余世豪

【摘 要】數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)思維的支撐點(diǎn)，是數(shù)學(xué)知識(shí)的附著點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)應(yīng)用的突破點(diǎn)；數(shù)學(xué)模型思想的建立，是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視模型思想的滲透，讓學(xué)生經(jīng)歷建立模型，利用模型解題的過程。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)建；基本模型；效率

一、教學(xué)片段與點(diǎn)評(píng)

片段一：構(gòu)建基本模型，積累經(jīng)驗(yàn)

出示原題：直線l表示草原上的一條河流，一騎馬少年從A地出發(fā)讓馬去河邊飲水，然后返回于B地家中，他沿怎樣的路線行走，能使路程最短？作出這條最短路線。

生1：只要作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B，然后連接點(diǎn)B和點(diǎn)A，與直線l的交點(diǎn)為C，連接BC即可。所求的最短路線就是圖中的A-C-B。

師：這樣作圖的依據(jù)是什么？

生2：三角形兩邊之和大于第三邊。

生3：應(yīng)該是“兩點(diǎn)之間線段最短”。

師：其實(shí)兩位同學(xué)說的都對(duì)。這個(gè)問題實(shí)際上是利用軸對(duì)稱變換的思想，把A，B在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決。我們可以把這個(gè)問題歸納為“馬飲水”的數(shù)學(xué)模型，解決此類問題的方法就是通過作點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)化“同”為“異”，化“折”為“直”。

片段二：探究基本模型，深化認(rèn)識(shí)

問題1：如圖，BC=6cm，以BC為直徑作⊙O，D是半圓BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，E是半圓BC的一個(gè)六等分點(diǎn)，P是直徑BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP、EP，則DP+EP的最小值是 cm。

生4：作點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接DE， DE的長度就是所求的最小值……

問題2：如圖，BC=6cm，以BC為邊作△ABC，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，且BC邊上的高為4，BC邊上有一動(dòng)點(diǎn)P，使得△PDE周長最小。

①、請(qǐng)你在BC邊上作出點(diǎn)P，保留作圖痕跡，不寫作法。

②、請(qǐng)直接寫出△PDE周長的最小值： 。

生5：作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D，連接ED， 利用勾股定理可求出ED的長度，也就是所求的最小值，所以答案應(yīng)該是5。

生6：不對(duì)。5是PD+PE的最小值，△PDE周長的最小值應(yīng)該再加上DE的長，正確答案是8……

片段三：拓展基本模型，提升思維

問題3：如圖，一個(gè)底面半徑為1cm，高度為2πcm的無蓋圓柱形玻璃容器，A、B兩點(diǎn)在容器頂部一條直徑的兩端，現(xiàn)有一只小甲蟲在容器外部A點(diǎn)正下方1cm的M處.

（1）若容器外部B點(diǎn)正下方，距離底部1cm的N處有食物，則這只小甲蟲要到N處，最短爬行的距離____cm。

（2）若N點(diǎn)是在容器的內(nèi)部，則小甲蟲最短爬行的距離是____cm。

生7：題（1）只要利用兩點(diǎn)之間線段最短，在圓柱的側(cè)面展開圖上直接MN就可以了。

生8：題（2）與題（1）相同。

生9：我認(rèn)為不同，因?yàn)槭澄锸窃谌萜鞯膬?nèi)部，小甲蟲在容器外部，所以小甲蟲從想點(diǎn)M爬到點(diǎn)N，必須先爬到容器口，所以應(yīng)該在圓柱的側(cè)面展開圖中作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，連接MN，就可以用勾股定理求出最短路徑是cm……

二、教學(xué)啟示：

（一）數(shù)學(xué)教學(xué)要重視基本模型的構(gòu)建與挖掘

教師要立足日常課堂教學(xué)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從中提煉出基本圖形，幫助學(xué)生歸納和掌握其主要特征和性質(zhì)，體會(huì)蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，并運(yùn)用其解決問題，使學(xué)生真正做到解一題，會(huì)一類，通一片。這既有利于培養(yǎng)學(xué)生“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的分析問題能力，又可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，提高解決問題的能力。

（二）數(shù)學(xué)教學(xué)要注重模型思想的滲透

我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中必須重視模型思想的滲透，將數(shù)學(xué)模型思想寓于具體的概念、法則、實(shí)際問題的解決以及一般數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)和探索中，使學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律與方法的探索、歸納和提煉過程中，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)模型的涵義，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型的作用，感受數(shù)學(xué)模型的思想，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，樹立數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)，初步獲得發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決簡單實(shí)際問題的能力。

（三）數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)

作為復(fù)習(xí)課，教師更應(yīng)關(guān)注學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生主動(dòng)參與、自主探索，讓學(xué)生在探索和思考的過程中感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。通過教師的引領(lǐng)，讓學(xué)生在互相交流中互相促進(jìn)，掌握探究方法；在體驗(yàn)中自主提升，豐富數(shù)學(xué)思考；在反思中主動(dòng)生長，構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)體系；在開放中和諧發(fā)展，感受數(shù)學(xué)之美！