☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)孔忠娣

預(yù)設(shè)鋪墊問題：難題講評(píng)用力點(diǎn)

☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)孔忠娣

在最近一次中考?？紲y試中，我們改編了一道把關(guān)題，不少學(xué)生對(duì)第二、三問顯示出不太適應(yīng)的狀態(tài)，為了追求較好的講評(píng)效果，我們對(duì)這兩問進(jìn)行了認(rèn)真準(zhǔn)備，特別是預(yù)設(shè)了大量的鋪墊問題，取得了較好的講評(píng)效果.本文先呈現(xiàn)該題的思路突破，并給出跟進(jìn)的教學(xué)設(shè)計(jì)，與大家分享交流.

一、模考題與思路突破

?？碱}：如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+ c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)為D.

（1）求b、c.

（2）設(shè)點(diǎn)M在x軸下方的拋物線上，當(dāng)∠ABM=∠CBD時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

（3）以O(shè)B為邊在第四象限內(nèi)作等邊△OBP.設(shè)點(diǎn)N（n，0），且n＞1，連接PN，把線段PN繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得PE，求線段DE的長的最小值.

圖1

圖2

思路突破：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c中，可求出b=-2，c=-3.

（2）這個(gè)小問的起點(diǎn)是首先分析△BCD的形狀，可以計(jì)算出BC、CD、BD的長，根據(jù)勾股定理逆定理發(fā)現(xiàn)∠BCD為直角，于是，此時(shí)若在y軸上取一點(diǎn)Q（0，-1），如圖2，作射線BQ交拋物線于點(diǎn)M，則點(diǎn)M就是符合要求的（滿足∠ABM=∠CBD）.進(jìn)一步再求點(diǎn)M的坐標(biāo)時(shí)，可以先分析出直線BQ的解析式為，再把與y=x2-2x-3聯(lián)立，可解出點(diǎn)M的坐標(biāo)

（3）先讀懂題意，然后分離圖形、排除干擾，如圖3，基于“一線三等角”的模式經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)造△OPN≌△KNE，可得KE=ON=n，再過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作 DG⊥EH于G點(diǎn)，可以用含n的式子表示出，進(jìn)一步在Rt△DEG中利用勾股定理表示出，化簡得，由二次函數(shù)的性質(zhì)可分析出：當(dāng)n=2√3-1時(shí)，DE2有最小值7+4√3，相應(yīng)地，DE有最小值2+√3.

圖4

圖3

另解分析：如果上述解法在構(gòu)造上顯得較為繁雜，并且對(duì)于數(shù)式變形要求也太高的話，有理由讓我們重新尋找問題的結(jié)構(gòu).如圖4，連接BE，可證△PON≌△PBE，得出∠PBE=∠PON=60°，即點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡在一條直線（直線BG）上！這很關(guān)鍵，此時(shí)點(diǎn)D到E的距離的最小值就是點(diǎn)D到直線GE的距離.過點(diǎn)D作DE⊥BG于E點(diǎn)，此時(shí)△DEG是一個(gè)含30°角的直角三角形，容易求出DG=4+ 2，于是DE=2+.

二、模考題講評(píng)的教學(xué)設(shè)計(jì)

考題呈現(xiàn)：如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+ bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)為D.

問題1：能確定該拋物線的解析式嗎？你有哪些不同的方法？

問題2：求證△BCD是直角三角形.

問題3：求tan∠CBD的值.

問題4：若在y軸的負(fù)半軸上有一點(diǎn)Q，且∠ABQ=∠CBD，求直線BQ的解析式.

問題5：若在x軸的下方，拋物線上有一點(diǎn)P，且∠ABP=∠CBD，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

問題6：以O(shè)B為邊在第四象限內(nèi)作等邊△OBP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

問題7：設(shè)點(diǎn)N（n，0），且n＞1，連接PN，把線段PN繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得PE，有人認(rèn)為點(diǎn)E一定在某直線上，你覺得呢？

問題8：在上一問的條件下，連接DE，DE是否有最小值？如果有，求出最小值；如果沒有，請(qǐng)說明理由.

