陳學慧，　朱　婧，　王榮明

(北京科技大學數(shù)理學院，北京100083)

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概率公式教學研究與應用探索

陳學慧，朱婧，王榮明

(北京科技大學數(shù)理學院，北京100083)

采用研究型教學方法，結合實際生活案例——抽簽問題和小客車指標搖號問題，對全概率公式進行生動講解，讓學生對全概率公式有全面深刻理解，并能用所學的知識去觀察生活，通過建立簡單的數(shù)學模型，解決生活中的實際問題.

全概率公式； 抽簽問題； 小客車指標搖號問題； 研究型教學

1　引　　言

全概率公式是概率論與數(shù)理統(tǒng)計學科中的一個非常重要的公式，主要用于計算復雜事件中由因索果類問題的概率，它實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用，可以將解題過程化繁為簡，并具有深刻實際應用的價值，在醫(yī)療診斷、投資、保險等不確定問題中有著重要的應用.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是大學數(shù)學科目中與現(xiàn)實生活聯(lián)系最密切的學科之一.在新型的研究型教學模式下，教師們投入大量的精力挖掘生活中有趣實用的案例[1-3]，以知識教育為依托，把學習、研究、實踐有機的結合以引導學生的高度參與以及主動性的充分發(fā)揮，并且創(chuàng)造性地運用知識和能力.本文課程設計從抽簽問題引出全概率公式，剖析全概率公式、進一步利用全概率公式探索研究小客車指標搖號問題，最后對公式提出進一步的拓展思考.在講解過程中培養(yǎng)學生由淺入深的分析問題、解決問題的思維方式，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題和創(chuàng)造性地解決問題的能力，同時養(yǎng)成科學研究的學習態(tài)度.

2　全概率公式的引入

引入是非常重要的環(huán)節(jié)，如果課程一開始直接介紹樣本空間定義和抽象全概率公式，學生會感覺突兀難于接受.為使學生更好理解全概率公式，可選用趣味性的例題激發(fā)學生的學習興趣.

引例小米的明星產(chǎn)品“LED燈”號稱“停電不怕怕神燈”，老師手里有2個，而10個同學都想得到它，只好抽簽解決.于是，10張同樣的卡片只有2張上印有“神燈”，其余的什么也沒寫，將其洗勻，無放回依次抽取，問第二個人中簽的概率是多少？

分析容易知道，第一個人中簽的概率為2/10，提問學生第二人中簽的概率如何計算，引導學生發(fā)現(xiàn)求解過程中遇到的困難，因為第二個人中簽的概率受到第一個中簽與不中簽的影響，第一個人中簽的情況下第二個人中簽的概率是1/9，第一個人未中簽的情況下第二個人中簽的概率是2/9，該選擇哪一個？或者第二個人中簽的概率與1/9和2/9有什么關系？引導學生帶著問題一起推導下面的公式.

設 A1————第 1 個人抽到“神燈”，A2——第 2 個人抽到“神燈”，則

(1)

3　全概率公式的提出

進而引出樣本空間的劃分的定義.在一組樣本空間的劃分下，才能推導出全概率公式.

定義[4]設 (i)S試驗為E 的樣本空間，A?S，

(ii)B1,B2,…,Bn是樣本空間 S 的一個劃分，且P(Bi)>0,i=1,2,…n. ，

則

上式稱為全概率公式.

4　全概率公式剖析

4.1公式的數(shù)學思想

全概率公式蘊涵著“化整為零，各個擊破，積少成多”的思想，“化整為零”指的是借助于樣本空間的劃分，應用加法原理將一個復雜事件的概率拆成若干個子事件概率的和，即

P(A)=P(AB1)∪P(AB2)∪…∪P(ABn)，

“各個擊破”指的是每一個子事件的概率應用乘法原理計算，即

“積少成多”指將n個子事件的概率求和，得到全概率公式，即

4.2概率樹

圖1　概率樹

4.3公式運用的關鍵

運用公式的關鍵是尋找一組樣本空間的劃分，即“找劃分”.如果“劃分”選擇不適當，則不利于求解.通常，若某事件的發(fā)生需要多個步驟，可根據(jù)完成前一步驟的所有可能結果對樣本空間進行劃分.例如，抽簽問題中第k個人中簽的概率受到前k-1個人中簽結果的影響，那么前k-1個人中簽的所有可能結果就是樣本空間的一個劃分.

