☉浙江省寧波市奉化市剡溪中學(xué)范錦君

教材習(xí)題微改編的操作與實(shí)踐

☉浙江省寧波市奉化市剡溪中學(xué)范錦君

波利亞指出：“拿一個有意義但又不復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的領(lǐng)域.”教材習(xí)題顯然符合這樣的特點(diǎn)，它具有典型性、可延伸性，或傳遞某種數(shù)學(xué)方法，或滲透某些數(shù)學(xué)思想，或揭示某個數(shù)學(xué)結(jié)論，其重要性不言而喻.目前教材習(xí)題的設(shè)置往往適切于本章或本節(jié)教學(xué)內(nèi)容，形式上比較單一，缺乏“一點(diǎn)多式”“一題多變”的靈活性，難以滿足不同學(xué)生在數(shù)學(xué)上的不同發(fā)展.近年來，很多學(xué)業(yè)考試的試題改編自教材習(xí)題，因此，對它們不能停留于就題論題，而應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)改編即微改編，圍繞其核心價值部分進(jìn)行引申、挖掘.這樣不僅能產(chǎn)生觸類旁通、舉一反三等讓習(xí)題增值的效果，而且能開闊學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力.

改編教材習(xí)題首先要解決的是習(xí)題源的選擇問題，教師可以結(jié)合教學(xué)實(shí)際，選取基礎(chǔ)性好且有良好發(fā)展空間可塑性強(qiáng)的習(xí)題.那么，如何進(jìn)行習(xí)題的微改編呢？這里筆者將習(xí)題改編著眼于教師易操作、入手快的微改編上，通過幾年的實(shí)踐，探索形成了“一拆三變”微改編策略，供讀者參考.這種改編方法的要點(diǎn)是先將習(xí)題源拆分為條件與結(jié)論兩部分，然后運(yùn)用三種變換方式得到一系列新試題.具體操作如下所示.

變條件即通過強(qiáng)化、弱化條件或者條件與結(jié)論置換，拓展知識的深度和廣度；變結(jié)論即改變或轉(zhuǎn)換設(shè)問的考查目標(biāo)、呈現(xiàn)形式（如開放、探究式）與習(xí)題題型，縱向挖掘，橫向發(fā)展，增強(qiáng)思維的靈動性和深刻性，理清知識之間的相互聯(lián)系；變背景即改換圖形、情境等，追求知識本質(zhì)的理解和提升學(xué)生的建模能力.這樣通過先拆后變的改編方法在原題的鄰近區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生新試題，使原題達(dá)到化熟為生、化生為熟的效果.

一、變條件

例1如圖1，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

圖1

本題是浙教版課標(biāo)教材八年級下冊“4.5三角形的中位線”中典型的四邊形與中位線結(jié)合的習(xí)題，為后續(xù)學(xué)習(xí)矩形、菱形、正方形等相關(guān)試題起到了很好的“水龍頭效應(yīng)”.在教學(xué)過程中，很多教師并沒有真正挖掘其習(xí)題功能，更多的是通過增加對角線條件使其逐步特殊化.當(dāng)然如此處理不可謂不好，對于理清幾種特殊四邊形的判定方法應(yīng)該是很有幫助的，但始終感覺缺乏對學(xué)生思維能力的提升.筆者將本題的“中點(diǎn)”這一條件逐步弱化，嘗試作了如下改編.

問題1：已知E、F、G、H分別是四邊形的邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且不是中點(diǎn)，能否使四邊形EFGH仍為平行四邊形？

如圖2，在AB上任取點(diǎn)E（E不是AB的中點(diǎn)），過E分別作EF∥AC，EH∥BD，F(xiàn)、H分別在BC、AD上，過F作FG∥BD，G在CD上，連接GH.由 EF∥AC，EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，分別得，從而得，于是可得GH∥AC.這樣就證明了四邊形EFGH為平行四邊形.

圖2

由于E是AB上任意一點(diǎn)，因此問題1中的平行四邊形EFGH有無數(shù)個，那么在這無數(shù)個平行四邊形中，能否找到菱形呢？又得到了以下的問題.

