●易文輝

(東莞市教育局教研室　廣東東莞　523000)

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體驗(yàn)概念生成促進(jìn)思維發(fā)展

——“充分條件與必要條件”(新授課)為例*

●易文輝

(東莞市教育局教研室廣東東莞523000)

數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷、證明的重要依據(jù).概念學(xué)習(xí)中應(yīng)抓住概念的本質(zhì)、關(guān)注概念生成，在概念學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和思考如何研究數(shù)學(xué)對(duì)象、如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，從而凸顯思維的發(fā)展.充分條件、必要條件和充要條件是基本的數(shù)學(xué)用語(yǔ)，數(shù)學(xué)學(xué)科中大量的命題用它們來(lái)敘述，在充分條件與必要條件的學(xué)習(xí)中，通過(guò)充分條件與必要條件的數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)背景，初步了解充分、必要條件的含義，然后再通過(guò)不同角度的思考，加深對(duì)概念內(nèi)涵、本質(zhì)的理解，及其在數(shù)學(xué)命題中的地位和作用.

概念生成;充分條件;必要條件;思維

數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷、論證的重要依據(jù)，概念學(xué)習(xí)的核心任務(wù)就是要體會(huì)概念產(chǎn)生、發(fā)展的過(guò)程，理解概念的本質(zhì)，構(gòu)建概念系統(tǒng)，完善認(rèn)知體系.因此，在學(xué)習(xí)中，不僅僅要理解“是什么”，還應(yīng)該明白“為什么”，同時(shí)要掌握知識(shí)之間的內(nèi)在、橫向聯(lián)系.人教A版選修2-1第1.2節(jié)“充分條件與必要條件”[1]的學(xué)習(xí)不能孤立地學(xué)，應(yīng)該緊扣“現(xiàn)實(shí)背景”和“數(shù)學(xué)內(nèi)在聯(lián)系”這兩大源頭，凸顯“為何、何為”的哲學(xué)考量，以實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)的有效達(dá)成.

1　學(xué)習(xí)目標(biāo)

知識(shí)與技能1)了解推斷符號(hào)“?”的含義，理解充分條件與必要條件的概念；2)初步掌握充分條件與必要條件的判斷方法與簡(jiǎn)單應(yīng)用.

過(guò)程與方法1)通過(guò)復(fù)習(xí)命題的真假判斷及4種命題之間的關(guān)系，理解推斷符號(hào)“?”的意義；2)通過(guò)具體的實(shí)例及層層遞進(jìn)問(wèn)題思考，從“命題”“符號(hào)”“邏輯關(guān)系”這3個(gè)角度理解充分條件與必要條件的本質(zhì).

情感態(tài)度價(jià)值觀通過(guò)參與知識(shí)的形成過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的和諧統(tǒng)一及簡(jiǎn)約美，培養(yǎng)辯證的思維品質(zhì).

2　重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)理解充分條件與必要條件的概念及其判斷方法.

難點(diǎn)必要條件的理解及充分、必要綜合應(yīng)用.

3　教學(xué)過(guò)程

3.1問(wèn)題情境

數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展都離不開(kāi)數(shù)學(xué)和實(shí)際生活的需要，學(xué)習(xí)中要充分體會(huì)知識(shí)背景中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的歷程.充分條件與必要條件在現(xiàn)實(shí)生活中有相應(yīng)的實(shí)際背景及數(shù)學(xué)內(nèi)在的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展源自“客觀實(shí)際”與“數(shù)學(xué)內(nèi)在發(fā)展”需求.

情境1請(qǐng)同學(xué)們閱讀下列材料.

