☉浙江省紹興市建功中學(xué)曹青

基于多元表征，踐行變式教學(xué)
——以“一次函數(shù)復(fù)習(xí)課”為例

☉浙江省紹興市建功中學(xué)曹青

我們知道，經(jīng)由南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授等專家學(xué)者的推介，多元表征理論已得到不少一線教師的關(guān)注和實(shí)踐.所謂的“多元表征理論”，就是強(qiáng)調(diào)概念表征不同方面的相互滲透與必要互補(bǔ)，與“單一表征理論”的“線性”、“單向性”構(gòu)成了直接對(duì)照，特別是，“多元表征理論”由于突出強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)概念的心理表征往往包含多個(gè)不同的方面或成分，這些成分對(duì)于概念的正確理解具有重要的作用.基于該理論，我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中可以結(jié)合變式教學(xué)，設(shè)計(jì)出很多課例，追求更有品質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)，提高教學(xué)效率.本文就以近期執(zhí)教的“一次函數(shù)復(fù)習(xí)課”為例，整理教學(xué)流程，并解讀教學(xué)立意，提供研討.

一、“一次函數(shù)復(fù)習(xí)”課教學(xué)流程

1.開課階段

練習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝2x+3的圖像交x軸、y軸于點(diǎn)A、B.

（1）直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）對(duì)于一次函數(shù)y＝2x+3，y隨x的增大而_______；

（4）將直線y＝2x+3平移后得到直線y＝2x，請(qǐng)指出平移方式.

設(shè)計(jì)意圖：通過這組練習(xí)讓學(xué)生對(duì)一次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，而不是知識(shí)點(diǎn)填空式的開課引入.事實(shí)上，如果學(xué)生能順利、快速地把上面4個(gè)問題都解答正確，則他們對(duì)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、平移的規(guī)律都有很好的掌握.

2.例題講評(píng)

例1根據(jù)下列條件確定函數(shù)y＝kx+b的解析式：

（2）直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)（1，5）與點(diǎn)（-1，1）.

設(shè)計(jì)意圖：這里主要復(fù)習(xí)待定系數(shù)法確定正比例函數(shù)、一次函數(shù)解析式，并且這兩種函數(shù)的解析式將是后續(xù)例題研究的背景.

圖1

（1）求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)直線y＝2x+3在x軸上方時(shí)，求自變量x的取值范圍；

設(shè)計(jì)意圖：通過這組習(xí)題訓(xùn)練一次函數(shù)與方程（組）、不等式之間的數(shù)形結(jié)合的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

3.函數(shù)的“數(shù)學(xué)應(yīng)用”

例3已知等腰三角形的周長(zhǎng)為20，設(shè)腰長(zhǎng)為x，底邊長(zhǎng)為y.

（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）寫出自變量x的取值范圍；

（3）在直角坐標(biāo)系xOy中，畫出函數(shù)圖像；

（4）設(shè)（3）中的圖像上有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PH⊥x軸，記△POH的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式.

預(yù)設(shè)追問：第（4）問有一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，由于受x的取值范圍的影響，點(diǎn)P只能在一段上取，故S關(guān)于x的函數(shù)應(yīng)注意自變量的取值范圍，這是不少學(xué)生容易忽略的地方.

例4【閱讀材料】

同學(xué)們用“列表、描點(diǎn)、連線”法可以畫出函數(shù)y＝|x-1|的圖像，觀察它的函數(shù)圖像，發(fā)現(xiàn)圖像最低點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），其實(shí)根據(jù)絕對(duì)值意義就知道該函數(shù)值不可能為負(fù)，而且|x-1|還可以看成是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到定點(diǎn)（1，0）的距離.

【參與解題】

（1）設(shè)M（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它與x軸上表示2的點(diǎn)的距離為s，求s關(guān)于m的函數(shù)解析式，并畫出這個(gè)函數(shù)的圖像.

（2）設(shè)N（0，n）是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它與點(diǎn)（0，-3）的距離為s.

①求s關(guān)于n的函數(shù)解析式；

②直接寫出該函數(shù)圖像的最低點(diǎn)坐標(biāo).

預(yù)設(shè)講評(píng)：（1）引導(dǎo)學(xué)生對(duì)照閱讀材料分析出s＝|m-2|；并在此基礎(chǔ)上畫出圖像，注意該函數(shù)圖像的特殊性，若學(xué)生畫成兩條直線，則啟發(fā)他們思考函數(shù)值是否為任意實(shí)數(shù).

（2）類似地，先分析s＝|n+3|；再結(jié)合上一問中畫圖像的方法，可以得到最低點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0）.

4.小結(jié)測(cè)評(píng)

由于教學(xué)時(shí)間受限的原因，一次函數(shù)的生活應(yīng)用這節(jié)課就來不及復(fù)習(xí)了.本課主要復(fù)習(xí)的是一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、解析式的確定，函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的一些綜合應(yīng)用.