問題2：在問題1的條件下，能否得到菱形EFGH？

如圖3，要找到E點(diǎn)并不困難，只需延長AC到K，使CK=BD，連接BK，過C作CE∥BK，交AB于E，再利用問題1的作法，可得四邊形EFGH為菱形.

圖3

這樣已經(jīng)弱化了中點(diǎn)的條件，但四邊形EFGH的邊與四邊形ABCD的對角線仍是平行的，能否繼續(xù)弱化使之成為一個新問題？

問題3：在四邊形ABCD的邊上能否找到點(diǎn)E、F、G、H，使它們不是各邊中點(diǎn)，且與AC、BD不平行，但四邊形EFGH卻是平行四邊形？

如圖4，在AB、BC上分別取點(diǎn)E、F，以FE、FC為鄰邊作平行四邊形EFCK，過K作HK∥CD，過H作HG∥CK，連接FG、EH，四邊形EFGH一定是平行四邊形.

圖4

圖5

問題4：按照問題3的要求，能否使所得到的四邊形EFGH為菱形？

如果參照問題3的方法，通過計(jì)算EF、FG的長，由EF=FG，求E、F的位置，顯然有很大困難.菱形的對角線的特性：菱形的對角線互相垂直平分，且平分一組對角，為解決問題4提供了思路.如圖5，只要延長AB和DC，使它們交于點(diǎn)P，作∠APD的角平分線交BC、AD于F、H，作FH的垂直平分線，交AB于E，交CD于G，四邊形EFGH就一定是一個菱形.

這里需要指出以下兩點(diǎn)：一是E、G可能落在BA與DC的延長線上，我們不妨認(rèn)為也是可以的；二是當(dāng)AB∥CD時，點(diǎn)P無法得到，可通過延長BC、AD得到P.如AB∥CD且BC∥AD時，可過AC、BD的交點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線得到菱形.

評析：對習(xí)題的條件進(jìn)行變換是改編習(xí)題最基本的形式.它能將一個問題從多個角度或反向來研究，通過將條件弱化或增強(qiáng)轉(zhuǎn)化為新問題，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行引申、推廣，促使學(xué)生積極思考，尋找解決問題的方法，加深學(xué)生對知識的系統(tǒng)理解，增強(qiáng)學(xué)生解題的應(yīng)變能力，培養(yǎng)學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)的能力.

二、變結(jié)論

例2如圖6，正三角形ABC中，D、E分別在BC、AC上，AE=CD.連接AD、BE交于點(diǎn)P，求證：∠APE=60°.

圖6

本題是浙教版課標(biāo)教材八年級上冊“特殊三角形”目標(biāo)與評定中一道經(jīng)典老題，很多教師圍繞圖中的兩對全等三角形做文章.仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含其中的六對相似三角形更是本題的亮點(diǎn)，筆者利用這一發(fā)現(xiàn)，設(shè)計(jì)如下試題.

如圖6，正三角形ABC中，AB=6，D、E分別在BC、AC上，AE=CD.連接AD、BE交于點(diǎn)P.

（1）求證△ABE≌△CAD；

（2）若AE=CD=4，求EP的長；

（3）當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C時，試求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑的長.

圖7

整題短小精干，梯度明顯，將全等、三線合一、勾股定理、方程、相似、圓等知識融合其中，尊重學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方面的差異.第一問起點(diǎn)較低，卻為后續(xù)探究作好了鋪墊，第二問要求學(xué)生在熟悉情境中探尋陌生問題的解決方法，發(fā)現(xiàn)圖中的兩個三角形△APE和△BAE有公共角∠AEB，并且∠PAE=∠ABE，于是△APE∽△BAE，從而將求EP的長轉(zhuǎn)化為求BE的長，利用三線合一和勾股定理，過點(diǎn)B作AC邊上的高，不難求得BE=2，于是EP=此小題還可設(shè)問求AP的長.也可以連接DE，若∠AEB=∠CED，求AE的長.第三問將靜態(tài)變?yōu)閯討B(tài)，思維能力繼續(xù)提升，為一些優(yōu)秀學(xué)生提供了展示自己的舞臺.如圖7，首先經(jīng)過嘗試畫圖不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的路徑為一段圓弧，當(dāng)E為AC的中點(diǎn)時，點(diǎn)P經(jīng)過弧AB的中點(diǎn)，此時△ABP為等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，所以∠AOB=120°.因?yàn)锳B=6，所以O(shè)A=2，點(diǎn)P的路徑為