材料1：小明同學(xué)有一天找到老師說(shuō)：“老師，我想和小軍同學(xué)同桌.”老師：“為什么？”小明：“因?yàn)槲蚁牒退黄鹱?”老師：“你這個(gè)理由不夠充分啊！”……

材料2：在2015年市人大會(huì)議上，徐書記說(shuō)“引進(jìn)高端人才，是東莞高水平發(fā)展的必要條件”……

材料3：只要人人都獻(xiàn)出愛(ài)，世界就會(huì)變得更美好；只有堅(jiān)持才能取得最后的勝利……

思考如何理解上述材料中“理由不夠充分”“必要條件”“只要……就……”“只有……才……”的意思呢？

提示這些源自生活的“充分”“必要”的詞語(yǔ)，實(shí)際上是數(shù)學(xué)中的2個(gè)重要概念，并且給出了嚴(yán)格的定義，學(xué)好這些用語(yǔ)有助于提高我們的邏輯思維能力，幫助我們準(zhǔn)確地表達(dá).

情境2復(fù)習(xí)回顧.

問(wèn)題1上節(jié)課學(xué)習(xí)的4種命題是什么？它們之間有什么真假關(guān)系？

問(wèn)題2判斷下列命題的真假.

1)若x>a2+b2，則x>2ab；

2)若ab=0，則a=0.

3.2概念剖析，把握內(nèi)涵

通過(guò)對(duì)前面引入情境中問(wèn)題的思考與研究，對(duì)概念有初步的感知和想象，還需要通過(guò)去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的反復(fù)體會(huì)，歸納概括概念的本質(zhì)特征，由此理解科學(xué)的定義.充分條件與必要條件的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)除了現(xiàn)實(shí)背景以外，主要是數(shù)學(xué)中條件與結(jié)論的“必然”與“應(yīng)然”關(guān)系的一種考量.

師：通過(guò)剛才的回顧，我們知道有的命題為真命題，如問(wèn)題2中的命題1)；有的命題為假命題，如問(wèn)題2中的命題2).這說(shuō)明對(duì)于命題中條件與結(jié)論存在著一種重要的關(guān)系，這種關(guān)系就是今天要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容.

定義一般地，“若p則q”為真命題，是指由p通過(guò)推理可以得出q.這時(shí)，我們就說(shuō)，由p可推出q，記作p?q.并且說(shuō)p是q的充分條件，q是p的必要條件.

如命題1)“若x>a2+b2，則x>2ab”為真，可以寫成：x>a2+b2?x>2ab,且x>a2+b2是x>2ab的充分條件，x>2ab是x>a2+b2的必要條件.

問(wèn)題1“若p則q”為假命題，是指由p通過(guò)推理______(填寫：能或不能，答案：不能)得到q.這時(shí)，我們就說(shuō)，由p______(填寫：推出或推不出，答案：推不出)q，記作______(答案≠>)q，則p是q的______(答案：不充分)條件，q是p的______(答案：不必要)條件.

練一練

1.用符號(hào)“?”與“≠>”填空：

1)x2=y2______x=y；

2)內(nèi)錯(cuò)角相等______2條直線平行；

3)整數(shù)a能被6整除______a的個(gè)位數(shù)字為偶數(shù)；

4)ac=bc______a=b.

分析根據(jù)定義，p?q表示“若p則q”為真，即由p成立就一定能推導(dǎo)得到q成立；反之，p≠>q表示“若p則q”為假，即由p成立不能推導(dǎo)得到q成立.

2.下列“若p則q”形式的命題中，哪些命題中p是q的充分條件？

1)若2條直線的斜率相等，則這2條直線平行；

2)若x>5，則x>10.

分析要判斷p是否為q的充分條件，先確定p(條件)和q(結(jié)論)，然后判斷是否有p?q.

3.下列“若p則q”形式的命題中，哪些命題中q是p的必要條件？

1)若x=y，則x2=y2；

2)若2個(gè)三角形全等，則這2個(gè)三角形的面積相等；

3)若a>b，則ac>bc.

分析要判斷q是否為p的必要條件即判斷是否有p?q.

