☉江蘇省泰州市教育局教研室錢(qián)德春

初中數(shù)學(xué)“模型”教學(xué)之我見(jiàn)

☉江蘇省泰州市教育局教研室錢(qián)德春

一、從“一線三等角”模型說(shuō)起

近年來(lái)，不少教師熱衷于將大量數(shù)學(xué)結(jié)論模型化，以模型記憶代替對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考，并美其名曰“模型”教學(xué).例如，最近常聽(tīng)教師大談“一線三等角”，筆者從教三十多年，居然聞所未聞，一度懷疑是否孤陋寡聞了.出于好奇，筆者百度相關(guān)內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)有關(guān)論文有5000多篇，有文章對(duì)“一線三等角”模型作出這樣的定義：“兩個(gè)等角的一邊在同一直線上，另一邊在該直線的同側(cè).若有第三個(gè)與之相等的角，其頂點(diǎn)在該直線上，角的兩邊（或兩邊所在直線）分別與兩等角的非共線邊（或該邊所在直線）相交，此時(shí)通過(guò)證明，一般都可以得到一組相似三角形，該組相似三角形習(xí)慣上被稱(chēng)為‘一線三等角’型相似三角形.這三個(gè)等角可以是銳角、直角或鈍角.”這個(gè)模型用圖形和數(shù)學(xué)符號(hào)表示很簡(jiǎn)單：如圖1，已知∠A=∠CPD=∠B，有△ACP∽△BPD.可筆者看懂“一線三等角”模型的表述頗費(fèi)了一番周折.

圖1

我們知道：相似三角形主要研究圖形及其數(shù)量關(guān)系，如線段的比例關(guān)系、角的大小關(guān)系及線段的位置關(guān)系等，“一線三等角”的本質(zhì)是通過(guò)“等角轉(zhuǎn)化”證明三角形相似.如果此類(lèi)問(wèn)題算作模型，那么數(shù)學(xué)中的模型可謂數(shù)不勝數(shù).當(dāng)這樣的模型越來(lái)越多時(shí)，教學(xué)難免走向套路與機(jī)械訓(xùn)練，學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)將越來(lái)越重，數(shù)學(xué)素養(yǎng)將無(wú)從談起.

二、模型教學(xué)的現(xiàn)狀及原因分析

課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）［1］提出了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的“問(wèn)題解決”之過(guò)程性目標(biāo).數(shù)學(xué)建模教學(xué)是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要方法與手段.然而，目前有一種將“數(shù)學(xué)建模”教學(xué)異化為數(shù)學(xué)“模型化”教學(xué)的傾向：把一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論固化為數(shù)學(xué)模型，弱化了學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題的過(guò)程性教學(xué)；重視數(shù)學(xué)形式教學(xué)，無(wú)視對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握；習(xí)慣模型套路教學(xué)，忽視“問(wèn)題解決”的方法指導(dǎo)；增加了學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，削弱了學(xué)生的能力培養(yǎng).

例如：前文提到的所謂“一線三等角”的定義有一百多個(gè)字，可謂初中數(shù)學(xué)中字?jǐn)?shù)最多的定義，徒增了學(xué)生的理解難度與記憶負(fù)擔(dān).不知一線三等角模型的倡導(dǎo)者是否考慮過(guò)：現(xiàn)行課程標(biāo)準(zhǔn)及教材為什么刪除了教學(xué)大綱下的射影定理？原因在于所謂的“射影定理”與“一線三等角”類(lèi)似，是三角形相似的一種情形，本質(zhì)是“等角轉(zhuǎn)化”，除了增加更多的記憶內(nèi)容，還有什么意義呢？

再如“用方程解決問(wèn)題”，傳統(tǒng)教材將問(wèn)題分類(lèi)成行程、工程、濃度、面積等幾種模型，課程標(biāo)準(zhǔn)下的教材改變了這種呈現(xiàn)方式，將方程應(yīng)用問(wèn)題重點(diǎn)放在思路分析上，即分析與提取問(wèn)題信息、尋找與建立相等關(guān)系、用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相等關(guān)系.這種問(wèn)題呈現(xiàn)與處理方式改變了原有分類(lèi)方式限制學(xué)生思維、不利于一般意義上模型建構(gòu)的弊端，但不少教師仍然熱衷于將問(wèn)題分類(lèi)為幾種應(yīng)用模型，是典型的“穿釘鞋走老路”.