評析：通過對習(xí)題結(jié)論的改變，考查目標(biāo)、設(shè)問視角相應(yīng)發(fā)生改變，要求更全面地理解、分析、歸納各種關(guān)系，同時結(jié)合教學(xué)實(shí)際激發(fā)學(xué)生的探索欲，達(dá)到活躍思維、強(qiáng)化思想方法的掌握。

三、變背景

例3觀察下列多項(xiàng)式，4a+b，8a+4b，12a+9b，16a+ 16b，…，則第n個多項(xiàng)式可表示為_______.

本題難度不大，但背景老套，缺乏鮮活感、層次感.在初三復(fù)習(xí)階段筆者將其改成含三個層次，蘊(yùn)含探尋規(guī)律、方程、函數(shù)等知識的試題.

觀察下表：

序號1 2 3…圖形aa b aa aaa bb aa bb aaa aaaa bbb aa bbb aa bbb aaaa…

我們把某格中字母的和所得多項(xiàng)式稱為“特征多項(xiàng)式”，例如，第1格的“特征多項(xiàng)式”，為4a+b.回答下列問題.

（1）第3格的“特征多項(xiàng)式”為______，第4格的“特征多項(xiàng)式”為_____，第n格的“特征多項(xiàng)式”為______.

（2）第1格的“特征多項(xiàng)式”的值為-10，第2格的“特征多項(xiàng)式”的值為-16，

①求a、b的值.

②在此條件下，第n格的“特征多項(xiàng)式”是否有最小值？若有，求出相應(yīng)的n的值；若沒有，請說明理由.

本題將代數(shù)式規(guī)律以表格型輔以新定義形式呈現(xiàn)，令人耳目一新，問題的設(shè)置起點(diǎn)低、梯度明顯，有利于不同層次學(xué)生的發(fā)揮.彰顯了新課標(biāo)中“由知識立意向能力立意”過渡的要求，是堅(jiān)持學(xué)生“可持續(xù)發(fā)展”理念的體現(xiàn).

例4已知：如圖8，最大正方形的面積等于較小兩個正方形面積的和.求證：這三個正方形的邊構(gòu)成的△ABC是直角三角形.

圖8

本題是浙教版課標(biāo)教材八年級上冊“探索勾股定理”中判定直角三角形的一道試題.近年來，以勾股定理中“趙爽弦圖”“勾股樹”等為模型的試題層出不窮，但富有新意的卻不多.筆者嘗試設(shè)計(jì)了兩題供讀者賞析.

試題1：古印度有一種證明勾股定理的方法：如圖9，過正方形ADEC的中心O，作兩條互相垂直的直線，將它分成4份.如果這兩條直線作得恰當(dāng)，所分成的四部分和小正方形BCMN恰好能拼成大正方形ABPQ.這種方法，不用運(yùn)算，單靠移動幾塊圖形就直觀地證明出了勾股定理，堪稱“無字的證明”！若BC=6，AC=8，則EF為______.

試題2：如圖10，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的.已知正方形ABCD的邊長為4，5個等圓分別內(nèi)切于直角三角形和正方形EFGH各邊，則圖中圓的半徑是__________.

圖9

圖10

評析：通過改變圖形或情境等問題背景，能訓(xùn)練學(xué)生的理解能力和建模能力.操作時我們可選擇一些具有代表性的習(xí)題，在同一種模型上換不同的實(shí)際背景，拓展其內(nèi)涵.

事實(shí)上，對教材習(xí)題的微改編不僅能引領(lǐng)學(xué)生完善知識系統(tǒng)掌握的過程，改變學(xué)生單一的思維方式，使學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到充分的開掘與發(fā)揮，更能促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展，改變教師的教學(xué)方式，使教師的命題更好地為課堂教學(xué)服務(wù).

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.朱林.能產(chǎn)生實(shí)效性的習(xí)題設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（9）.

3.安國釵.推陳出新精彩紛呈——對一道作業(yè)題的開發(fā)、引申與挖掘［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（10）.

4.范錦君.初中數(shù)學(xué)“四步驟”命題策略的實(shí)踐與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（10）.Z