說(shuō)明“問(wèn)題1”和“練一練”是幫助學(xué)生理解推導(dǎo)符號(hào)“?”“充分條件”“必要條件”的內(nèi)涵，其本質(zhì)就是“若p則q”為真命題，“若p則q為真”“p?q”“p是q的充分條件，q是p的必要條件”表示同一邏輯關(guān)系在“命題”“符號(hào)表示”“關(guān)系說(shuō)明”這3個(gè)角度的不同表述.

3.3概念辨析，智慧生成

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，而概念學(xué)習(xí)過(guò)程中，其辨析環(huán)節(jié)是極為重要的，除揭示概念本質(zhì)、明確其內(nèi)涵和外延之外，也是完善概念學(xué)習(xí)習(xí)慣的重要途徑，明確定義是概念辨析的基本依據(jù)，通過(guò)問(wèn)題串的思考使學(xué)生一步步地深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)、數(shù)學(xué)方法的步驟、數(shù)學(xué)思想的精髓[2].

問(wèn)題2根據(jù)定義，p是q的充分條件說(shuō)明什么？

分析p是q的充分條件說(shuō)明由p通過(guò)推理可以得出q，即“若p則q”為真命題.

問(wèn)題3如何理解“q是p的必要條件”？

分析“若p則q”為真命題，根據(jù)4種命題之間的關(guān)系，其逆否命題“若q則p”，即是說(shuō)沒(méi)有q就沒(méi)有p，要使p成立，則q一定要成立，因此q成立是p成立的必不可少的條件.

問(wèn)題4怎么樣才能說(shuō)“p是q的必要條件”？

分析要說(shuō)p是q的必要條件，就是q?p，即“若q則p”為真命題.

說(shuō)明通過(guò)3個(gè)問(wèn)題的思考與討論，明確要判定p與q之間的“充分”“必要”的關(guān)系，就是判斷“若p則q”及其逆命題“若q則p”的真假問(wèn)題，揭示“充分條件與必要條件”的本質(zhì).

問(wèn)題5“p是q的充分條件”有哪些含義？

分析有p必有q，有q不一定有p，但是沒(méi)有q就一定沒(méi)有p，沒(méi)有p不一定沒(méi)有q.

請(qǐng)根據(jù)表1填空：

表1　原命題、逆命題符號(hào)表示

練一練請(qǐng)用“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”填空.

1)x=1是x2-4x+3=0的______條件；

2)x2=y2是x=y的______條件；

3)ac=bc是a=b的______條件.

3.4構(gòu)建聯(lián)系，凸顯思維

問(wèn)題6請(qǐng)同學(xué)們回憶以往學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)命題、定理、推論中，說(shuō)說(shuō)有哪些能夠體現(xiàn)充分條件與必要條件的邏輯關(guān)系？

生1：若函數(shù)f(x)的圖像在(a,b)上是連續(xù)不斷的，且f(a)·f(b)是f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)的充分條件(零點(diǎn)存在性定理).

生2：四邊形的對(duì)角線相等是四邊形為矩形的必要條件.

……

說(shuō)明通過(guò)聯(lián)系數(shù)學(xué)中的判定定理和性質(zhì)定理，體會(huì)充分條件、必要條件內(nèi)涵的同時(shí)，也要能深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)中定義一個(gè)新的對(duì)象、尋求確定這個(gè)對(duì)象的依據(jù)，即充分條件.例如，尋找判定一個(gè)圖形是否為平行四邊形的條件、判斷方程有解的條件、判斷線面平行(垂直)的條件等.同時(shí)研究數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)，即性質(zhì)定理，就是給出判定一個(gè)對(duì)象的必要條件，可用來(lái)區(qū)別一個(gè)事物與另一個(gè)事物.

問(wèn)題7已知“若p則q”為真命題，設(shè)集合A={x|x滿足p}，B={x|x滿足q}，則集合A和B之間有什么關(guān)系？反之是否成立？

分析如圖1，A是B的子集，反之若A是B的子集，則“若p則q”為真命題.

