☉浙江省溫州市南浦實(shí)驗(yàn)中學(xué)陳培培

基于認(rèn)知取向的切線長(zhǎng)定理教學(xué)與思考

☉浙江省溫州市南浦實(shí)驗(yàn)中學(xué)陳培培

切線長(zhǎng)定理是在九年級(jí)學(xué)習(xí)了直線與圓的位置關(guān)系以后的后續(xù)課，在此之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了切線的定義、判定和性質(zhì)，并繼續(xù)對(duì)切線的性質(zhì)的研究，是在垂徑定理之后對(duì)圓的對(duì)稱(chēng)性又一次的認(rèn)識(shí)，體現(xiàn)了圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的變換、圖形的證明的有機(jī)結(jié)合，它既是前面知識(shí)的延伸，也是后面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，又是今后證明線段相等、角相等、弧相等、線段成比例等的重要工具，因此，本課具有承前啟后的重要地位.對(duì)于學(xué)生而言，本課始終存在很大的難度.因此，筆者試圖通過(guò)認(rèn)知取向理論來(lái)解決和突破這一難點(diǎn).

一、認(rèn)知學(xué)習(xí)理論的基本特征

1.認(rèn)知學(xué)習(xí)理論的目標(biāo)

認(rèn)知學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)任何一門(mén)學(xué)科的根本目的是讓學(xué)生主動(dòng)地建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).就本節(jié)課而言，通過(guò)對(duì)切線長(zhǎng)定理的猜想和證明，有助于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的演繹推理能力和邏輯思維能力，而深入剖析圖形，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

2.認(rèn)知學(xué)習(xí)理論的實(shí)施

教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)有效實(shí)施教學(xué)原則，提倡發(fā)現(xiàn)式教學(xué).在學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、歸納、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程.同時(shí)在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生通過(guò)合作學(xué)習(xí)的過(guò)程，積累一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，自覺(jué)自主地進(jìn)行探索與合作交流.

二、基于認(rèn)知取向的教學(xué)過(guò)程

1.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，作為認(rèn)知生長(zhǎng)點(diǎn)

欣賞五糧液酒廠東大門(mén)的圖片（如圖1）并提出問(wèn)題.

問(wèn)題1：照片中有哪些幾何圖形？

問(wèn)題2：過(guò)圓外一點(diǎn)作已知圓的切線，可以作出幾條？

圖1

學(xué)生欣賞圖片，思考、反饋，體會(huì)生活中的幾何圖形，并大膽說(shuō)出自己的看法.從生活中的實(shí)例引入新課，體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的興趣，喚起他們的好奇心與求知欲，同時(shí)對(duì)過(guò)圓外一點(diǎn)可以畫(huà)圓的兩條切線形成初步的感性認(rèn)識(shí).

圖2

2.合作學(xué)習(xí)，探究新知

活動(dòng)1：畫(huà)一畫(huà)

問(wèn)題3：如圖2，在圓外任找一點(diǎn)P并畫(huà)出⊙O的兩條切線？

在實(shí)際應(yīng)用中，我們根據(jù)需要，經(jīng)常求點(diǎn)P與切點(diǎn)間的距離，因此，需要給出一個(gè)定義.

（1）切線長(zhǎng)定義：圓的切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做該點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).

（2）切線與切線長(zhǎng)的區(qū)別：切線是一條與圓相切的直線，不能度量.切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，可以度量.

學(xué)生通過(guò)親自動(dòng)手作圖，不僅鞏固了上節(jié)課學(xué)習(xí)的切線的畫(huà)法，還身臨其境地感受切線的定義，從而引出切線長(zhǎng)的概念，并將切線與切線長(zhǎng)兩個(gè)定義加以區(qū)分，加深對(duì)切線長(zhǎng)概念的理解，滲透了從具體到抽象的數(shù)學(xué)思想方法，為切線長(zhǎng)定理的探究打下基礎(chǔ).

活動(dòng)2：折一折

問(wèn)題4：若將這個(gè)圖形沿直線OP翻折，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？猜想：PA____PB，∠APO_____∠BPO.

