●韓長(zhǎng)峰

(太和中學(xué)　安徽阜陽(yáng)　236600)

●衛(wèi)小國(guó)

(單縣一中　山東菏澤　274300)

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2016年山東卷理科第21題的深度探究*

●韓長(zhǎng)峰

(太和中學(xué)安徽阜陽(yáng)236600)

●衛(wèi)小國(guó)

(單縣一中山東菏澤274300)

探究2016年山東省數(shù)學(xué)高考理科第21題，挖掘隱含背景，領(lǐng)悟命題思想，明確考查方向,為高三圓錐曲線的復(fù)習(xí)教學(xué)和壓軸突破提供研究方法與解題技巧.

試題推廣；縱向研究；橫向拓展

2016年山東省數(shù)學(xué)高考理科第21題的第2)小題考查直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)及轉(zhuǎn)化化歸的基本數(shù)學(xué)思想；以證明點(diǎn)在定直線上為載體，考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力，檢測(cè)創(chuàng)新解題意識(shí)[1].筆者對(duì)此題進(jìn)行了分析與研究，現(xiàn)撰文以展示探究歷程.

1　試題再現(xiàn)

1)求橢圓C的方程.

圖1

2)設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線l與C交于不同的2個(gè)點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.

①求證：點(diǎn)M在定直線上；

②略.

分析易求得橢圓C的方程為x2+4y2=1，下面對(duì)第2)小題的第①問(wèn)進(jìn)行探究.

設(shè)A(xA,yA)，B(xB,yB),D(xD,yD),聯(lián)立方程組

得

(4m2+1)x2-4m3x+m4-1=0.

于是直線OD的方程為

聯(lián)立方程組

作差得

即

(xA+xB)(xA-xB)+4(yA+yB)(yA-yB)=0，

從而

kODkAB=-4.

解完題，筆者仍覺(jué)意猶未盡.因命題專家精心編制的試題往往將問(wèn)題的抽象本質(zhì)隱藏，而僅呈現(xiàn)出具體的表象[2].試題揭示了什么規(guī)律，其命制的源頭何在？筆者進(jìn)一步從一般性推廣、縱向探究和橫向拓展進(jìn)行思考，終獲玄機(jī).

2　一般探究及推廣

得

(b2+a2k2)x2+2a2kqx+a2q2-a2b2=0.

問(wèn)題的一般性結(jié)論為：

圖2

y=kx+q.

聯(lián)立方程

得

(b2+a2k2)x2+2a2kqx+a2q2-a2b2=0,

可知

綜合探究1、探究2可得如下的定理：

該結(jié)論道出了試題的深刻背景，也揭示出“動(dòng)中有定，變與不變”的本質(zhì)特征.命題者正是依據(jù)以上定理所蘊(yùn)含的規(guī)律，利用特殊化，將其中的本質(zhì)屬性隱藏，命制出一道有一定思維難度、區(qū)分度較高、能較好考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的好題[3].

筆者在探究1和探究2的基礎(chǔ)上進(jìn)一步縱向深度探究和橫向拓展，另有一番風(fēng)味.

3　縱向探究

探究3探究1中在給定橢圓和拋物線焦點(diǎn)位置前提下，得出交點(diǎn)M在定直線上.試想，若橢圓和拋物線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上位置發(fā)生變化，那么交點(diǎn)M是否仍在一條定直線上呢？

經(jīng)探究，交點(diǎn)M仍在一條定直線上.但要注意，當(dāng)橢圓和拋物線焦點(diǎn)位置不同時(shí)，條件“過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線”和“過(guò)點(diǎn)P且垂直于y軸的直線”要與之對(duì)應(yīng).綜合得到以下新結(jié)論：

圖3

證明過(guò)程如結(jié)論1，筆者不再贅述.最終的結(jié)論呈現(xiàn)出條件與結(jié)論的對(duì)應(yīng)關(guān)系，展示了一種內(nèi)在的對(duì)稱美！

探究4將題中部分條件和結(jié)論互換后，命題是否成立？

推理論證后得到以下結(jié)論：

4　橫向拓展

探究5橢圓的特例是圓，圓是橢圓的極限，那么以上結(jié)論是否成立？

結(jié)論1～2中作特殊化類比：令橢圓中m=n，即得：

結(jié)論7平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C：x2+y2=m(其中m>0)，拋物線E：x2=2py(其中p>0).設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線l與C交于不同的2個(gè)點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M在定直線y=-p上.

結(jié)論8平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C：x2+y2=m(其中m>0)，拋物線E：y2=2px(其中p>0).設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線l與C交于不同的2個(gè)點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過(guò)點(diǎn)P且垂直于y軸的直線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M在定直線x=-p上.

同理，將定理1特殊化得：

定理2平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C：x2+y2=m(其中m>0)，拋物線E：x2=2py(其中p>0).設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，過(guò)E上點(diǎn)P處的直線l若與C交于不同的2個(gè)點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為D，且直線OD與過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M，則直線l為E在點(diǎn)P處的切線的充要條件是點(diǎn)M在定直線y=-p上.

將定理1在圓錐曲線內(nèi)推廣得：

綜合定理1～3,再推廣，得到統(tǒng)一結(jié)論：

[1]中華人民共和國(guó)教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M]．北京：人民教育出版社，2011.

[2]李鋒.2014年高考數(shù)學(xué)福建卷理科第19題的探究歷程[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2015(1/2)：93-97.

[3]岳峻.透析考題信息提升解題驅(qū)動(dòng)力——賞析2015年湖北卷21題[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(8)：30-32.

*收文日期：2016-06-23；2016-07-23

韓長(zhǎng)峰(1979-)，男，安徽阜陽(yáng)人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)09-43-04