又如，一位老師在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上開(kāi)門(mén)見(jiàn)山說(shuō)：“今天我們復(fù)習(xí)分類(lèi)思想”，然后整節(jié)課的內(nèi)容都是圍繞“分類(lèi)”來(lái)展開(kāi)，學(xué)生拿到問(wèn)題不假思索便考慮“分類(lèi)”，課堂練習(xí)和作業(yè)也是“依樣畫(huà)葫蘆”，然而，當(dāng)學(xué)生離開(kāi)課堂面臨新問(wèn)題時(shí)卻無(wú)所適從.

造成這種現(xiàn)象的原因在于當(dāng)下的教學(xué)評(píng)價(jià)方式、教師的教育觀和教學(xué)觀走偏.從評(píng)價(jià)方式來(lái)說(shuō)，考試仍是當(dāng)下教學(xué)評(píng)價(jià)的主要手段，這導(dǎo)致了社會(huì)、學(xué)校、教師等對(duì)考分的盲目追求，管理者對(duì)試卷預(yù)測(cè)分作硬性規(guī)定，命題者只能“將分?jǐn)?shù)送到學(xué)生口袋里，還要替他（她）把口袋的蓋子扣好”，進(jìn)而出現(xiàn)試題機(jī)械模仿、思維含量低的現(xiàn)象，反過(guò)來(lái)又導(dǎo)致教師教學(xué)中重復(fù)講解，學(xué)生按照套路、模型機(jī)械訓(xùn)練.某種意義上說(shuō)，考查創(chuàng)新、理解、辨析和表達(dá)能力的試題必然是新題型、新背景、新問(wèn)題.對(duì)學(xué)生而言，問(wèn)題“新”就意味著“難”，如果教師教學(xué)只是教給學(xué)生模型和套路，不關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)與知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，不關(guān)心思維能力發(fā)展與學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，學(xué)生在“新題”面前必然束手無(wú)策.

三、“數(shù)學(xué)模型”教學(xué)之爭(zhēng)

一位老師就“一線三等角”問(wèn)題，在某QQ群拋出了“模型”教學(xué)的話題，立即引來(lái)大家的熱議.

老師A：當(dāng)我們給予的基本圖形多了，學(xué)生會(huì)不會(huì)喪失分析陌生圖形的能力？當(dāng)我們研究“一線三等角”多了，是否就已經(jīng)忘了初心：等角轉(zhuǎn)化？教師還是多教給學(xué)生自己去反思?xì)w納的方法與習(xí)慣吧.

老師B：教師帶領(lǐng)學(xué)生歸納基本圖形，在學(xué)生頭腦中形成更多的“圖式”，更有利于學(xué)生分析陌生圖形.或許圖式訓(xùn)練是中間地帶，教學(xué)確實(shí)應(yīng)該著眼于比歸納圖式更上位的基本方向、策略、方法、思想和思維習(xí)慣的引領(lǐng)，但不通過(guò)圖式訓(xùn)練，學(xué)生難以形成幾何直觀，缺少“圖感”，很難上升到策略、思想等上位的東西.或許每題都從概念出發(fā)能培養(yǎng)能力，但失去的是教學(xué)效率，所以還是先圖式再上位引領(lǐng)吧.

