●顧順賢

(余杭實(shí)驗(yàn)中學(xué)　浙江杭州　311100)

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從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)在反思中解題*

●顧順賢

(余杭實(shí)驗(yàn)中學(xué)浙江杭州311100)

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)：掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題.近幾年的浙江省高考，對(duì)應(yīng)試者的解題能力要求逐年提高，該如何指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，才能摒棄數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的弊端,不斷提高解題能力呢？文章就此問(wèn)題從數(shù)學(xué)解題反思的幾個(gè)方面進(jìn)行了探討.

解題；反思；錯(cuò)解；思維

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)過(guò)：掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題.教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，心中往往有著美好的目標(biāo):一是通過(guò)教學(xué)，學(xué)生能解手中的題；二是通過(guò)解題的訓(xùn)練，學(xué)生的解題能力得以提高，然后能在后面的學(xué)習(xí)中解題[1].而學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，往往存在2種弊端：一是只會(huì)模仿著做完手中題，題目一變便不會(huì)解題；二是全憑記憶做題，時(shí)間一久便不能解原先的題.近幾年的浙江省數(shù)學(xué)高考，對(duì)應(yīng)試者的解題能力要求逐年提高，該如何指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，才能摒棄數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的弊端，不斷提高解題能力呢？

波利亞認(rèn)為，解題后反思是有效解題的一個(gè)重要而有益的階段，反思整個(gè)解題過(guò)程，并再次思考、核實(shí)結(jié)果及獲得結(jié)果的方法，即使是錯(cuò)解，也能在錯(cuò)誤中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的不足，從而掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，并培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力[1].

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的課程基本理念注重把“反思”這一思維能力,并將其提到了應(yīng)有的高度：“人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，不斷地經(jīng)歷……反思與建構(gòu)等思維過(guò)程”“評(píng)價(jià)應(yīng)關(guān)注學(xué)生能否不斷反思自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，并改進(jìn)學(xué)習(xí)方法”[2].因此數(shù)學(xué)教師平時(shí)應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生解題反思能力和反思習(xí)慣，能從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)，在反思中解題，從而提高數(shù)學(xué)解題能力.下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談幾點(diǎn)認(rèn)識(shí).

1　反思題意理解，深化問(wèn)題領(lǐng)會(huì)

浙江省特級(jí)教師馬茂年曾說(shuō)過(guò)：“解完一道題目后，我們至少要花解題一半的時(shí)間進(jìn)行反思.”解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題僅僅只是一半，更重要的是解題后的反思.

那么解題后需要反思什么呢？需要反思：題中所給的條件(包含括號(hào)內(nèi)的條件及隱含的條件)都用了嗎？有沒(méi)有解決了題目要求的問(wèn)題？能否將書(shū)上已經(jīng)證明獲得的結(jié)論用到解題中？還有沒(méi)有需要補(bǔ)充和簡(jiǎn)化的步驟呢？

y-4=4(x-2)，

即

y=4x-4.

反思本題的錯(cuò)解顯然是將“求在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程”的解法，錯(cuò)誤地聯(lián)系到本題的“求過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程”上來(lái).這是題意理解的錯(cuò)誤，需要深化問(wèn)題領(lǐng)會(huì).根據(jù)曲線切線的定義，曲線的切線與曲線未必只有一個(gè)公共點(diǎn).一般地，在點(diǎn)P處的切線，則點(diǎn)P為曲線的切點(diǎn)，切線只有1條；過(guò)點(diǎn)P的切線，則點(diǎn)P不一定為曲線的切點(diǎn)，切線為1條或多條.

即

由點(diǎn)P(2,4)在切線上，得

即

從而

(x0+1)(x0-2)2=0，

解得

x0=-1或x0=2，

因此所求的切線方程為y=x+2或y=4x-4.

通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題錯(cuò)解的反思，不但起到正本清源的效果，而且可以啟發(fā)學(xué)生準(zhǔn)確理解相關(guān)概念的內(nèi)涵和問(wèn)題所延伸的知識(shí)，養(yǎng)成“反思題意理解、深化問(wèn)題領(lǐng)會(huì)”的意識(shí).

2　反思題目?jī)?nèi)涵，揭示問(wèn)題本質(zhì)

一些形式多樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，最終可以歸結(jié)到同一內(nèi)容同一題型.因此解題后要反思題目所屬知識(shí)點(diǎn)，追溯問(wèn)題的本質(zhì)，并分析歸結(jié)問(wèn)題所屬的核心概念，歸納題型，總結(jié)通法通解.

例2長(zhǎng)為2的線段AB的2個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2=x上滑動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的最小值是______.