5　應用探索—小客車指標搖號問題

5.1背景介紹

2011年，北京市政府為了緩解交通擁堵，提出限牌治堵，實行每月?lián)u號一次，參與搖號者皆是等可能的中簽率，這一政策連續(xù)執(zhí)行了三年，仍有一大部分的人未搖中.2014年，為了幫助久搖不中的人中簽，政府又出臺新措施，設置“階梯中簽率”，每兩月?lián)u號一次.按照累計搖號次數(shù)將搖號人群分成三個階段，24次以內(nèi)的稱為第一階段，他的中簽率為基準中簽率，其它階段按照每累加12次分成二三階段，以此類推，他們的中簽率也相應的變成基準中簽率的倍數(shù).在每一期搖號結束后，相關報道會給出本期基準中簽率的數(shù)據(jù)，下面用一個例題來解讀基準中簽率的數(shù)據(jù)是如何得來的.

5.2例題求解

據(jù)數(shù)據(jù)調(diào)查，截止到2015年2月8日，北京市普通小客車指標申請人共有227.5萬，將共同競爭1.84萬個指標，第一、二、三階段人數(shù)分別為170萬, 40.3萬和17.2萬人，他們的中簽率分別為r、2r和3r.求: 當期基準中簽率r是多少？

畫出概率樹

解得r=0.0061.

注本題解得基準中簽率與北京晨報網(wǎng)2015年2月26日發(fā)布的數(shù)據(jù)完全一致.

5.3拓展思考

(i) 北京市小客車指標搖號系統(tǒng)實際過程中,如何實現(xiàn)階梯中簽率的？

(ii) “階梯中簽率”確實能幫助久搖不中者中簽嗎？請畫圖比較.

(iii) 假設基準中簽率基本不變的情況下，若某人以90%的概率中簽，至少需要多少年？

(iv) 當充滿樣本空間的事件組B1,B2,…,Bn中不滿足互不相容的條件，全概率公式還適用嗎？可否找到一個廣義的全概率公式求解復雜事件的概率，即

6　小　　結

靈活使用全概率公式對解決實際問題帶來很大方便.北京小客車指標搖號問題是全概率公式的探索應用，教學過程中引導學生結合現(xiàn)實生活逐步發(fā)現(xiàn)問題，思考問題，激發(fā)學生探究新知識、新領域的興趣，培養(yǎng)研究性的學習能力.

[1]李春娥. 貝葉斯公式及其應用的教學研究文章題目[J]. 大學數(shù)學,2015,31(2):119-121.

[2]李曉康. 案例式教學法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中的應用[J].價值工程,2011,30(25): 204-205.

[3]陳學慧，趙魯濤，張志剛. 案例式中心極限定理教學研究[J]. 大學數(shù)學，2015, 31(2):114-118.

[4]范玉妹，王萍，汪飛星，李娜. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第2版)[M].北京：機械工業(yè)出版社，2012.

The Study on Case-based Teaching Method of Total Probability Formula

CHENXue-hui，ZHUJing，WANGRong-ming

(School of Mathematics and Physics, University Of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)

Total probability formula is teached lively by case-based teaching method. Actual cases are chose in this paper, ie.Problems of drawing lots and the car license plate lottery.It will help students to deepen the comprehension on total probability formula, observe actual cases in the life by the knowledge learned and solve actual problems.

total probability formula; problems of drawing lots; the car license plate lottery; case- based teaching

2015-01-24；[修改日期]2016-03-18

北京高等學校教育教學改革立項項目(2015-ms028)；北京科技大學教育教學改革項目

陳學慧(1980-),女, 博士, 副教授，從事微分方程理論及應用的研究.Email:xuehuichen@ustb.edu.cn

O21

C

1672-1454(2016)03-0086-04