老師C：教學(xué)其實(shí)是一種妥協(xié).學(xué)生認(rèn)知水平與學(xué)科嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐讌f(xié)，應(yīng)試教育與素質(zhì)教育的妥協(xié)，基本圖形在培養(yǎng)創(chuàng)新方面有其不足，但亦是當(dāng)下教學(xué)的中間地帶，是應(yīng)試教育和素質(zhì)教育妥協(xié)的產(chǎn)物.

老師D：歸納基本“模型”的教學(xué)方法，一方面是思維能力培養(yǎng)的妥協(xié)，另一方面對(duì)于應(yīng)試肯定行之有效.因?yàn)榇蠖嘣囶}很少突破基本范式，這是當(dāng)下評(píng)價(jià)體制下的必然結(jié)果，因此大多數(shù)教師教學(xué)也就到此為止.但從素質(zhì)教育和創(chuàng)新能力培養(yǎng)上說(shuō)，這種做法值得商榷.

為什么“模型”問(wèn)題會(huì)引來(lái)如此爭(zhēng)議？這就要追溯到現(xiàn)實(shí)的評(píng)價(jià)體制導(dǎo)致不少教師“模型”化的教學(xué)傾向.也有教師已經(jīng)意識(shí)到“模型”化教學(xué)的弊端，卻苦于深陷怪圈而無(wú)法走出.由此引發(fā)了筆者的思考：究竟什么是數(shù)學(xué)模型？數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)是什么？為什么不少教師對(duì)“模型”化教學(xué)趨之若鶩？數(shù)學(xué)建模與“模型”教學(xué)有何關(guān)系？“模型”化教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)能力有何影響？如何實(shí)現(xiàn)教學(xué)邏輯與認(rèn)知邏輯的協(xié)調(diào)融合？

四、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模

為了弄清上述問(wèn)題，首先從數(shù)學(xué)模型及其特點(diǎn)、數(shù)學(xué)建模談起.

1.數(shù)學(xué)模型

什么是“數(shù)學(xué)模型”？從不同角度有不同的定義.狹義地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)理邏輯方法和數(shù)學(xué)語(yǔ)言建構(gòu)的科學(xué)或工程模型（百度），這里特指大學(xué)課程中的計(jì)算機(jī)編程建模.廣義地說(shuō)，“數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界和為一種特殊目的而作的一個(gè)抽象的、簡(jiǎn)化的結(jié)構(gòu).”如“用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，以及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型”［2］.文2將“數(shù)學(xué)模型”定義為“把某種事物的主要特征、主要關(guān)系系統(tǒng)地抽象出來(lái)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地表述出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)模型是對(duì)客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的一個(gè)近似的反映”.由此可見(jiàn)：數(shù)學(xué)模型的顯著特點(diǎn)是簡(jiǎn)潔性、普遍性，反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，應(yīng)用于解決問(wèn)題.如數(shù)學(xué)公式、定理就具有簡(jiǎn)潔性、普遍性和本質(zhì)性特征，適合于一類(lèi)問(wèn)題，方便直接運(yùn)用，所以定理、公式就是一種數(shù)學(xué)模型.

例如：平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，左邊是多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，當(dāng)然可以根據(jù)多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行運(yùn)算得到右邊，但乘得的結(jié)果具有結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)潔性和應(yīng)用的廣泛性特點(diǎn)，故作為公式模型，在遇有含“兩數(shù)和與兩數(shù)差的積”的運(yùn)算時(shí)可聯(lián)想到平方差公式模型直接得出結(jié)果.

