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        四基為本方法為脈思想為魂
        ——“有關(guān)矩形的折疊問題”專題復(fù)習的教學設(shè)計

        2016-09-21 06:19:27浙江省寧波市鄞州實驗中學蔡衛(wèi)兵
        中學數(shù)學雜志 2016年10期
        關(guān)鍵詞:落點勾股定理矩形

        ☉浙江省寧波市鄞州實驗中學蔡衛(wèi)兵

        四基為本方法為脈思想為魂
        ——“有關(guān)矩形的折疊問題”專題復(fù)習的教學設(shè)計

        ☉浙江省寧波市鄞州實驗中學蔡衛(wèi)兵

        “專題復(fù)習”是中考備考過程中教師們普遍采用的復(fù)習手段,也是中考復(fù)習備考的重要環(huán)節(jié).其核心教育價值不僅在于促進學生對數(shù)學思想認識的深化,更在于促進學生在數(shù)學活動經(jīng)驗中的飛躍生長和發(fā)展.因此,在進入專題復(fù)習階段,專題的選編要以四基為本,回歸教材,突出重點,滲透考點,實現(xiàn)對知識的重新、有效的整合;要以方法為脈,串聯(lián)考點,變式引申,實現(xiàn)對通性通法的靈活掌握;要以思想為魂,類比聯(lián)想,推理運算,貫穿始終,實現(xiàn)對基本活動經(jīng)驗的積累,從中培養(yǎng)學生思考問題的靈活性、開拓性、多向性和創(chuàng)造性,收到以少勝多、事半功倍之效.本文以“有關(guān)矩形的折疊問題”專題復(fù)習的教學設(shè)計為例,談?wù)勅绾我渣c帶面,一圖多折,展開以一題多解、一題多變?yōu)橹饕问降挠?xùn)練,讓學生獲得感性知識、情感體驗和應(yīng)用意識等具有發(fā)展性的經(jīng)驗認識.

        一、四基為本,揭示折疊本質(zhì)

        問題1:如圖1,在矩形紙片ABCD中,AB=8,BC=6,將△ABD沿對角線BD折疊,使點A落在點E處,BE與CD交于點O,AE與BD交于點F,在折疊過程中你能得到什么結(jié)論?

        圖1

        生1:DE=DA,BE=BA,∠BED=90°,∠EDB=∠ADB,∠EBD=∠ABD.

        師:根據(jù)折疊前后的兩個圖形是全等圖形可得到上面的直接結(jié)論.

        生2:BD垂直平分AE.

        師:很好地抓住折疊前后的對應(yīng)點關(guān)于折痕對稱,折疊的本質(zhì)就是軸對稱變換.

        生3:△DOE≌△BOC,OE=OC,OD=OB;△ABF∽△DAF∽△DBA.

        師:這是根據(jù)全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)得到的間接結(jié)論,通過簡單的邏輯推理而獲得.那你根據(jù)條件所給出的具體數(shù)據(jù)能計算出哪些量呢?

        生4:矩形ABCD的周長和面積,△ABD的周長和面積,∠ABD的三角函數(shù)值,還有利用面積法求出AF=,利用相似三角形或銳角三角函數(shù)或勾股定理求出BF=,應(yīng)該是圖中所有線段的長都可以求出.

        師:請說說線段OE的長如何計算?

        生5:設(shè)OE=x,根據(jù)△DOE≌△BOC,可得OC=x,則OD=8-x,在Rt△DOE中,由勾股定理得x2+62=(8-x)2,解得x=.

        師:很好地運用了方程的思想來解決問題,關(guān)于線段長度的計算經(jīng)常會放在直角三角形中利用勾股定理加以考慮.

        生6:根據(jù)生5求得的結(jié)果進一步可求出△DOE、△BOC、△BOD的周長和面積.

        師:很好,中考中有關(guān)折疊問題除了線段的計算還經(jīng)常會涉及圖形的周長和面積的計算,做了很好的遷移和推進,如果不求出線段OE的長,那么能否求出△DOE的周長呢?

        生7:因為OE+OD=OC+OD=CD=8,所以O(shè)E+OD+DE= 14,即△DOE的周長為14.

        師:很好地運用了符號化的換元思想和整體思想來解決問題.

        評析:“四基”是學生學習數(shù)學的基礎(chǔ),是發(fā)展數(shù)學能力的保證,沒有扎實的基礎(chǔ),發(fā)展能力就成為空中樓閣、無源之水、無本之木.此題以對角線為折疊線設(shè)計一個開放性問題,讓學生體驗折疊前后的兩個圖形是全等的,理解折疊的本質(zhì)就是軸對稱變換.同時在凸顯圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系的過程中,復(fù)習回顧全等三角形、相似三角形、勾股定理、銳角三角函數(shù)等核心知識,進一步感悟方程思想、整體思想、模型思想等在解決幾何問題中的應(yīng)用.