錯(cuò)解分析如果按常規(guī)方法設(shè)直線AB的方程為y=kx+b,與拋物線方程y2=x聯(lián)立，則將陷入計(jì)算的泥潭，最終“小題大做”，未必能得分.

圖1

正解如圖1，AA′,BB′,PP′垂直拋物線y2=x的準(zhǔn)線，|AB|=2.要使得AB中點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的最小，則|AA′|+|BB′|最小，即|AF|+|BF|最小.而|AF|+|BF|≥|AB|，當(dāng)A,B,F共線時(shí)取到等號(hào)，即當(dāng)線段AB過(guò)焦點(diǎn)時(shí),AB的中點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離最小，最小值為

反思本題的本質(zhì)是利用拋物線的定義把到焦點(diǎn)的距離化為到準(zhǔn)線的距離，到準(zhǔn)線的距離化為到y(tǒng)軸的距離.同時(shí)也利用了平面上任意三點(diǎn)間距離的不等關(guān)系及梯形中位線的性質(zhì).本題的命題意圖為考查拋物線的定義.

高考考試大綱中規(guī)定了高考數(shù)學(xué)的內(nèi)容范圍，但靈活多變的題目往往會(huì)讓學(xué)生無(wú)從下手，命題者往往對(duì)同一知識(shí)點(diǎn)從各個(gè)角度和各個(gè)方面用不同的題型和難易度進(jìn)行考查，學(xué)生往往因?yàn)椴荒苊鞔_命題意圖及考查的知識(shí)點(diǎn)，面對(duì)一個(gè)新題目時(shí)無(wú)從下手.因此，一個(gè)題目解完后，應(yīng)反思題目所涉及的核心概念、命題意圖以及容易忽視的內(nèi)容.

3　反思思路形成，優(yōu)化思維過(guò)程

題目往往給出某些主干信息和一些隱含信息，需要考慮問(wèn)題足夠的周密，才能使求解過(guò)程不偏離方向，對(duì)解題思路形成的反思，形成解題的規(guī)律，從而優(yōu)化思維過(guò)程.

反思這樣解的原因是什么？是依據(jù)什么進(jìn)行解題的？這種解題方法適合于哪些題目？還有更好的解法嗎？試著歸納這類知識(shí)點(diǎn).

例3過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F的直線和拋物線相交于點(diǎn)A,B.

1)若A,B的縱坐標(biāo)分別為y1,y2，求證:y1y2=-p2；

2)若直線AO與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C，求證:BC∥x軸.

①當(dāng)斜率存在時(shí)，過(guò)焦點(diǎn)的直線方程可設(shè)為

(1)

當(dāng)k=0時(shí)，方程(1)只有1個(gè)解，于是k≠0，由韋達(dá)定理，得

y1y2=-p2.

y1y2=-p2.

綜上所述，總有y1y2=-p2.

并設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則點(diǎn)A,B的坐標(biāo)滿足

消去x，可得

整理，得

y2-2pty-p2=0,

因此

y1+y2=2pt,y1y2=-p2.

2)證明直線AC的方程為

因?yàn)辄c(diǎn)A(x1,y1)在拋物線上，所以

又由第1)小題知

從而B(niǎo)C∥x軸.

反思證法1是解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的常規(guī)解法，從問(wèn)題的結(jié)論形式可以想到韋達(dá)定理，但需要分類討論直線斜率存在與否的2種情況.證法2避免了對(duì)直線斜率的討論，此設(shè)法保證AB與拋物線有2個(gè)交點(diǎn).

通過(guò)解題思路形成的反思，可以將一個(gè)問(wèn)題用不同的方法進(jìn)行解答，從中尋找到適合自己的方法，內(nèi)化為自己的解題技巧，最終可以把同一題型的數(shù)學(xué)問(wèn)題歸結(jié)出一個(gè)最優(yōu)解法.因此解題后反思思路形成，并進(jìn)行分析歸納，可以不斷優(yōu)化思維過(guò)程，總結(jié)最優(yōu)解法.

4　反思典型解法，探索一般規(guī)律

一些數(shù)學(xué)問(wèn)題具有典型性，一類問(wèn)題解決后，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所解問(wèn)題進(jìn)行規(guī)律總結(jié)性的思考：哪些類似或相近的問(wèn)題可以用此法來(lái)解決，用此方法能否得到與此相似的結(jié)論等.這種歸納性反思是一種提高性的反思，可以加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)理解，提高問(wèn)題解決能力.

如果解題思維活動(dòng)在一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決后就結(jié)束了，就會(huì)錯(cuò)過(guò)反思的機(jī)會(huì)，從而不能深入探究，等過(guò)一段時(shí)間解原題或是遇到問(wèn)題的簡(jiǎn)單變式往往又不知所措了.為了加深對(duì)數(shù)學(xué)基本概念、基本方法、重要定理等的理性認(rèn)識(shí)，需要在解題后不失時(shí)機(jī)地進(jìn)行反思，特別是對(duì)典型問(wèn)題的解題思維過(guò)程再一次回顧認(rèn)識(shí)，有利于探索解題一般規(guī)律，促使學(xué)習(xí)方法的改進(jìn).