2.數(shù)學(xué)建模

“數(shù)學(xué)建?！笔菫榱私鉀Q現(xiàn)實(shí)問(wèn)題而建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，并在數(shù)學(xué)內(nèi)部或物理、化學(xué)及現(xiàn)實(shí)生活中獲得廣泛運(yùn)用.課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）把建立和求解模型的過(guò)程歸納為：“從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果，并討論結(jié)果的意義.”數(shù)學(xué)建?？梢园凑漳Ｐ蜏?zhǔn)備、模型假設(shè)、模型求解、模型分析、模型檢驗(yàn)和模型應(yīng)用這6個(gè)步驟進(jìn)行（如圖2所示）.由于數(shù)學(xué)模型是對(duì)客觀事物本質(zhì)的數(shù)學(xué)屬性的抽象與刻畫(huà)，所以數(shù)學(xué)模型能否反映具體情境的本質(zhì)特征，這就有必要通過(guò)模型檢驗(yàn)，對(duì)模型進(jìn)行調(diào)整、調(diào)控甚至重新假設(shè)，以最大程度與現(xiàn)實(shí)情境吻合.

圖2

圖3

例如，炮彈發(fā)射軌跡問(wèn)題：如圖3，設(shè)炮彈發(fā)射的初始速度為v0、發(fā)射角為θ（0°＜θ＜90°），炮彈運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則在不考慮其他因素的情況下，

五、數(shù)學(xué)模型教學(xué)之我見(jiàn)

筆者認(rèn)為：數(shù)學(xué)建模是提升能力的載體與手段，教學(xué)不能泛模型化；要多關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，少一點(diǎn)題型分類(lèi)和模型套路；要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，少一點(diǎn)教師先入為主的機(jī)械灌輸；要順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知邏輯，避開(kāi)“模型”陷阱.

1.建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的手段，教學(xué)不能模型泛化

數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的必由之路與有效手段.事實(shí)上，所有的公式、定理的教學(xué)都是數(shù)學(xué)建模的教學(xué).其中，公式、定理結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、正確性的驗(yàn)證、結(jié)構(gòu)的提煉、符號(hào)化表征就是建模過(guò)程；將具體問(wèn)題的條件、結(jié)論結(jié)構(gòu)與模型特征對(duì)比分析，并轉(zhuǎn)化為熟知的公式、定理的條件，使演繹或運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)化，這個(gè)過(guò)程就是模型運(yùn)用過(guò)程.

以三角形中位線定理教學(xué)為例，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)與證明、結(jié)構(gòu)（條件、結(jié)論）的歸納、語(yǔ)言（圖形、符號(hào)、文字）表征和具體情境中的運(yùn)用就是典型的模型建構(gòu)過(guò)程.遇有線段中點(diǎn)、線的平行或線段倍分關(guān)系時(shí)可聯(lián)想到三角形中位線定理模型.

例如：如圖4①，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC， BD⊥AD于點(diǎn)D，M為BC的中點(diǎn)，求證：

圖4

我們提倡建模教學(xué)，既不是憑空創(chuàng)造新結(jié)論，也不能一切都模型化.一方面，畢竟學(xué)生學(xué)習(xí)的公式、定理是前人已有成果，但對(duì)學(xué)生而言是陌生的、全新的，學(xué)生探究的過(guò)程就是再創(chuàng)造過(guò)程，因此，教學(xué)中要通過(guò)定理、公式的歸納與證明、發(fā)現(xiàn)與推導(dǎo)、選擇與運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，并在這個(gè)過(guò)程中積累解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).另一方面，數(shù)學(xué)模型不可泛化.比如：蘇科版教材［4］規(guī)定：“經(jīng)過(guò)證明的真命題稱(chēng)為定理”，公式是在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等自然科學(xué)中用數(shù)學(xué)符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系的式子.然而，數(shù)學(xué)中被證明為真的命題不計(jì)其數(shù)，表示數(shù)量關(guān)系的式子也不勝枚舉，為什么并沒(méi)有都稱(chēng)為定理、公式呢？永野裕之說(shuō)：本質(zhì)從來(lái)就不是復(fù)雜的.［5］事實(shí)上，教材只是將經(jīng)過(guò)證明正確，具有本質(zhì)性、普遍性和簡(jiǎn)潔性特征，適合于同類(lèi)關(guān)系的所有問(wèn)題的命題（或數(shù)學(xué)關(guān)系）才稱(chēng)為定理（或公式）.一些數(shù)學(xué)關(guān)系或圖形盡管沒(méi)有列入定理、公式范疇，但具有典型性與普遍性、易于理解與表述，抽象為數(shù)學(xué)模型，對(duì)于學(xué)生聯(lián)想、拓寬思路有一定的幫助，也可以提煉為數(shù)學(xué)模型.但本文所提到的“一線三等角”問(wèn)題，只需等角轉(zhuǎn)化便能解決，況且其特征表述復(fù)雜，不宜作為數(shù)學(xué)模型.

