侯汝臣，　史江濤

(煙臺大學數(shù)學與信息科學學院, 山東煙臺264005)

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實數(shù)域上二階實對稱矩陣對的不可分解標準型

侯汝臣，史江濤

(煙臺大學數(shù)學與信息科學學院, 山東煙臺264005)

本文刻畫了所有的由兩個二階實對稱矩陣構(gòu)成的，在相似等價意義下互不相同的，不可分解矩陣對的相似標準型.

相似標準型； 實對稱矩陣； 矩陣對

1　引　　言

定理如下給出了所有的由兩個2×2實對稱矩陣構(gòu)成的既互不相似，又不可分解的矩陣對

若非特別指出，本文出現(xiàn)的矩陣都定義在實數(shù)域上.

2　實數(shù)域上二階實對稱矩陣對的相似標準型

定義 2.1設(A1,A2)和(B1,B2)都是由兩個2×2矩陣構(gòu)成的矩陣對.如果存在2×2可逆矩陣T， 使得

TA1T-1=B1,TA2T-1=B2，

則稱矩陣對(A1,A2)相似于矩陣對(B1,B2).

容易證明，這里定義的相似關系是一種等價關系.

定義2.2設(A1,A2)是由兩個2×2矩陣構(gòu)成的矩陣對.如果存在2×2可逆矩陣T，使得TA1T-1,TA2T-1都是對角陣，則稱(A1,A2)可分解或可相似對角化，否則則稱(A1,A2)不可分解或不可相似對角化.

注意，即使A1,A2都可相似對角化，矩陣對(A1,A2)不一定可相似對角化.

下面引理易證.

引理2.1設(A1,A2)是由兩個2×2實對稱矩陣構(gòu)成的矩陣對.如果其中一個是數(shù)量矩陣，則(A1,A2)可分解.

主定理的證明設(A1,A2)是由兩個2×2實對稱矩陣構(gòu)成的矩陣對.首先，需知在什么條件下(A1,A2)不可分解.因為Ai是實對稱矩陣，i=1,2,所以存在2×2實正交陣Di，使得

(2.1)

其中μi,λi∈, i=1,2.根據(jù)引理2.1， 容易證明， 要使得(A1,A2)不可分解，必須μ1≠μ2,λ1≠λ2. 若需要，在(2.1)兩個等式的兩邊有選擇的左乘矩陣

右乘D-1可以使μ1<μ2,λ1<λ2. 因此可以假設(A1,A2)是一個不可分解的矩陣對，使得(2.1)成立，并且μ1<μ2,λ1<λ2.

設實對稱矩陣對(B1,B2)和(A1,A2)相似，則存在實可逆矩陣C，使得

Bi=CAiC-1，i=1,2.

固定(2.1)式中的D1，D2，考慮

它又相似于

或者

參見[2].利用簡單的計算易得(A1,A2)總會相似于以下形式

其中μ1<μ2,λ1<λ2，θ∈(0,2π].

需要以上形式既有一般性又有唯一性.因此還需要做以下考慮.

要想改善水利工程管理，首先應加深對水利工程重要性的認識，全面提升工程隊伍素質(zhì)，同時完善管理體制，并注意規(guī)范監(jiān)管制度，全面提升監(jiān)管質(zhì)量，將管理工作落實到水利建設各環(huán)節(jié)之中，并注意增加竣工以后的資金投入，加強后期管理與維護。具體來說，可以從下面幾個方面改進管理方法。

?θ=ω+kπ,k∈.

因此如果限制θ∈[0,π),會得到θ=ω.

在相似等價意義下，如果要求實對稱矩陣對不可分解且互不相同，需要在給定的相似等價類里確定一個唯一的代表元.首先我們需要找到滿足下面等式的2×2可逆矩陣P，

(2.2)

假設P滿足 (2.2).設

那么由(2.2)有λ1a12=λ2a12，以及λ1a21=λ2a21.因為λ1≠λ2，所以a12=a21=0. 因此

其中a11a22≠0.進而考慮若

成立，則當且僅當

成立，當且僅當

成立，當且僅當

成立，當且僅當

成立，當且僅當

成立.因為θ,ω∈[0,π),所以上式成立當且僅當

成立. 當且僅當

最后，如果

[1]王萼芳，石生明.高等代數(shù) [M].3版. 北京：高等教育出版社，2003.

[2]Horn R, Johnson C. Matrix Analysis[M]. New York:Cambridge University Press,1985:69.

Indecomposable Standard Forms of Pairs of Real Symmetric Matrixes of Rank 2

HOURu-chen

(School of Mathematics and Information Science, Yantai University，Yantai Shandong 264005, China)

Under the similar equivalent condition, we describe all non-isomorphic indecomposable pairs of real symmetric matrixes of rank 2.

similar standard form; real symmetric matrix; a pair of matrix

2015-12-20；[修改日期]2016-03-29

山東省教育科學“十二五”規(guī)劃2015年度“高等教育數(shù)學教學專項”一般資助課題; 高校代數(shù)系列課程一體化建設(YBS15018)

侯汝臣(1974-)，男，博士，講師，從事代數(shù)表示論研究. Email: hourc@mail.ustc.edu.cn

O151.21

C

1672-1454(2016)03-0090-04