1)求出C的方程.

2)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),其坐標(biāo)滿足

消去y并整理，得

(k2+4)x2+2kx-3=0,

故

x1x2+y1y2=0,

而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,于是

化簡(jiǎn)得

-4k2+1=0，

即

反思1)待定系數(shù)法和定義法是求圓錐曲線的常用方法，解題時(shí)要能靈活運(yùn)用圓錐曲線的定義.

2)解決直線與圓錐曲線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題的常規(guī)方法為“設(shè)而不求”，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求解.求解有關(guān)弦中點(diǎn)問(wèn)題時(shí)用“點(diǎn)差法”求解較為方便.

反思解題方法蘊(yùn)含著解題的一般規(guī)律嗎？解題分析思路是否恰當(dāng)、完備？怎樣解答更巧妙簡(jiǎn)便？通過(guò)幾道題的求解，探索出解題的一般規(guī)律，構(gòu)建一類問(wèn)題的解題模式，從而提高解題效率.

5　反思結(jié)果表述，注重答題嚴(yán)謹(jǐn)

一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范、簡(jiǎn)明的結(jié)果表述是解題得分的最后保障.反思結(jié)果表述是解完一道題最需要做的，反思語(yǔ)言表述是否簡(jiǎn)明完整，邏輯推理是否嚴(yán)謹(jǐn)明了，解答過(guò)程是否簡(jiǎn)潔嚴(yán)密，解答結(jié)果是否符合題意？

于是

(1+d)2=3+3d，

得

d=-1或d=2，

因此

an=2n-1或an=2-n.

錯(cuò)解分析未驗(yàn)證得到的d是否滿足條件“各項(xiàng)均不為0”.

于是

(1+d)2=3+3d，

得

d=-1或d=2，

當(dāng)d=-1時(shí)，a2=0不滿足條件，舍去.因此d=2，an=2n-1.

反思本題錯(cuò)解未對(duì)解答結(jié)果是否符合題意進(jìn)行反思，導(dǎo)致結(jié)果表述出錯(cuò).

通過(guò)反思可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)結(jié)果表述中存在的問(wèn)題，并及時(shí)改進(jìn)或糾正，在考試中不因未反思結(jié)果表述而失分，注重答題嚴(yán)謹(jǐn)，拿到可以拿的分.

6　反思解題失誤，深化知識(shí)理解

解題失誤既有基礎(chǔ)知識(shí)上的缺漏和基本技能上的不足，以及最后展現(xiàn)的結(jié)果表述上的規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)、應(yīng)試技巧和心理調(diào)控等多個(gè)方面.因而反思解題失誤，有利于深化理解基礎(chǔ)知識(shí)，有利于訓(xùn)練基本技能.

例6若向量a=(x,2x)，b=(-3x,2),且a,b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是______.

錯(cuò)解分析a,b的夾角為鈍角并不等價(jià)于a·b<0，a·b<0是a,b的夾角為鈍角的必要不充分條件，因?yàn)?a,b>=180°時(shí)同樣有a·b<0.

正解因?yàn)閍,b的夾角為鈍角，所以

a·b=x·(-3x)+2x·2=-3x2+4x<0,

(2)

又由a,b共線且反向可得

(3)

由式(2)和式(3)得x的取值范圍是

反思本題的易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)向量的數(shù)量積及2個(gè)向量的夾角的定義模糊不清，容易忽視平行向量的概念，造成解題失誤，a,b夾角的取值范圍為[0°,180°].

反思解題失誤，尋找導(dǎo)致錯(cuò)誤歸因，清除思維盲區(qū)，糾正認(rèn)識(shí)中的錯(cuò)誤，能從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)，不斷提升解題能力和思維水平.解題后應(yīng)反思:題意是否理解透徹;在思路形成過(guò)程中有無(wú)盲區(qū)存在;結(jié)果表述是否簡(jiǎn)潔嚴(yán)謹(jǐn);解題所得數(shù)據(jù)是否簡(jiǎn)潔，結(jié)果是否合理;等等.

[1]波利亞.怎樣解題[M].上海:上海科技教育出版社，2007:3-12.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M].北京：人民教育出版社，2004：3-5.

[3]李學(xué)軍.用本促真貼地前行——一道高二考題的思考?xì)v程[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2016(4)：27-30．

*收文日期：2016-05-04；2016-06-10

顧順賢(1982-)，男，浙江杭州人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)09-29-04