問(wèn)題5：過(guò)圓外任意一點(diǎn)作圓的兩條切線都有這樣的結(jié)論嗎？

利用幾何畫(huà)板分別變換點(diǎn)P的位置及圓的大小，觀察線段PA與PB、∠APO與∠BPO是否相等？驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生歸納結(jié)論.

學(xué)生通過(guò)翻折，觀察PA與PB、∠APO與∠BPO之間的關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)、猜想切線長(zhǎng)定理，并用自己的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái).這樣的設(shè)計(jì)滲透了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比遷移能力及探索問(wèn)題的能力，使學(xué)生在相互欣賞、爭(zhēng)辯、互助中得到提高；幾何畫(huà)板的使用讓靜止的圖形運(yùn)動(dòng)起來(lái)，使問(wèn)題變得更加生動(dòng)形象.

問(wèn)題6：同學(xué)們：試用文字語(yǔ)言敘述剛才的結(jié)論？

切線長(zhǎng)定理：過(guò)圓外一點(diǎn)所畫(huà)的圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.

剖析定理：（1）指出定理的題設(shè)和結(jié)論；

（2）結(jié)合圖形，用符號(hào)語(yǔ)言表示定理：如圖3，若PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，則PA=PB，∠APO=∠BPO.

此環(huán)節(jié)讓學(xué)生熟練掌握定理的三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言（文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言）的表示及相互轉(zhuǎn)化.

活動(dòng)3：證一證

問(wèn)題7：請(qǐng)證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

切線長(zhǎng)定理證明的教學(xué)方式是學(xué)生自主探索與合作交流相結(jié)合，首先采取多種方式進(jìn)行探索，等學(xué)生猜想出結(jié)論后，再明確告知學(xué)生，僅憑照片觀察、作圖度量、折疊展示、動(dòng)態(tài)演示，并不足以說(shuō)明結(jié)論的正確性，還需通過(guò)嚴(yán)格的證明來(lái)確保結(jié)論的正確性，同時(shí)激勵(lì)學(xué)生尋找證明猜想的途徑.

圖3

問(wèn)題8：證明命題的步驟有哪些？

第一步，分清命題的題設(shè)、結(jié)論.

第二步，畫(huà)圖.

第三步，結(jié)合圖形，寫(xiě)出已知，求證.

已知：如圖3，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B.

求證：PA=PB，∠OPA=∠OPB.

第四步，寫(xiě)出證明過(guò)程.

讓學(xué)生在探究的過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿(mǎn)著探索性和創(chuàng)造性，感受證明的必要性，證明過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性及結(jié)論的確定性，使學(xué)生的直觀操作與邏輯推理有機(jī)地整合到一起.可以看出，設(shè)置探究性的問(wèn)題，可以引導(dǎo)學(xué)生理解已知與未知、簡(jiǎn)單與復(fù)雜、特殊與一般在一定條件下可以轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生把未知轉(zhuǎn)化為已知，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題的能力.

圖4

3.應(yīng)用環(huán)節(jié)，體驗(yàn)成功

已知：如圖4，AC是⊙O的直徑，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B.求：

（1）若OP=10，⊙O的半徑為6，則PA=______，PB=______.

（2）若OA=4，OP=8，則∠APO=____，∠APB=____，∠CAB=___.

問(wèn)題9：在圖4中連接AB，不難發(fā)現(xiàn)∠APO=∠CAB，這個(gè)結(jié)論是否具有一般性？

在本段的教學(xué)中，教師注意突出性質(zhì)的探究過(guò)程，重視學(xué)生主體地位的落實(shí)，讓學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)，合作探究，經(jīng)歷觀察、猜想、分析、驗(yàn)證、交流等基本數(shù)學(xué)活動(dòng)，探索切線長(zhǎng)性質(zhì)，從而品嘗了發(fā)現(xiàn)所帶來(lái)的快樂(lè)，培養(yǎng)學(xué)生思維的完整性和深刻性.

4.小結(jié)提煉，反思提升

課堂小結(jié)時(shí)，讓學(xué)生暢所欲言，談?wù)勥@節(jié)課的收獲是什么.教師進(jìn)行補(bǔ)充、總結(jié)，為下節(jié)課做好鋪墊.教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：

（1）知識(shí)價(jià)值：切線長(zhǎng)定理；

（2）模型化思想：證明命題的基本步驟及數(shù)學(xué)建模能力（基本圖形）；

（3）數(shù)學(xué)思維及思想方法：從具體到抽象，從直觀、合情推理到嚴(yán)密邏輯推理的思維過(guò)程，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，從特殊到一般、分類(lèi)與整合等.