常常有教師問(wèn)一些如“直角坐標(biāo)系的中點(diǎn)坐標(biāo)公式能不能直接用？”“直接用射影定理扣不扣分？”等問(wèn)題，這說(shuō)明教師潛意識(shí)里還是以太多的模型記憶替代數(shù)學(xué)本質(zhì)方法的探究.如果任由數(shù)學(xué)“模型”泛濫，學(xué)生必然要記住無(wú)窮盡的數(shù)學(xué)模型，那么留下的除了機(jī)械記憶、負(fù)擔(dān)加重，還能有什么呢？

2.教學(xué)關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，少教模型套路

數(shù)學(xué)學(xué)什么？怎么教？筆者認(rèn)為：數(shù)學(xué)除了知識(shí)技能外，最重要的是數(shù)學(xué)抽象力與想象力.前者是由繁入簡(jiǎn)，后者是由簡(jiǎn)馭繁.有句話叫“大道至簡(jiǎn)”，重要的東西往往是簡(jiǎn)潔、本質(zhì)、具有普遍意義的.一位網(wǎng)友將之比作“根與枝葉的關(guān)系“，認(rèn)為根為簡(jiǎn)，葉為繁，根輸養(yǎng)分經(jīng)干入葉，是由簡(jiǎn)馭繁；葉通過(guò)光合作用經(jīng)干將養(yǎng)分反哺入根，是由繁入簡(jiǎn).“根”越深、越粗則越簡(jiǎn)，就枝越壯、葉越茂.數(shù)學(xué)教學(xué)就要從“根”出發(fā)，回到源頭、回到概念，讓學(xué)生在“溫故”中抽象新概念、發(fā)現(xiàn)新方法、提煉新思想.抓住了數(shù)學(xué)的“根”，就能以不變應(yīng)萬(wàn)變，這種作用是靠大量機(jī)械訓(xùn)練與“套?！彼鶡o(wú)法企及的.

現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)和教材弱化了模型化內(nèi)容，但在關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)上著墨頗多.如課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中刪去的梯形，梯形的“基石”是三角形，通過(guò)添加輔助線轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題解決；圓中刪去的“垂徑定理”，根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性轉(zhuǎn)化為等腰三角形的“三線合一”解決；直角坐標(biāo)系中刪除的“兩點(diǎn)間距離公式”，源頭就是直角三角形的勾股定理；方程中刪去的“三元一次方程組”，其解法的本質(zhì)是消元思想，掌握了二元一次方程組的解法，三元一次方程組同理可以消元轉(zhuǎn)化為二元一次方程組解決……課程標(biāo)準(zhǔn)和教材諸如此類(lèi)變化，旨在引領(lǐng)教師在教學(xué)中抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，將問(wèn)題回歸到知識(shí)之“源”、方法之“根”.

3.引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，切忌機(jī)械灌輸

如前文所說(shuō)，數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的是一種有意義的教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生的自主建構(gòu)與梳理，有利于理解數(shù)學(xué)知識(shí)、掌握學(xué)習(xí)方法、提高創(chuàng)新能力.如果教師憑借自己的經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生進(jìn)行先入為主的“模型”灌輸，讓學(xué)生記住、套用若干數(shù)學(xué)模型，“拽著”學(xué)生的思維向教師預(yù)設(shè)的模型“走”，結(jié)果是限制了學(xué)生的思路，扼殺了學(xué)生的創(chuàng)新能力，增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).

