含恒等置換，而恒等置換是偶置換，從而G必包含偶置換。

如果G中的置換全為偶置換，則結(jié)論已成立；如果G中的置換含有奇置換，任取其一，設為σ。并令A，B分別為G中全體奇、偶置換作成的集合，則由于σ與σ-1都是奇置換，從而易知φ：τ → τσ（？坌τ∈A）

是A到B的一個雙射.因此，A與B元素個數(shù)相同，即JG中的奇、偶置換的個數(shù)相等，各占一半（從而還可知，此時的階為偶數(shù)）。而且此時的全體偶置換作成子群顯然。

以上的內(nèi)容都是對置換群整體的把握，那么，對于置換群中的元素，及具體的每一個置換，從群的角度出發(fā)，其階又該如何？觀察S4，容易得出，（12）的階是2，（123）的階是3，（12）（34）的階是2，于是，有以下更一般的判別方法。

定理5：k-輪換的階為k，不相連輪換乘積的階為各因子的階的最小公倍數(shù)。

2 結(jié)論

上述處理方式，效果明顯，通過學期期末考試可知，卷面中涉及置換群一節(jié)的內(nèi)容，百分之九十七的同學都能很好的掌握。置換群是群論中很重要的一類群，本文只是根據(jù)個人理解，給出了一種在本期教學中實踐效果很好的一種新的教學處理方式，而其更多的，適應性更廣、更好的處理方式，有待我們進一步的研究。

參考文獻：

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[2]王彥輝，方騰.樹的計數(shù)[J].數(shù)學的實踐與認識，2014，44（10）：169-175.

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[8]蔡遷，張華.素數(shù)冪次本原置換群的一個簡明刻畫[J].云南師范大學學報（自然科學版），2014，34（5）：6-10.