●裘園園

(越崎中學(xué)　浙江紹興　312050)

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“挖掘、延伸”談解題*

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(越崎中學(xué)浙江紹興312050)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題是最基本的活動(dòng)形式.解題是學(xué)生牢固掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的必要途徑，也是檢驗(yàn)知識、運(yùn)用知識的基本形式,因此解題教學(xué)在數(shù)學(xué)教育中占據(jù)非常重要的地位.文章就如何優(yōu)化解題教學(xué)做點(diǎn)淺顯探討.

解題教學(xué);縱向挖掘;橫向延伸;現(xiàn)學(xué)活用

圖1

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》指出：提高數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題(包括簡單的實(shí)際問題)的能力，數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力，發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識的能力[1].因此，提高學(xué)生的解題能力，從而推進(jìn)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)成為當(dāng)今中學(xué)數(shù)學(xué)教師最值得研究的課題.筆者認(rèn)為題不在多而在于精，關(guān)鍵是做好挖掘工作，由小及大，由淺入深，讓學(xué)生猶如看偵探片般，先激起好奇心，然后有興趣，最后恍然大悟.下面筆者就教學(xué)實(shí)踐中遇到的一個(gè)典型案例談?wù)勛约旱淖疽?

例1如圖1，點(diǎn)P(4,3)為圓x2+y2=25上一點(diǎn)，點(diǎn)E,F為y軸上的2個(gè)點(diǎn)，△PEF是以P為頂點(diǎn)的等腰三角形，直線PE,PF交圓于點(diǎn)D,C，則直線CD的斜率是

()

1　縱向挖掘，層層深入

縱向挖掘主要指沿著主線，由“如何解決這個(gè)問題”到“可以解決哪些相同類似的問題”到“問題是否具備結(jié)論性”，步步深入，層層推進(jìn)，啟發(fā)學(xué)生對問題進(jìn)行更深刻地思考.

1.1一題多解

本題屬于常規(guī)題，由題中以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰△PEF，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，可以馬上找到破題切入點(diǎn)：kPE=-kPF，即kPD=-kPC.學(xué)生常會有要求什么就設(shè)什么的習(xí)慣，本題同樣可行.

解法1設(shè)直線CD的方程為

y=kx+b，

設(shè)點(diǎn)C(x1,y1)，D(x2,y2).由kPD=-kPC可得

把y1=kx1+b和y2=kx2+b代入并化簡可得

2kx1x2+(b-3-4k)(x1+x2)-8b+24=0,

聯(lián)立直線CD的方程和圓方程，將韋達(dá)定理代入化簡可得

24k2-50k+24+(6k-8)b=0，

該式對任意b都成立，從而

6k-8=0,

且

24k2-50k+24=0,

評注該解法雖然順其自然，但比較繁，而且最后還有一個(gè)恒成立的問題擺在那里，學(xué)生的可操作性不強(qiáng).仔細(xì)想想，要求CD的斜率還有一種更自然的方法，就是求出點(diǎn)C,D的坐標(biāo).

解法2設(shè)直線PE的斜率為k，則直線PE的方程為

y-3=k(x-4)，

聯(lián)立圓方程，消去y得到關(guān)于x的方程，結(jié)合方程的1個(gè)解為xP=4，可得

代入直線方程可得

評注該解法比解法1的計(jì)算量要少，而且也不是特別繁瑣，操作性尚可.求直線的斜率，除了兩點(diǎn)公式外，最原始的定義是傾斜角的正切值，因此也可從CD的傾斜角出發(fā)考慮問題，于是解法3順應(yīng)而生.

圖2

kON·kCD=-1.

評注該解法利用數(shù)形結(jié)合，直觀而又簡潔，對于初中圓的知識學(xué)習(xí)較佳的學(xué)生不失為優(yōu)選方法.當(dāng)然作為選擇題，我們總希望學(xué)生能夠“小題小做”，因此特殊位置、極端情況的考慮必不可少.

解法4取特殊位置，把點(diǎn)D置于y軸上，即D(0，5)，則根據(jù)對稱性可得F(0，1)，再將直線PF的方程代入圓方程，就可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，求直線CD的斜率迎刃而解.

解法5考慮極端情況，讓點(diǎn)C,D無限接近，趨向同一個(gè)點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)就是點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)(-4,3)，直線CD的斜率就變成該點(diǎn)處的切線斜率.

1.2多題同解

雖然解法3～5簡潔快速，但不可否認(rèn)，從可持續(xù)發(fā)展的角度考慮，解法1和解法2還是具備普適性的.可將原題進(jìn)行如下變式：

變式1點(diǎn)P(4,3)為圓x2+y2=25上一點(diǎn)，直線PD,PC交圓于點(diǎn)D,C，若PD,PC的傾斜角互補(bǔ)，則直線CD的斜率是______.

(解法與原題相同.)