        二、方法為脈,探求通性通法

        問題2:在矩形紙片ABCD中,AB=8,BC=6,P為AD邊上一點,將△ABP沿BP折疊,使點A落在點E處.

        師:如果不沿對角線折疊,新圖形中的未知線段是否還可以求出?請大家先思考當點E在CD邊上的情形,求AP的長.

        圖2

        生9(補充):借助勾股定理所列方程,解起來比較麻煩.先證明△DEP∽△CBE,所以,即EP=

        師:因為∠C=∠D=∠BEP=90°,這是一線三等角模型,很好地運用了模型思想來解決問題,關(guān)于線段長度的計算經(jīng)常會放在兩個相似三角形中利用對應(yīng)邊成比例加以分析.

        生10(補充):通過正弦函數(shù)建立線段之間的關(guān)系,因為∠DPE=∠CEB,所以sin∠DPE=sin∠CEB=,即,所以

        師:事實上關(guān)于直角三角形問題,利用相似性質(zhì)得到的對應(yīng)線段成比例與利用三角函數(shù)得到的線段比例關(guān)系本質(zhì)上一樣的,相似與三角函數(shù)是溝通線段之間關(guān)系的重要工具,也是求線段長度的一種常用方法.

        圖3

        生11(補充):因為點A與點E關(guān)于直線BP對稱,所以BP垂直平分AE(如圖3),易證∠DAE=∠ABP,所以Rt△ADE∽Rt△BAP,所以,即

        生12(補充):通過正切函數(shù)建立線段之間的關(guān)系,因為∠DAE=∠ABP,所以tan∠DAE=tan∠ABP,即,所以

        師:若點E在BD邊上(如圖4),你還能求出AP的長嗎?

        生13:(方法一)在Rt△DPE中,由勾股定理列方程可求出AP.

        (方法二)借助相似基本圖形,由△DPE∽△DBA的對應(yīng)邊成比例可求出AP.

        圖4

        生14(補充):面積法,由S=S+S得

        △DAB△DPB△APB2,進而求出AP.

        師:若點E在CD的上方(如圖5),PE與CD相交于點O,OE=OD,你還能求出AP的長嗎?

        生15:因為OE=OD,∠D=∠E= 90°,∠DOP=∠EOF,所以△DOP≌△EOF,所以O(shè)P=OF,所以O(shè)P+OE=OF+OD,即PE=DF.設(shè)AP=x,則DF=PE=x,CF=8-x;EF=DP=6-x,BF=x+2.在Rt△CBF中,由勾股定理得(8-x)2+62=(2+x)2,解得x=.

        圖5

        評析:根據(jù)學生的認知規(guī)律,以“問題串”的形式引導(dǎo)學生積極開展數(shù)學思維活動.從對角線為折疊線到過一頂點所在的直線為折疊線,從折疊后的落點在邊上到對角線上再到一般位置,觀察數(shù)量及數(shù)量間的關(guān)系、圖形及圖形間的關(guān)系,以及數(shù)量和圖形間的關(guān)系,通過“異中求同”或“異中觀同”來抓住本質(zhì)和共性,進一步挖掘折疊問題的內(nèi)在價值.在問題解決過程以尋找等量關(guān)系、滲透方程思想為一條清晰的主線,涉及的知識有勾股定理的應(yīng)用,通過三角函數(shù)值建立比例式,借力一線三等角模型、三垂直模型、母子相似模型尋找相似三角形,利用三角形面積法列方程求解,讓學生養(yǎng)成多角度去分析問題和解決問題的思維習慣,不斷提升學生的思維深度,逐漸形成能力.

        三、思想為魂,拓展思維空間

        問題3:如圖6,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,M、N分別為邊CD、AB上的點,將四邊形ADMN沿MN翻折至四邊形EFMN,點E在BC邊上,且BE=4,求DM的長.

        圖6

        圖7

        師:這個問題的折疊線有什么特點?與上面有什么不同?

        生16:折疊線的兩個端點在對邊上,這時要關(guān)注兩個頂點的落點,前面問題的折疊線的兩個端點在相鄰邊上,往往只需關(guān)注一個頂點的落點.

        師:有關(guān)矩形折疊問題,折疊線有兩類,很好地運用了分類思想考慮問題,同時指出了這時應(yīng)要關(guān)注兩個頂點的落點,那你會先分析哪一個呢?

        生17:因為點A落在BC邊上的點E處,這個位置比較特殊,而且這種情形上面已解決過,而點D的落點F比較一般,所以先分析點A及其落點E.