我們來(lái)看一教師在講解下面問(wèn)題時(shí)是如何設(shè)計(jì)鋪墊性問(wèn)題的.

如圖5①，直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-x+b（b是不小于的常數(shù)）的圖像與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，半徑為5的⊙O與x軸的正半軸相交于點(diǎn)C，與y軸相交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)D在點(diǎn)E上方.在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使∠CPE=45°？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖5

預(yù)設(shè)問(wèn)題串意圖何在呢？一是“牽引”學(xué)生運(yùn)用“一線三等角”模型，即由圖中的∠EBQ=∠CAQ=∠EQC= 45°得△BEQ∽△AQC；二是為學(xué)生鋪設(shè)臺(tái)階：原題中∠CPE=45°與問(wèn)題①中的∠CQE=45°相同，由QA·QB= b2-25類(lèi)比聯(lián)想得到PA·PB=b2-25，這個(gè)等式存在，就意味著點(diǎn)P存在，設(shè)PA=x，得到方程，只需這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根.

這種設(shè)計(jì)合理嗎？學(xué)生一定會(huì)這樣想嗎？事實(shí)上，⊙O上除E（C外的任意一點(diǎn)P，都有∠CPE=45°，在線段AB上存在點(diǎn)P，使∠CPE=45°，說(shuō)明點(diǎn)P既在⊙O上，又在線段AB上，因此只要線段AB與⊙O有公共點(diǎn)（相交或相切）且點(diǎn)B在點(diǎn)D的上方即可，由此自然聯(lián)想到直線與圓的位置關(guān)系的判定方法，故作OP⊥AB于點(diǎn)P（如圖5②），由得OP≥5.當(dāng)OP=5時(shí)，AB與⊙O相切，符合條件的點(diǎn)P存在，即為垂足P；而當(dāng)OP＞5時(shí)，AB與⊙O相離，符合條件的點(diǎn)P不存在.這說(shuō)明“一線三等角”模型并非唯一思路，“判斷直線與圓的位置關(guān)系”的思路或許更加簡(jiǎn)捷，教者設(shè)計(jì)那樣的問(wèn)題串事實(shí)上限制了學(xué)生的思維.

學(xué)生探究問(wèn)題的思路大致是這樣的：①發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？②這個(gè)結(jié)論正確嗎？③如何去驗(yàn)證？④是否具有一般性？當(dāng)學(xué)生面臨一個(gè)新問(wèn)題時(shí)會(huì)思考：⑤當(dāng)前問(wèn)題與已有知識(shí)、方法之間有何聯(lián)系？⑥能否轉(zhuǎn)化為已有知識(shí)、方法？⑦如何轉(zhuǎn)化與遷移？⑧如果不能，又如何另辟蹊徑？……這個(gè)過(guò)程就是模型建構(gòu)過(guò)程，其中①、②、③、④是提出模型、建立模型、驗(yàn)證模型過(guò)程，而⑤、⑥、⑦、⑧是模型遷移運(yùn)用過(guò)程.隨著知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)的不斷積累，學(xué)生會(huì)主動(dòng)地進(jìn)行模型的建構(gòu)與梳理，溝通相互間的聯(lián)系，并在問(wèn)題解決中實(shí)現(xiàn)知識(shí)（如數(shù)學(xué)模型等）的遷移（即同化與順應(yīng)）.教師應(yīng)該研究學(xué)生“問(wèn)題解決”的過(guò)程是怎樣的，注意發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的個(gè)體差異性，并順勢(shì)而為、因勢(shì)利導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)與習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，根據(jù)學(xué)生自身的理解與經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)適合自己的思維圖式與邏輯關(guān)系，并在解決問(wèn)題中甄別、篩選和運(yùn)用模型.

