●莊遷福

(溫州第二高級中學(xué)　浙江溫州　325000)

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基于學(xué)生困惑的導(dǎo)數(shù)教學(xué)策略分析*

●莊遷福

(溫州第二高級中學(xué)浙江溫州325000)

數(shù)學(xué)教育應(yīng)遵循教育規(guī)律，依據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)在的性質(zhì)特點(diǎn)，順從具體的學(xué)情而行．根據(jù)這一指引，教學(xué)中應(yīng)先調(diào)整學(xué)生學(xué)習(xí)的困惑點(diǎn)，再進(jìn)行教學(xué)策略分析，使數(shù)學(xué)課堂變成綠色的思維場．文章從學(xué)生導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中4個常見的困惑點(diǎn)進(jìn)行分析，制定相應(yīng)的教學(xué)策略.

學(xué)生困惑;教學(xué)策略;比較判斷法

綠色的數(shù)學(xué)教育倡導(dǎo)2個方向：一是自然，一是綠色.“自然”即循道而行，數(shù)學(xué)教育應(yīng)遵循教育規(guī)律，依據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)在的性質(zhì)特點(diǎn)，順從具體的學(xué)情而行,這為我們應(yīng)該怎么教提供了方法與立足點(diǎn)；“綠色”意為生機(jī)與活力，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該充滿生機(jī)與活力，這為教學(xué)設(shè)計(jì)提出了出發(fā)點(diǎn)與要求．因此，數(shù)學(xué)課堂上不僅應(yīng)有鮮花，還應(yīng)該有“花開的聲音”，也只有自然、綠色的數(shù)學(xué)教育才更有效[1]．筆者根據(jù)這一指引，在教學(xué)中先調(diào)整學(xué)生學(xué)習(xí)的困惑點(diǎn)，再進(jìn)行教學(xué)策略分析，使數(shù)學(xué)課堂變成綠色的思維場．

困惑1分類討論這么多，怎么進(jìn)行？

導(dǎo)數(shù)章節(jié)中考查的函數(shù)通常含有參數(shù)，因此對函數(shù)的單調(diào)性判斷需要分類討論.而學(xué)生面對多種分類討論時，時常找不到討論的分界點(diǎn)，也有學(xué)生表示能看懂答案聽明白，自己卻無從下手.筆者認(rèn)為，解決學(xué)生這一困惑，教師應(yīng)在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，設(shè)計(jì)討論函數(shù)單調(diào)性的題組，再歸納設(shè)計(jì)一個算法，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，授人以漁.

例1“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”第2課時一個教學(xué)片斷.

1)已知函數(shù)f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(其中x∈R，a∈R)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

3　結(jié)論

通過第1課時的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會通過導(dǎo)數(shù)來判斷簡單函數(shù)的單調(diào)性，但對含參函數(shù)的單調(diào)性還沒有掌握.筆者選擇了3道高考題的第1)小題編制了上述題組.第1)題中的導(dǎo)函數(shù)可以因式分解為

f′(x)=ex(x+2a)(x+2-a)，

通過比較2個根的大小來解決；第2)題中的導(dǎo)數(shù)可化簡為

增加了函數(shù)的定義域作為區(qū)間要求；第3)題中的導(dǎo)數(shù)為

既要分析導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否存在，又要考慮定義域{x|x≠1}這個隱藏條件.

學(xué)生完成這3道題后，筆者與學(xué)生一起歸納，既有先求函數(shù)定義域的要求，也有求導(dǎo)過程的一些總結(jié)，更重要的是一起設(shè)計(jì)一種解決此類問題的方法，可分3步完成，即操作時問自己3個問題:導(dǎo)函數(shù)有沒有根？根在不在區(qū)間上？如何比較根的大??？優(yōu)先考慮沒有根，根不在區(qū)間上.有了這一指引，學(xué)生輕松處理了單調(diào)性問題，后面的教學(xué)中又通過對關(guān)鍵詞的歸納、對導(dǎo)數(shù)解答題與客觀題的總結(jié)，使得解決此類問題有跡可循.

困惑2構(gòu)造函數(shù)還是參變分離，怎么選擇？

在導(dǎo)數(shù)解題時，學(xué)生一拿到題目常常直接構(gòu)造函數(shù)，然后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，若是復(fù)雜函數(shù)還要多次求導(dǎo)，有成功但失敗更多.緊接著，教師也會將參變分離這一方法與構(gòu)造函數(shù)的方法進(jìn)行對比，對部分題目避免復(fù)雜的討論.有了這2種方法，學(xué)生的困惑又產(chǎn)生了，該怎么選擇呢？除了本題的2種解題方法外，筆者認(rèn)為學(xué)生更需要一種分析題目的習(xí)慣與能力.在教學(xué)中，教師應(yīng)給足時間讓學(xué)生去嘗試，并表述自己的體會與收獲，讓學(xué)生采用各走一步再對比的方法來選擇，不劃定具體標(biāo)準(zhǔn)選擇路徑，同時教師需對方法進(jìn)行延伸.

