☉江蘇省蘇州市高新區(qū)實驗初級中學練兆明

預設系列問題串，注重關聯(lián)式變式
——以“雙一次函數(shù)”習題課為例

☉江蘇省蘇州市高新區(qū)實驗初級中學練兆明

在一次函數(shù)的習題中，常常把兩個一次函數(shù)圖像放置在同一平面直角坐標系中，成為“雙直線”圖像問題，根據(jù)教學經(jīng)驗，不少學生對這類問題常常表現(xiàn)出不適應的傾向.而這類問題又非?！皬碗s”，既有形式復雜但解法簡單的；又有形式簡潔但求解較難的；既有涉及平移、對稱的變換，又有針對一次函數(shù)的“斜率”（一次項系數(shù)）、常數(shù)“轉置”變換的習題等.本文整理近期筆者執(zhí)教的一節(jié)“雙一次函數(shù)”習題課教學設計，提供研討.

一、“雙一次函數(shù)”習題課教學設計

教學活動一：直線的平移變換

（說明：本課例中圍繞“直線”的系列問題都是在平面直角坐標系xOy中展開探究的，為了節(jié)省篇幅，這個條件不再一一描述）

問題1：將直線y＝x向上平移1個單位，所得直線的解析式是______；

問題2：將直線y＝x向下平移2個單位，所得直線的解析式是______；

問題3：將直線y＝-x向右平移1個單位，所得直線的解析式是______；

問題4：將直線y＝-x向左平移2個單位，所得直線的解析式是______.

設計意圖：通4個平移問題引導學生復習直線平移前后的對應關系，即平移方向、單位的關系.特別是后兩種平移（左、右）比前兩種平移（上、下）要復雜，建議學生認真演算，教學時還可跟進舉例，如y＝3x向左（或右）平移2個單位后，所得到的直線解析式是什么？

變式再練1：把直線y＝2x向上平移后得到直線AB，直線AB經(jīng)過（1，0），求直線AB的解析式.

變式再練2：把直線y＝2x向右平移1個單位后得到直線AB，求直線AB與兩條坐標軸圍成的三角形面積.

教學活動二：直線的翻折變換

問題5：將直線y＝x+1沿x軸翻折后，所得直線的解析式是________；

問題6：將直線y＝x+1沿y軸翻折后，所得直線的解析式是________；

問題7：將直線y＝-2x+b沿x軸翻折后，所得直線的解析式是________；

問題8：將直線y＝kx+b沿y軸翻折后，所得直線的解析式是________.

設計意圖：針對上述4個翻折問題，通過師生對話或追問，可以梳理出直線關于x軸、y軸翻折后對應的直線解析式與原解析式之間的系數(shù)變化規(guī)律.

變式再練3：將直線y＝-2x+3沿y軸翻折后，所得直線的解析式是________.

變式再練4：若直線y＝2x+2沿x軸翻折后，所得直線與原直線及y軸圍成的面積是多少？

教學活動三：一次函數(shù)系數(shù)的轉置變換

問題9：若直線y＝2x+n與y軸的正半軸相交，則直線y＝nx+2x經(jīng)過哪幾個象限？

問題10：兩條直線y＝mx+n與y＝nx+m在同一直角坐標系中的位置可能是圖1中的（）.

圖1

設計意圖：通過問題9先安排一個系數(shù)為常數(shù)，再過渡到問題10中兩個參數(shù)的轉置思考.

變式再練5：圖2中各函數(shù)圖像不可能是一次函數(shù)y＝ax-（a-2）圖像的是（）.

圖2

變式再練6：兩條直線y＝ax+b與y＝abx（a，b為常數(shù)，且ab≠0）在同一平面直角坐標系中的可能情況是圖3中的（）.

圖3

教學活動四：“雙一次函數(shù)”的拓展研究

問題11：已知直線l1：y＝-2x+4與直線l2：y＝0.5x-2.

（1）在同一平面直角坐標系內，畫出這兩條直線；

（2）求這兩條直線的交點坐標；

（3）根據(jù)圖像回答，當x在什么范圍內取值時，直線l1在直線l2的上方；

（4）求證：l1⊥l2.

問題12：填表并觀察下列兩個函數(shù)的變化情況.

x 1 2 3 4 5…y1＝10+2x y2＝5x

（1）在同一個直角坐標系中畫出這兩個函數(shù)的圖像，比較它們有什么不同；

（2）預測哪一個函數(shù)值先到2016？

（3）設直線x＝a與（1）中兩個函數(shù)的圖像y1＝10+2x、y2＝5x分別交于點M、N.