        師:你是運用了特殊到一般的思想考慮問題,同時又將新的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題,運用了轉(zhuǎn)化思想.那你能通過轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學思想方法解決這個問題嗎?

        生18:在Rt△NEB中,根據(jù)勾股定理運用方程思想得NB=3,NE=5.設(shè)EF與CM交于點P(如圖7),根據(jù)一線三等角模型得△PCE∽△EBN,由此求得.再由△PMF∽△PEC,求得,所以DM=2.

        師:真的太厲害了,轉(zhuǎn)化、類比思想能靈活運用,同時又結(jié)合方程思想和模型思想加以解決問題.大家繼續(xù)交流探究,還有其他解法嗎?

        生19:同上得NB=3,NE=5,連接AM、EM(如圖7),設(shè)DM=x,則CM=8-x,在Rt△DMA中,由勾股定理得AM2= x2+36,在Rt△MCE中,由勾股定理得ME2=(8-x)2+4,根據(jù)MA=ME,得x2+36=(8-x)2+4,解得x=2.

        生20:同上得NB=3,NE=5,連接AE,過點M作MH⊥AB于點H(如圖8),由三垂直模型得△MHN∽△ABE,所以,所以NH=3,AH=2,從而由矩形ADMH得 DM=AH=2.

        圖8

        圖9

        生21:連接MA、ME、AE,過點M作MH⊥AB于點H(如圖8),在Rt△ABE中,由勾股定理求得,由三垂直模型得△MHN∽△ABE,所以,所以,NH=3.所以四邊形MANE的面積為MN·,由面積法得30,所以AN=5,AH=2,從而由矩形ADMH得DM=AH=2.

        師:若將矩形放置在平面直角坐標系中,如圖9,矩形OBCD置于平面直角坐標系中,M、N分別為CD、AB上的點,將四邊形ODMN沿MN翻折至四邊形EFMN,已知點C(m,6),點E為(8,4),求DM的長.

        生(眾):此題與上題一模一樣,過點P作PQ垂直O(jiān)B,可將此題轉(zhuǎn)化為上題,連數(shù)據(jù)都一樣,所以可得DM=2.

        評析:專題復(fù)習是一個經(jīng)歷從量變到質(zhì)變的快速累計階段,在思想上應(yīng)突出關(guān)注.數(shù)學思想方法比數(shù)學知識更抽象,思想方法的教學是一種數(shù)學活動的過程,重在領(lǐng)會應(yīng)用,學生的參與顯得尤其重要.此題的設(shè)計在前面的基礎(chǔ)上,將問題背景復(fù)雜化,折疊線的兩個端點在對邊上,從而將三角形翻折變化到四邊形翻折,從關(guān)注一個落點到考慮兩個落點,在理解題意中體驗折疊線與落點的分類思想,在尋找突破口,確定思維起點中感受轉(zhuǎn)化思想、特殊到一般思想,在明晰思路、解決問題中領(lǐng)悟幾何直觀、模型思想、方程思想、類比思想,在問題變式中運用轉(zhuǎn)化思想,將數(shù)學思維方式融合到對具體問題的探究之中.

        專題復(fù)習課的難點多、運用的數(shù)學思想方法多,而如何將解決問題的策略與思想方法讓學生領(lǐng)悟到,這是教學的難點;如何做到既能全面系統(tǒng)地復(fù)習,又能提高學生的綜合能力是值得探究的問題.所以,在選題設(shè)計上,尋找和挖掘問題內(nèi)涵是關(guān)鍵,注重方法串聯(lián)的題組學習,強調(diào)數(shù)學思想的主體突出;在講題實施上,在特殊處思考,找到解題的切入點,發(fā)展從特殊到一般的歸納思維經(jīng)驗,以及識別基本模型的轉(zhuǎn)換思維,教師應(yīng)注意對問題的結(jié)構(gòu)思考,在問題變式中完善經(jīng)驗.以“四基為本,方法為脈,思想為魂”的專題復(fù)習,可使學生在獲得較系統(tǒng)的數(shù)學知識的同時,學會思維策略,進而培養(yǎng)學生靈活運用知識去解決綜合問題的能力.

        1.劉安清.如何讓中考專題復(fù)習更“專”[J].中國數(shù)學教育(初中版),2015(12).

        2.劉永東.談2015年中考數(shù)學專題復(fù)習[J].中國數(shù)學教育(初中版),2015(12).

        3.朱建良.折在關(guān)鍵疊在本質(zhì)——折紙問題的探究性教學[J].中學數(shù)學教學參考(中),2014(5).

        4.商慶平.讓數(shù)學基本思想與基本活動經(jīng)驗生長在學習支架上[J].中學數(shù)學教學參考(中),2013(3).H

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