☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)于真良

專題聚焦，經(jīng)營(yíng)開(kāi)放，注重反饋
——以“點(diǎn)到‘線’的距離專題復(fù)習(xí)課”為例

☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)于真良

中考復(fù)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐中，常常碰到一些“超越”初中教材上的習(xí)題要求，比如，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)到“線”（直線、拋物線等）的距離，就是一類較難問(wèn)題，雖然在中考中不宜直接考查點(diǎn)到拋物線的距離問(wèn)題，但是復(fù)習(xí)資料或平時(shí)有些模考中這些習(xí)題還是客觀存在的，如何跟初中生講評(píng)這類問(wèn)題，確實(shí)值得思考.本文就是基于上述認(rèn)識(shí)，構(gòu)思的一節(jié)習(xí)題課，提供研討.

一、“點(diǎn)到‘線’的距離”習(xí)題教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)一：從平面幾何中的“距離”說(shuō)起

問(wèn)題1：同學(xué)們?cè)诔踔袔缀螌W(xué)習(xí)中，學(xué)到了哪幾種“距離”？

預(yù)設(shè)：點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到直線的距離、平行線之間的距離.并安排學(xué)生上臺(tái)畫(huà)圖演示，復(fù)習(xí)幾種距離的概念.并指出，點(diǎn)到直線的距離是所謂垂線段的長(zhǎng)，本質(zhì)上也是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到垂足之間的距離，最終還是化歸為點(diǎn)到點(diǎn)的距離.類似的，平行線之間的距離也是化歸為兩點(diǎn)之間的距離.

教學(xué)環(huán)節(jié)二：變式研究“兩點(diǎn)之間的距離”

問(wèn)題2：如圖1，數(shù)軸上的點(diǎn)A、B分別對(duì)應(yīng)著數(shù)1、3，則線段AB的長(zhǎng)為多少？

圖1

問(wèn)題3：若數(shù)軸上點(diǎn)A、B分別對(duì)應(yīng)著數(shù)a、b，則線段AB的長(zhǎng)為多少？（用含a、b的式子表示）

問(wèn)題4：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C在y軸上，且到原點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是？

圖2

問(wèn)題5：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D（3，3），E（1，1），分別求出點(diǎn)D、E到x軸的距離，以及線段DE的長(zhǎng).

問(wèn)題6：在“問(wèn)題5”的條件下，分別求出點(diǎn)D、E到原點(diǎn)的距離.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)上述問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的各種可能有的求值方向，追求“做一題、會(huì)一類、通一片”的教學(xué)效果.特別是對(duì)于“問(wèn)題5”，引導(dǎo)學(xué)生歸納出兩點(diǎn)之間距離公式：若A（x1， y1），B（x2，y2），則

教學(xué)環(huán)節(jié)三：變式研究“點(diǎn)到直線的距離”

圖3

問(wèn)題7：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B（3，0），D（3，3），E（1，1），求點(diǎn)B到直線DE的距離.

預(yù)設(shè)：如果學(xué)生沒(méi)有思路，則啟發(fā)他們過(guò)點(diǎn)B作出DE的垂線段，并思考如何求該垂線段的長(zhǎng)，這時(shí)如果從幾何角度發(fā)現(xiàn)DE所在直線即為y=x，對(duì)于貫通思路是關(guān)鍵的，可以通過(guò)啟發(fā)或追問(wèn)，促進(jìn)學(xué)生自主思考出來(lái).比如，設(shè)計(jì)啟發(fā)式問(wèn)題“能否求出直線DE的解析式？”“直線DE有什么特殊呢？”

問(wèn)題8：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B（3，0），D（3，3），E（1，1）.若P為線段DE上任意一點(diǎn)，連接BP，當(dāng)PB取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生可以在上一問(wèn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步思考求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；在此基礎(chǔ)上，注意啟發(fā)學(xué)生從點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式分析，預(yù)設(shè)如下：

由直線DE的解析式為y=x，則可設(shè)P（m，m），于是PB=即當(dāng)m=1.5時(shí)，PB獲得最小值，此時(shí)P（1.5，1.5）.

學(xué)生通過(guò)上述運(yùn)算的方法體會(huì)不同解法之間的殊途同歸.

問(wèn)題9：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C（0，3），直線l：y=x-3上有一點(diǎn)P，連接CP，當(dāng)CP取得最小值時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，以及此時(shí)PC的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖：有了“問(wèn)題8”的殊途同歸的“數(shù)”、“形”的不同方法，學(xué)生可以從圖形直觀的視角洞察出很多等腰直角三角形，從而發(fā)現(xiàn)待求的點(diǎn)P即為直線y=x-3與x軸的交點(diǎn)（3，0），PC獲得最小值3；也可以從兩點(diǎn)之間距離公式來(lái)分析，預(yù)設(shè)如下：

因?yàn)橹本€的解析式為y=x-3，則可設(shè)P（m，m-3），于是，即當(dāng)m=3時(shí)，PC獲得最小值3√2，此時(shí)P（3，0）.

教學(xué)環(huán)節(jié)四：拓展思考“點(diǎn)到拋物線上任意一點(diǎn)的距離最小值”

圖4

問(wèn)題10：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P為拋物線y=x2上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A（0，2），連接AP，試分析AP的最小值.