①當點M在點N上方時，請指出a的取值范圍；

②當MN＝20時，求a的值.

預設講評：第（1）問是開放式問題，通過學生小組內交流后再匯報各自的觀點，并追問有沒有不同的思考，將這個問題的成果擴大.

第（2）問，如圖4，從函數(shù)的圖像可知函數(shù)y2＝5x的函數(shù)值先到2016.這里最好讓學生指出兩條直線的交點，再從交點的意義解讀哪條直線的y值先到2016，更加直觀好懂.

圖4

第（3）問主要是訓練數(shù)形結合思想方法在這類雙一次函數(shù)問題中的運用.

教學活動五：課堂小結與聽課檢測

聽課檢測題：（5個小題，每小題20分，共100分）

在同一平面直角坐標系中，直線l1： y＝-2x與l2：的圖像如圖5所示.

（1）將直線l1向上平移_____個單位后得到的直線經(jīng)過點（0，1）；

圖5

（2）直接寫出直線l2關于x軸對稱的直線解析式；

（3）當直線l1在直線l2上方時，求出相應的自變量x的取值范圍；

（4）若直線l3：y＝（m-4）x-2與直線l2的交點在第一象限，試分析直線y＝-2x+m-3經(jīng)過哪幾個象限；

（5）設直線y＝n與l1、l2分別交于點M、N，當MN＝5時，求a的值.

二、教學立意的進一步闡釋

1.預設系列問題串，驅動課堂教學進程

從上面提供的課例來看，我們設計了大量的問題串，意圖通過上述系列問題串驅動課堂教學進程.這些問題串又分成幾個不同的版塊或主題，在每一個主題下的問題串聚焦于一個專題，如教學活動一中我們主要關注的是直線平移的問題，活動二中的4個問題串主要訓練的是直線關于坐標軸翻折的問題.上述兩個活動中系列問題讓學生復習了兩條直線的位置與待定系數(shù)之間的關系，也為后續(xù)問題的深入研究奠定了基礎.

2.倡導對話與生成，追求開放數(shù)學教學

當下倡導的“以學生為主體”、“以學為中心”的課堂教學，根本上說需要教師功在課前、前置思考和精心預設，包括預設追問、點評，在課堂教學時注意通過恰時恰點的問題促進師生、生生之間的對話與精彩生成，這些努力事實上也是追求所謂的“開放的數(shù)學教學”（鄭毓信語）.比如，在問題12中，我們設計了“預測哪一個函數(shù)值先到2016”就是一個開放式問題，學生的解答和闡釋的方式可能會有很多，判斷的結果并不重要，重在追問學生預測的理由和依據(jù)，如果學生的數(shù)形結合思想足夠深刻，則可能有非常簡潔有力的解釋.

3.注重關聯(lián)式變式，舉一反三式的訓練

據(jù)我們的教學觀摩所見，不少同行的習題課往往是選題零亂，缺少主題聚焦.事實上，這也是我們設計上述課例的主要追求，即追求不同問題串之間的關聯(lián)式變式，并且及時跟進“變式再練”，通過舉一反三式的訓練幫助學生理解、鞏固方法.一直到課堂檢測環(huán)節(jié)，仍然是回顧全課所學內容，再次簡單改編數(shù)據(jù)、字母，以每小題20分的方式反饋聽課效果，從我們的教學經(jīng)驗來看，這種跟進檢測的教學方式“制造”了必要的緊張氛圍，對于目前大班額（50名學生或以上）教學現(xiàn)狀來看，提高教學效率有著現(xiàn)實意義.

三、結束語

習題教學在目前中學數(shù)學課堂教學中占據(jù)很大的比重，是不得不面對的一種課型，然而這方面的課型研究（主要是相關的教學設計）還不豐富，也沒有得到應有的重視，我們以一節(jié)習題課的設計梳理成文，拋磚引玉，期待批判指正.

1.雍亞波.運算更高效，題型更豐富，思考更深入——以“乘法公式的再認識”習題課教學為例［J］.中學數(shù)學（下），2015（11）.

2.劉東升.關聯(lián)性：一個值得重視的研究領域［J］.中學數(shù)學（下），2013（12）.

3.夏建明.一類值得重視的代數(shù)運算應用題［J］.中學數(shù)學（下），2015（11）.

4.仇錦華.從數(shù)學整體觀看單元教學［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2015（11）.H