例2設(shè)函數(shù)f(x)=ex-e-x，若對任意x≥0,都有f(x)≥ax,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(浙江省高中數(shù)學(xué)作業(yè)本第30頁第14題)

筆者統(tǒng)計(jì)了學(xué)生的完成情況，主要有以下3種：

情況1構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex-e-x-ax，求導(dǎo)得

g′(x)=ex+e-x-a，

接著因求不出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)而放棄了.

情況2進(jìn)行參變分離，原不等式可轉(zhuǎn)化為

情況3情況1或情況2遇到障礙，去嘗試另一種方法.

筆者在分析時，先讓出現(xiàn)情況3的學(xué)生談?wù)勛约旱南敕ǎ簽槭裁聪认氲竭@一方法，再對比2種方法在運(yùn)用時的優(yōu)缺點(diǎn).學(xué)生的第一反應(yīng)就是當(dāng)下的學(xué)情，到底哪一種方法更優(yōu)，建議“先各走出一步，再對比”，對于一般比較簡單的問題可考慮參變分離.

①當(dāng)a≤2時(對應(yīng)導(dǎo)數(shù)沒有根)，g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，g(x)≥g(0)=0恒成立，符合條件；

②當(dāng)a>2時(對應(yīng)導(dǎo)數(shù)有根)，由于g′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，且g′(0)·g′(lna)<0，故存在x0∈(0,lna)使得g′(x0)=0，從而當(dāng)x∈(0,x0)時有g(shù)(x)

困惑3這樣做可以嗎？

例3已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1．

1)討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性；

2)設(shè)a≤-2，求證：對任意x1,x2∈(0,+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|．

完成證明后，筆者又給出拉格朗日中值定理進(jìn)行對比，學(xué)生的疑惑得到解決.類比證明過程中構(gòu)造函數(shù)的思想，對比結(jié)構(gòu)，也就容易想到原不等式可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x1≥x2時，

f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1，

再證明g(x)=f(x)+4x在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減即可.

困惑4這么巧妙，怎么想得到？

近幾年高考中出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)解答題，其最后一問常常結(jié)合了數(shù)列與不等式，需要構(gòu)造不等式然后利用放縮技巧來解決，學(xué)生感嘆：太巧妙了，怎么想得到？筆者認(rèn)為：在教學(xué)中，教師不宜過分渲染技巧，這樣容易讓學(xué)生望之則怯，應(yīng)注重通法通解，對復(fù)雜問題拆分，可采用比較判斷法來進(jìn)退自如[3]，賦予學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)形式美的眼睛.

2)求證：[(n+1)!]2>(n+1)·en-2(其中n∈N*)．

證明第2)小題有2種方法：一是從形式上看，可用數(shù)學(xué)歸納法證明；二是從背景上看，可構(gòu)造導(dǎo)數(shù)不等式.學(xué)生反映花了很多時間去看解析才看懂，覺得都是技巧，自己無法想到.

針對這一情況，筆者先將第2種方法進(jìn)行拆解，分4步完成：尋找導(dǎo)數(shù)題干中的不等式；對參數(shù)進(jìn)行賦值，通常是解集的邊界值；寫出對x賦值為n的表達(dá)式；部分放縮求和.

原不等式2邊取對數(shù)后變?yōu)?/p>

2[ln1+ln2+…+ln(n+1)]>ln(n+1)+n-2，

具體選擇可以從不等式其他部分的相似度考慮.運(yùn)用到本題中：

左邊：an=2ln(n+1)，

右邊：bn=ln(n+1)+n-ln(n)-(n-1)-

只需證明an>bn，即

還學(xué)生一片綠色自然的數(shù)學(xué)課堂，就要扎根于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)學(xué)生的各種困惑制定教學(xué)策略，分析有效的數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展．這樣的課堂，伴隨著學(xué)生的自我改造、重組和更新，使課堂呈現(xiàn)一片生機(jī)勃勃．

[1]陳勤，王貴文．讓學(xué)生在課堂上生長——從一節(jié)高考復(fù)習(xí)課談起[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014(5)：30-32.

[2]董裕華．高等數(shù)學(xué)背景下的高考數(shù)學(xué)命題探析[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2007(4)：60-64.

[3]徐章韜．比較判斷法解析高考試題[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2009(2)：43-45.

*收文日期：2016-04-25；2016-06-01

莊遷福(1986-)，男，浙江溫州人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003-6407(2016)09-04-03