預(yù)設(shè)：這時(shí)學(xué)生認(rèn)為用直觀解法可能不太方便，需要走“數(shù)”的角度精確運(yùn)算，比如，運(yùn)用兩點(diǎn)之間距離公式，因?yàn)閽佄锞€的解析式為y=x2，則可設(shè)P（m，m2），于是AP=時(shí)，AP獲得最小值

問(wèn)題11：如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P為拋物線y=x2上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A（0，2），以P為圓心，半徑為1作圓，在⊙A上取一點(diǎn)Q，連接PQ，試分析PQ的最小值.

圖5

設(shè)計(jì)意圖：這是“問(wèn)題10”的變式問(wèn)題，本質(zhì)上仍然是AP取得最小值時(shí)，PQ也獲得最小值，因?yàn)锳Q是定值1.事實(shí)上，這類問(wèn)題還可以有進(jìn)一步的包裝，在不少地區(qū)的?？季碇幸苍幸?jiàn)到，比如，過(guò)點(diǎn)P作⊙A的切線，設(shè)切點(diǎn)為M，當(dāng)切線PM取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

教學(xué)環(huán)節(jié)五：課堂小結(jié)與當(dāng)堂檢測(cè)

小結(jié)問(wèn)題：點(diǎn)到點(diǎn)的距離、點(diǎn)到線的距離雖然是一個(gè)小話題，然而展開(kāi)、深入探究之后，我們發(fā)現(xiàn)，這只是開(kāi)了一個(gè)頭，特別是點(diǎn)到“曲線”的距離的研究之門，才剛剛打開(kāi)，以后同學(xué)們?cè)诟咧须A段還會(huì)有深入的學(xué)習(xí)和研究.

聽(tīng)課檢測(cè)題：（5個(gè)小題，每小題20分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（2，0），B（3，0），C（0，4），D（2，4）.

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A、C之間的距離；

（2）求直線BC的解析式；

（3）求原點(diǎn)O到直線BC的距離；

（4）求點(diǎn)D到直線BC的距離；

（5）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的拋物線y=ax2上有一點(diǎn)P，連接PC，請(qǐng)分析PC的最小值.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.聚焦專題復(fù)習(xí)，通過(guò)系列變式促進(jìn)學(xué)生深入思考

中考復(fù)習(xí)遇題講題，零亂散擊效果并不如意，或者是?？己缶皖}講題，這樣的收獲也是零散的.當(dāng)學(xué)生遇到一類前所未見(jiàn)的題型或方法時(shí)，如果能開(kāi)發(fā)成專題復(fù)習(xí)，通過(guò)系列變式促進(jìn)深入思考相關(guān)話題，既可以把一類陌生問(wèn)題達(dá)到深刻理解，也可以通過(guò)系列變式促進(jìn)學(xué)生深入思考.特別是，我們?cè)谡n例初始問(wèn)題中提出的一系列問(wèn)題（問(wèn)題1～問(wèn)題11），這些都是課前精心預(yù)設(shè)的.

2.經(jīng)營(yíng)開(kāi)放教學(xué)，通過(guò)拓展追問(wèn)促進(jìn)學(xué)生向上挑戰(zhàn)

鄭毓信教授倡導(dǎo)的開(kāi)放的數(shù)學(xué)教學(xué)，要求我們從開(kāi)放題走向開(kāi)放的數(shù)學(xué)教學(xué).我們正是想在一個(gè)主要題干下，通過(guò)系列問(wèn)題或深入追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生參與思考，把學(xué)生的思維卷入課堂問(wèn)題，并鼓勵(lì)優(yōu)秀學(xué)生向上挑戰(zhàn)，甚至把思考引向課后，追求“課堂時(shí)間有盡，思考卻可以延續(xù)到課外”的學(xué)習(xí)取向.

2.注重跟進(jìn)反饋，通過(guò)同類變式及時(shí)反饋聽(tīng)課效果

根據(jù)教學(xué)實(shí)踐，加強(qiáng)聽(tīng)課檢測(cè)的反饋是小專題復(fù)習(xí)課的必要環(huán)節(jié)之一，因?yàn)椴簧賹W(xué)生常常是課上聽(tīng)懂了，卻不能獨(dú)立求解.所以我們?cè)谡n堂小結(jié)之后安排了限時(shí)檢測(cè)的環(huán)節(jié)，并設(shè)計(jì)了與課常上所學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)相同的變式習(xí)題，只是變換了數(shù)據(jù)而已，如果學(xué)生真正理解問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，則只是再次運(yùn)算、求解一遍.可以有效地檢測(cè)反饋聽(tīng)課效果.

三、結(jié)束語(yǔ)

中考復(fù)習(xí)是一個(gè)老生常談的話題，如何系統(tǒng)復(fù)習(xí)？如何老歌新唱、唱出新意？如何引導(dǎo)學(xué)生以小見(jiàn)大、小中想深、想向遠(yuǎn)方？這些都是筆者近來(lái)復(fù)習(xí)期間的思考所及，困惑也多于此，故愿意寫(xiě)出來(lái)，拋磚引玉，期待同行們的實(shí)踐跟進(jìn)與批評(píng)指正.

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

2.【美】波利亞，著.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

3.鐘啟泉.“批判性思維”及其教學(xué)［J］.全球教育展望，2002（1）.

4.劉東升.經(jīng)歷問(wèn)題生成，深刻理解教材——人教八上“每日一題”的命題實(shí)踐與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（4）.H