接下來(lái)可以通過(guò)反思和圖示（如圖5）來(lái)檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo)的達(dá)成程度：

圖5

三、對(duì)于認(rèn)知學(xué)習(xí)取向的再思考

1.認(rèn)知學(xué)習(xí)取向的原則和定位

進(jìn)行認(rèn)知學(xué)習(xí)一定要注意原則和標(biāo)準(zhǔn).在整節(jié)課中，學(xué)生對(duì)教師創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題很感興趣，他們積極思考、主動(dòng)探究，踴躍回答問(wèn)題.通過(guò)分組討論、上臺(tái)展示、師生交流、生生交流使思維碰撞出火花，生成了一些新的思路.學(xué)生的表現(xiàn)超出了筆者的預(yù)期，整節(jié)課在輕松愉悅的環(huán)境下完成學(xué)習(xí)目標(biāo)，這其實(shí)就是對(duì)認(rèn)知學(xué)習(xí)取向的一種肯定.在活動(dòng)中，教師拋出開(kāi)放性問(wèn)題后，學(xué)生通過(guò)自主探究、小組交流，發(fā)現(xiàn)了很多有用的結(jié)論，全班同學(xué)積極發(fā)言，都迫切希望上臺(tái)展示，但是由于時(shí)間關(guān)系，以及本節(jié)課重點(diǎn)是探究、證明切線長(zhǎng)定理，因此沒(méi)能夠讓學(xué)生充分展示自己的結(jié)論，雖然有所遺憾，但能夠讓學(xué)生進(jìn)一步思考也是一種極大的成功.

2.關(guān)于課堂的評(píng)價(jià)與思考

認(rèn)知學(xué)習(xí)理論十分重視對(duì)課堂的評(píng)價(jià).在教師評(píng)價(jià)時(shí)，首先，關(guān)注學(xué)生的參與程度和思維水平，關(guān)注學(xué)生對(duì)基本知識(shí)的掌握情況，以及解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力；其次，在教學(xué)過(guò)程中尊重學(xué)生的個(gè)體差異，對(duì)于學(xué)生的不同思維方式，只要合理都應(yīng)給予鼓勵(lì)和肯定，幫助學(xué)生樹(shù)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信，充分發(fā)揮學(xué)生的評(píng)價(jià)能力，培養(yǎng)學(xué)生的集體榮譽(yù)感.同時(shí)為學(xué)生提供生生評(píng)價(jià)的平臺(tái)，讓學(xué)生之間學(xué)會(huì)質(zhì)疑，學(xué)會(huì)互相欣賞、學(xué)習(xí)和借鑒.從教學(xué)設(shè)計(jì)上看，筆者以生活中熟悉的幾何圖形——五糧液東大門(mén)為引入，激發(fā)學(xué)生的興趣，喚起他們的好奇心與求知欲，激發(fā)學(xué)生的探究欲望.畫(huà)一畫(huà)、折一折、證一證等3個(gè)活動(dòng)環(huán)環(huán)相扣，設(shè)置層層深入的問(wèn)題把學(xué)生的思考逐步引向深入.通過(guò)“觀察—猜想—探究—證明—應(yīng)用”五步教學(xué)法的形式研究有規(guī)律性的這類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的教學(xué)，較好地達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，同時(shí)也充分體現(xiàn)新課程的教學(xué)理念.在活動(dòng)2、活動(dòng)3的交流過(guò)程中，學(xué)生的思維展現(xiàn)得淋漓盡致，讓學(xué)生充分體驗(yàn)到了學(xué)習(xí)的成功喜悅.教師采取不斷追問(wèn)的方式，激起學(xué)生思維的火花，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力.與此同時(shí)，通過(guò)歸納小結(jié)和方法提煉環(huán)節(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步內(nèi)化了本節(jié)課的知識(shí)和方法，從而進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力與動(dòng)手操作能力，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，盡而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的演繹推理能力和思維能力的目標(biāo).H