聽課檢測(cè)題：

（1）一次函數(shù)y＝2x-3，y隨x的增大而_____.

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)（0，3）與點(diǎn)（-1，1），求k，b的值.

（3）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x-3在x軸下方時(shí)，求自變量x的取值范圍.

（4）等腰三角形的周長(zhǎng)為10，設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b.試寫出b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量a的取值范圍.

（5）在平面直角坐標(biāo)系中，求兩條平行直線y＝2x-3與y＝2x+3之間的距離.

設(shè)計(jì)意圖：前面的4個(gè)小題都是本課中提到的問題簡(jiǎn)單改編（變換了數(shù)字或字母），第（5）題則是要求學(xué)生分析本課中已提到的兩條平行線之間的距離，現(xiàn)階段求解需要構(gòu)造直角三角形、運(yùn)用勾股定理突破思路.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步解讀

1.深刻理解數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)問題“多元表征”的前提

這里的深刻理解數(shù)學(xué)是指基于數(shù)學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)度、貫通度、廣度、深度等角度而言.如果沒有教師本人對(duì)所教內(nèi)容的深刻理解，很難保證所設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容能體現(xiàn)豐富的多元表征.我們常常見到不少教學(xué)設(shè)計(jì)或課堂教學(xué)因?yàn)榻處煴救巳鄙賹?duì)前后兩個(gè)問題之間的關(guān)聯(lián)，以致缺少必要的點(diǎn)評(píng)或點(diǎn)睛式的講評(píng)，使得數(shù)學(xué)教學(xué)“入寶山而空返”，留下遺憾.比如，認(rèn)識(shí)到一次函數(shù)y＝2x+3的圖像是直線，并熟悉點(diǎn)的坐標(biāo)（m，2m+3）與直線y＝2x+3的關(guān)系，就可以基于它們之間多元表征的關(guān)系，設(shè)計(jì)不同的問題.

2.踐行變式教學(xué)，是數(shù)學(xué)教學(xué)“多元表征”的途徑

上面的課例中我們主要是踐行變式教學(xué)，各個(gè)教學(xué)活動(dòng)中的習(xí)題都是由教材習(xí)題變式改編，同時(shí)又注意了各個(gè)教學(xué)活動(dòng)中習(xí)題之間的關(guān)聯(lián)、對(duì)應(yīng)，保持學(xué)生在思考過程中有一個(gè)主要的直線在心中，避免在不同的小題思考中頻繁轉(zhuǎn)換問題背景.這也是引導(dǎo)學(xué)生在一個(gè)主要問題的平臺(tái)上多角度思考、探究問題.想來，這也是通過多元表征的方式追求數(shù)學(xué)教學(xué)的“多樣”與“歸一”.比如，從開課階段我們就讓學(xué)生保持對(duì)直線y＝2x+3的多角度研究，一直到小結(jié)階段的課堂檢測(cè)，才將這條直線變式成“一次函數(shù)y＝2x-3”，而下設(shè)的5個(gè)檢測(cè)題都與這個(gè)函數(shù)有關(guān).

3.重視對(duì)話追問，努力追求“講活、講懂、講深”

我們知道，鄭毓信教授一直倡導(dǎo)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的追求是：“講活”、“講懂”、“講深”.講活，在本文課例中，就是這一階段所學(xué)的一次函數(shù)的前后知識(shí)、方法從點(diǎn)到面的有機(jī)聯(lián)系；講懂，就是發(fā)揮函數(shù)問題豐富的形式，基于多元表征的變式可能，通過系列變式問題多解歸一，使學(xué)生真正理解有關(guān)的函數(shù)內(nèi)容；講深，就是通過精心預(yù)設(shè)對(duì)話與追問，設(shè)計(jì)一些具有挑戰(zhàn)意味的問題，促進(jìn)優(yōu)秀學(xué)生“跳一跳，碰得到”.比如，我們?cè)诶?、例4與課堂檢測(cè)的最后一題中都提供了類似的需要深入思考的較難問題.

三、結(jié)束語(yǔ)

作為文末，需要指出：無論是作為“外來”的多元表征理論，還是具有“本土”特色的變式教學(xué)理論，本身都博大精深，我們對(duì)其理論的涉獵還很初步，理解上多屬盲人摸象，在這樣的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的變式教學(xué)課例難免會(huì)有不足甚至錯(cuò)漏，誠(chéng)望有識(shí)之士批評(píng)指正，打磨優(yōu)化.

1.鄭毓信.多元表征與概念教學(xué)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（10）.

2.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.

3.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）.

4.章建躍.課堂教學(xué)要注重?cái)?shù)學(xué)的整體性［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2013（5）.H