練習(xí)11)若p:x>0,q:x>1，則p是q的什么條件？2)問(wèn)：p:x>0成立的一個(gè)充分不必要條件是______.

圖1 　　　　　　　圖2

分析第1)題根據(jù)數(shù)軸(如圖2)，集合{x|x>1}?{x|x>0}，即q?p,p≠>q,因此p是q的必要不充分條件.

第2)題根據(jù)條件實(shí)際上是尋找集合{x|x>0}的真子集.

說(shuō)明通過(guò)設(shè)置與集合關(guān)系相關(guān)的問(wèn)題，凸顯充分、必要條件與子集之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生在理解與“開(kāi)語(yǔ)句”有關(guān)的命題時(shí)，可以借助韋恩圖或者數(shù)軸，先確定集合之間的關(guān)系，然后再確定充分與必要條件的關(guān)系，凸顯數(shù)形結(jié)合在處理與數(shù)集有關(guān)的“充分、必要”邏輯關(guān)系問(wèn)題中的應(yīng)用.

3.5鞏固應(yīng)用，深化理解

練習(xí)21)請(qǐng)用“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”填空.

① “sinα=sinβ”是“α=β”的______條件;

② “x>1成立”是“x2>1成立”的______條件.

2)已知p:x>a(其中a∈R)，q:x>1，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)q的取值范圍.

3)判斷下列命題的真假.

①x=2是x2-4x+4=0的充分必要條件；

③ab≠0是a≠0的充分不必要條件.

說(shuō)明練習(xí)2主要是熟悉概念的應(yīng)用，加深對(duì)概念的理解，設(shè)置了直接判斷和逆向的問(wèn)題，也注重體現(xiàn)“數(shù)形”結(jié)合，提高思維能力.

3.6課堂小結(jié),回顧反思

通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

1)學(xué)習(xí)內(nèi)容(自主歸納)：

①命題“若p則q”為真?“p?q”?“p是q的充分條件”?“q是p的必要條件”；

②判斷p是q的什么條件，即是研究是否有p?q(充分性)和q?p(必要性)，即命題“若p則q”及其逆命題的真假.

2)數(shù)學(xué)思想方法上，學(xué)生能夠總結(jié)出主要有轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法.

3)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的一般思維特征：概念引入的背景(現(xiàn)實(shí)背景、數(shù)學(xué)內(nèi)部背景)——概念的表述——概念的表示(文字、符號(hào)、圖形)——特例——聯(lián)系(橫向與縱向).

3.7布置作業(yè)

習(xí)題1.2A組第1～3題.

4　反思

概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重，根據(jù)實(shí)際情況，探索思考突出概念本質(zhì)、環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題，關(guān)注概念的生成過(guò)程，即數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景(包括“實(shí)際背景”與“數(shù)學(xué)背景”)、歸納概念本質(zhì)的過(guò)程，讓學(xué)生邊觀察、邊說(shuō)、邊思考，做到眼、手、口、腦并用，使概念的形成與概況經(jīng)歷形象化感知、外部言語(yǔ)、再到內(nèi)部言語(yǔ)這樣的過(guò)程[3]，才能更加有利于自身思維的發(fā)展.同時(shí)，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，要善于歸納研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般方法，歸納思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般思維特征.例如，數(shù)學(xué)中研究一個(gè)新的“對(duì)象”一般過(guò)程是怎樣的？如何研究？又如，函數(shù)的性質(zhì)的思維特征是什么,等.

[1]課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)·選修2-1[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]楊藝.優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題串實(shí)現(xiàn)高效型課堂[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2016(1):封二-3.

[3]俞永鋒.探究概念形式一般化，深化導(dǎo)數(shù)概念理解[J].數(shù)學(xué)通訊:下半月，2014(9)：16-18.

*收文日期：2016-04-29；2016-06-01

易文輝(1981-)，男，江西尋烏人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003-6407(2016)09-15-04