變式2點(diǎn)P(4,3)為圓x2+y2=25上一點(diǎn)，直線PD,PC交圓于點(diǎn)D,C，若kPC+kPD=0，則直線CD的斜率是______.

(解法與原題相同.)

變式3點(diǎn)P(4,3)為圓x2+y2=25上一點(diǎn)，直線PD,PC交圓于點(diǎn)D,C，若kPC+kPD=a(常數(shù))，則直線CD的斜率是______.

(解法與原題相似，此變式中的a為泛指，在具體問題中可用具體數(shù)值代替.)

變式4點(diǎn)P(4,3)為圓x2+y2=25上一點(diǎn)，直線PD,PC交圓于點(diǎn)D,C，若kPC·kPD=b(常數(shù))，則直線CD的斜率是______.

(解法與原題相似，此變式中的b為泛指，在具體問題中可用具體數(shù)值代替.)

通過構(gòu)建不同的kPC和kPD關(guān)系式，還能得到很多其他變式，利用解法1和解法2都能解決.因此在解題教學(xué)中對學(xué)生強(qiáng)調(diào)一題多解固然重要，通性通法才是王道.

1.3還原本質(zhì)

如果教學(xué)就在此處戛然而止，那么這道例題只體現(xiàn)了它面上的教學(xué)功能，而未能從聯(lián)系發(fā)展的角度體現(xiàn)它的教學(xué)暗示作用，因此橫向挖掘也非常重要.

2　橫向拓展，溝通聯(lián)系

2.1類比延伸

圓錐曲線中的橢圓與圓具備可比性，因此可類比得到：

下面利用上述解法2給出證明：

證明設(shè)直線PA:y-y0=k(x-x0)，聯(lián)立橢圓方程，消去y可得

(a2k2+b2)x2+2ka2(y0-kx0)x+

a2(y0-kx0)2-a2b2=0.

設(shè)該方程的1個(gè)根為x0，則另1個(gè)根為

用-k代替k可得

(1)

又因?yàn)镻(x0,y0)在橢圓上，所以

即

由此可得:

從橢圓中的結(jié)論發(fā)現(xiàn)，圓中的結(jié)論可以認(rèn)為是橢圓中當(dāng)a2=b2時(shí)的特殊情況.

2.2問題推廣

將橢圓方程中的b2換成-b2，可得雙曲線中的相應(yīng)結(jié)論,即

統(tǒng)一結(jié)論過圓錐曲線上任一定點(diǎn)P(x0,y0)(其中y0≠0)引2條斜率互為相反數(shù)的直線與曲線交于點(diǎn)A,B，則直線AB的斜率為定值[2].

這樣的結(jié)論如果直接給出，學(xué)生印象大多不會深刻，但是通過以上的橫向類比，學(xué)生看到任何一種曲線的這種問題時(shí)都會聯(lián)想到這個(gè)統(tǒng)一結(jié)論，解題的效果自然會好一些.

3　現(xiàn)學(xué)活用，體會成果

實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，解題教學(xué)的有效性就要看學(xué)生的應(yīng)用反饋.教學(xué)中，筆者在得出以上結(jié)論后拋出了下面這道例題：

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2)若k1+k2=0，求實(shí)數(shù)k.

(2016年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題第17題)

縱觀許多優(yōu)秀教師的解題教學(xué)反思，筆者感悟到解題教學(xué)需要把握3個(gè)字：精、深、廣.

所謂精，就是選題要精，能用一道題做到的事情絕不用2道題來完成.只有通過對有限道題的解題教學(xué)，讓學(xué)生領(lǐng)悟到那種解許多道題甚至無數(shù)道題都未能生成的數(shù)學(xué)機(jī)智，那么學(xué)生才算真正脫離“題?！?

所謂深，就是對于所選擇的題挖掘要深，記得有位數(shù)學(xué)教師說過：對一道題從不同的角度挖掘100次，遠(yuǎn)勝過對100道題只淺挖一次[3].當(dāng)然深挖的前提就需要教師課前做足功夫，要給學(xué)生一滴水，首先自己得有一桶水！

所謂廣，就是解題教學(xué)要服務(wù)更廣泛的問題，這就需要教師在教學(xué)中立足“基本套路”，教授給學(xué)生更多“接地氣”的解題方法，讓學(xué)生不僅會，而且熟練.

作為教師，只有與時(shí)俱進(jìn)，不斷學(xué)習(xí)，不斷審視和改進(jìn)自己的教學(xué)，才能讓教學(xué)更加優(yōu)化，讓課堂更加高效！

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(試驗(yàn))[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]黃近.圓錐曲線中的斜率為定值問題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)：上旬，2010(10):7-8.

[3]陳柏良.數(shù)學(xué)課堂教育中的三個(gè)“遠(yuǎn)大于”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2011(12)：21-24.

*收文日期：2016-06-01；2016-07-01

裘園園(1982-)，女，浙江紹興人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

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1003-6407(2016)09-10-03