4.教學(xué)邏輯要順應(yīng)認(rèn)知邏輯，避開(kāi)“模型”陷阱

不少教師有這樣的體會(huì)：學(xué)生上課聽(tīng)得懂，作業(yè)也會(huì)做，但考不好.文6認(rèn)為：造成這種現(xiàn)象的根本原因是教學(xué)邏輯、認(rèn)知邏輯和考試邏輯錯(cuò)位，教學(xué)陷入了“模型”陷阱.

仍以“分類(lèi)方法”復(fù)習(xí)課為例，教師的教學(xué)邏輯是這樣的：今天我們來(lái)講“××法”……例題后的練習(xí)模仿例題“模型”順利完成，作業(yè)也是模仿例題方法.而學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境或考試中的問(wèn)題具有一定的開(kāi)放性，突破了課堂知識(shí)的限制，就顯得束手無(wú)策，這正是教學(xué)邏輯不能順應(yīng)認(rèn)知邏輯、學(xué)生陷入了模型陷阱所致.

解決問(wèn)題的方法是教師將教學(xué)邏輯與學(xué)生認(rèn)知邏輯有機(jī)融合，從而避開(kāi)模型陷阱.一是引導(dǎo)學(xué)生在“問(wèn)題解決”中建構(gòu)知識(shí)，溝通知識(shí)之間的聯(lián)系；二是提供現(xiàn)實(shí)情境，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，通過(guò)“‘先行預(yù)判’與‘甄選’的過(guò)程”［7］，從多種方法、策略模型中尋找、篩選合適的方法與策略，并自上而下將問(wèn)題逐步后退、逐個(gè)分解，使問(wèn)題取得突破；三是鼓勵(lì)學(xué)生標(biāo)新立異，選用獨(dú)特的方法解決問(wèn)題.經(jīng)過(guò)一以貫之的教學(xué)引導(dǎo)，學(xué)生的思維能力一定會(huì)有大幅提升，同時(shí)學(xué)生的應(yīng)試水平也會(huì)相應(yīng)提高，這遠(yuǎn)非模型套路教學(xué)所能比擬的.

六、結(jié)語(yǔ)

如何進(jìn)行數(shù)學(xué)模型教學(xué)的問(wèn)題，說(shuō)到底是教學(xué)觀念的問(wèn)題，即是以教師為中心還是以學(xué)生為中心，是知識(shí)本位還是能力本位，是關(guān)注學(xué)生發(fā)展還是專(zhuān)注考試分?jǐn)?shù).教師要以學(xué)生為中心，以能力為本位，將數(shù)學(xué)建模作為教學(xué)的過(guò)程與手段，在解決問(wèn)題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)與運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，“化繁為簡(jiǎn)，扣住問(wèn)題本質(zhì)屬性，排減一些非本質(zhì)的東西來(lái)思考問(wèn)題，為解決問(wèn)題提供策略幫助”［2］，以此強(qiáng)化建模意識(shí)，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，這才是數(shù)學(xué)模型教學(xué)應(yīng)有的價(jià)值.

1.中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.李軍.關(guān)注數(shù)學(xué)模型扣住問(wèn)題本質(zhì)——勾股定理“總統(tǒng)證法”模型題探析.［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（6）.

3.周禮寅.一線三等角模型的建立與應(yīng)用.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中），2012（10）.

4.楊裕前，董林偉.義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)（七年級(jí)下冊(cè)）［M］.南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2012.

5.永野裕之，著.喚醒你與生俱來(lái)的數(shù)學(xué)力［M］.劉格安，譯.臺(tái)北：城邦文化事業(yè)股份有限公司，2015.

6.上課都聽(tīng)懂了考試不會(huì)的本質(zhì).http：∥learning. sohu.com/20151111/n426002981.shtml.

7.吳俊杰.對(duì)一個(gè)將軍飲馬模型問(wèn)題的三個(gè)反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（6）.Z