問題9：有同學(xué)構(gòu)造出圖3，在Rt△DEG中利用勾股定理表示出DE2，你知道他是如何分析的嗎？

預(yù)設(shè)意圖：“問題1”對(duì)應(yīng)著?？碱}的第一問，“問題2～5”對(duì)應(yīng)著模考題的第二問，“問題6～9”對(duì)應(yīng)著模考題的第三問，試圖通過系列問題的驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生更好地思考把關(guān)題，并自主獲得問題的解答.

講評(píng)之后，再給一道簡單變式后的跟進(jìn)再練.

變式再練：如圖5，已知拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)G.

圖5

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）求證：△BCD是直角三角形.

（3）設(shè)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上，當(dāng)∠ABP=∠CDB時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（4）以O(shè)B為邊在第四象限內(nèi)作等邊△OBM.設(shè)點(diǎn)E為x軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OE＞OG），連接ME，把線段ME繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得MH，試分析∠DBH的大小是否變化，并說明理由.

（5）在（4）中條件下，求線段DH的長的最小值.

三、進(jìn)一步的思考

1.難題講評(píng)重在預(yù)設(shè)鋪墊過渡問題

我們見過有些試卷講評(píng)課，由于教師僅僅滿足于自己解題或思路貫通就開展解題教學(xué)，使得學(xué)生在關(guān)鍵處、障礙處仍然沒有得到有效的突破，講評(píng)時(shí)的重點(diǎn)不夠突出，講評(píng)過程略顯平均用力，使得講評(píng)效果不太理想.基于上述認(rèn)識(shí)，我們認(rèn)為對(duì)于較難習(xí)題的講評(píng)，教師備課的重點(diǎn)應(yīng)該是精心設(shè)計(jì)鋪墊問題或引導(dǎo)問題，下面截取一張我們?cè)谥v評(píng)時(shí)的PPT圖片（如圖6），有利于大家了解我們是如何漸次呈現(xiàn)系列追問的.

2.回顧反思重在揭示問題深層結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)較難問題的求解不能滿足于一種解法，帶領(lǐng)學(xué)生思考多種解法是必要的，更為重要的是思考多種解法的和諧與一致，即“殊途何以同歸”.從?？碱}的第三問來看，使用第一種方法獲得思路之后，仍然需要思考為什么有這樣的答案，通過“數(shù)式變形”算出來的結(jié)果如何獲得直觀上的確認(rèn)？這就有了我們關(guān)于該問題的另一種方法，即引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線！

3.通過變式再練有效提高講評(píng)實(shí)效

根據(jù)多年習(xí)題講評(píng)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于較難問題通過講評(píng)一次就能懂的學(xué)生不會(huì)超過三分之一，近三分之二的學(xué)生需要有跟進(jìn)的變式再練，所以為了提高這類難題的講評(píng)效果，我們倡導(dǎo)對(duì)所講評(píng)的習(xí)題簡單改編后再讓學(xué)生練習(xí)，這也是我們?cè)谏厦嫣峁┑慕虒W(xué)設(shè)計(jì)最后附上變式再練題的原因.這里值得一說的是兩點(diǎn)，第一，變式的距離不能太大，一般設(shè)計(jì)成4～5個(gè)小問，其中前4個(gè)問題都要嚴(yán)格對(duì)應(yīng)講評(píng)過程中提到的問題結(jié)構(gòu)的解法關(guān)鍵；第二，最后一問也可以適當(dāng)拓展或生長，給少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生提供挑戰(zhàn)、向上的機(jī)會(huì).

四、結(jié)束語

習(xí)題教學(xué)、試卷講評(píng)教學(xué)是一首老歌，如何把這首老歌唱出新意，唱出實(shí)效，是值得每個(gè)一線教師深入思考的課題.本文只是結(jié)合一道試卷講評(píng)的設(shè)計(jì)呈現(xiàn)了自己一些個(gè)性化的做法與思考，既不一定準(zhǔn)確，更不一定正確，歡迎更多同行提供自己的實(shí)踐案例，與大家分享，共同研修.

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

2.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.夏盛亮.引導(dǎo)回歸教材，倡導(dǎo)開放教學(xué)——一次縣級(jí)期末卷的命題取向分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（1）.

4.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.Z