陜西師范大學附屬中學　程自順

背景熟悉,方法常規(guī),突出考查能力
---2015年陜西中考數(shù)學第25題評析

一、題目呈現(xiàn)

如圖,在每一個四邊形ABCD中,均有AD∥BC, CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12.

(1)如圖1,點M是四邊形ABCD的邊AD上一點,則△BMC的面積為________.

(2)如圖2,點N是四邊形ABCD的邊AD上任意一點,請你求出△BNC的周長的最小值.

圖1

圖3

(3)如圖3,在四邊形ABCD的邊AD上,是否存在一點P,使得cos∠BPC的值最小?若存在,求出此時cos∠BPC的值;若不存在,請說明理由.

二、解法評析

1.關于第一問

求△BMC的面積,由于BC=12,故只需求出BC邊上的高(即平行線AD與BC之間的距離),比如CD的長,作出梯形的常用輔助線都可以解決,如圖4(作高)、5(平移一腰)、6(補成矩形)、7(延長兩腰)所示,借助含30°角的直角三角形三邊之間的關系計算出高為4姨搖3,進而得到所求面積為24姨搖3,涉及特殊三角形、特殊平行四邊形(矩形)等數(shù)學知識.由于只是填空,不需要寫分析、思考和計算的過程,故節(jié)約了考生在此問的作答時間,為解決后續(xù)問題提供時間保障.總體來看,該問起點低,入口寬,方法多樣,絕大部分學生都能獲得成功,為解決后續(xù)問題增添了信心!

圖4

圖5

圖6

圖7

2.關于第二問

求△BNC的周長的最小值,由于BC=12,故只需求出NB+NC的最小值,問題轉化成"已知B、C是直線AD外的定點,N是直線AD上的動點,求NB+NC的最小值",即為課本上出現(xiàn)過、學生很熟悉的將軍飲馬問題:

圖8

如圖8,延長CD至C′,使得DC′= DC,連接NC′,連接C′B交AD于點N′,連接N′C,則NB+NC=NB+NC′≥C′B=N′B+N′C′=N′B+N′C,所以△BNC的周長的最小值為BC+C′B=

因為D是C′C的中點,且N′D∥BC,所以N′是C′B的中點從而N′C=N′B,即△BNC的周長最小時△BNC為等腰三角形(△BN′C).由第一問知:當點N在邊AD上運動時,△BNC的面積不變,故第二問反映了一個事實"在一切同底邊并且面積相等的三角形中,以等腰三角形的周長最短."(參考《初中數(shù)學競賽中的平面幾何》(周春荔編著)第257頁例4),即第二問有等周問題的背景.

將軍飲馬問題是中考數(shù)學的熱點,大都以正方形、菱形、圓、平面直角坐標系等為背景,也是學生平時練習中接觸的高頻題目,對大部分考生而言,該問情境雖新,題意及解法卻并不陌生,可以很好地考查學生對數(shù)學問題的理解能力和對數(shù)學方法的遷移能力.第二問設問簡潔、清新,根植于課本,有數(shù)學模型可依,有解題方法可尋,難度中等,中等程度及以上的考生即可獲得滿分,有一定的區(qū)分度.

3.關于第三問

在初中,只學習銳角的三角函數(shù),故看到第三問,首先提出的問題是:對于邊AD上的任意點P,∠BPC都是銳角嗎?事實上,由于4>6,故以BC為直徑的圓O與AD相離,如圖9,則∠BPC<∠BQC=90°.

關于"是否存在"的回答,可以先計算出三個特殊位置處cos∠BPC的值.如圖10,當點P與點D重合時,;當點P與點A重

2XACXBK=S△ABC得,從而cos∠BPC=

進而AK=

;當點P與點N′重合時,同理可求出cos∠BPC=cos∠BN′C=.顯然,最后一種情況時

cos∠BPC的值最小.

圖9

圖10

圖11

回頭來看,點N′其實非常特殊,它是BC的中垂線與AD的交點,如圖11,將四邊形ABCD補成矩形EBCD,從對稱來看,只需考慮點P在N′D上的情況,由計算有cos∠BN′C∠BPC.

如圖12,作出△BN′C的外接圓,由O′N′⊥AD知其與AD相切,當邊AD上的點P與點N′不重合時,點P都在圓外,有∠BN′C>∠BPC.

此時,還可以換個角度來計算.

方法2:cos∠BN′C=cos2∠BN′O=2cos2∠BN′O-1=2X

圖12

圖13

圖14

第三問"道是無圓卻有圓",涉及"先猜后證"的思想、幾何直觀(直覺)的能力和探索性思維,是全卷最具選拔性的地方,難度較大,考查學生對數(shù)學知識、方法的融會貫通程度和解決問題的創(chuàng)新意識,對學生綜合運用所學數(shù)學知識、方法、思想和基本活動經(jīng)驗分析問題、解決問題的能力要求較高,具有明顯的區(qū)分度.

從教師進行研究的角度,不囿于初中的數(shù)學知識,還有如下思路.

解法1:由正弦定理有BC sin∠BP C=2R,如圖13,當△BPC的外接圓的半徑R最小即其與AD相切時, sin∠BPC的值最大,∠BPC最大,cos∠BPC的值最小,計算略.

解法2:如圖14,設N′P=a,由余弦定理,得cos∠BPC=.顯然,當a=0時(P與N′重合),cos∠BPC取得最小值

解法3:由面積公式有S△BPC=XPBXPCXsin∠BPC,

而面積為定值,所以若∠BPC最大,只需要sin∠BPC的值最大,就需要PBXPC的值最小,由解法2得PBXPC=顯然,當a=0時(P與N′重合),PBXPC的值最小,計算略.

解法4:如圖15,B(0,0)、C(12,0),設P(a,4),其中4≤a≤12.

圖15

圖16

三、思考

第25題以(直角)梯形為載體,研究夾在平行線之間的一邊固定的三角形的面積、周長和張角問題,涉及三角形、四邊形、圓、勾股定理、三角函數(shù)、一元二次方程等眾多數(shù)學知識,三個小問一氣呵成,前后關聯(lián).更一般的情況是,如圖16,已知AD∥BC,P為AD上的一個動點,有△BPC,明顯地,以線段BC的中垂線l為對稱軸,即在點N′兩側,存在一對以BC為公共邊的全等三角形,故只需考慮l一側的情況,由于"平行線之間的距離處處相等",故△BPC的面積不變(變化中的不變);直觀地可以看到,當點P從"遠方"向點N′移動時,△BPC的周長在減小,∠BPC在增大,至點N′處(與點N′重合),△BPC的周長最短,∠BPC最大.退到問題的全貌,有助于整體把握、分析、探索、解決問題,正如華羅庚先生所說,解題時先足夠地退,退到我們最易看清楚問題的地方,認透了,鉆深了,然后上去,善于"退",足夠地"退",退到原始而不失去重要性的地方,這是學好數(shù)學的一個訣竅.

本題體現(xiàn)了能力立意的命題思路,背景是熟悉的,要解決的問題是清楚的,求面積(等積變換)、求周長(線段和的最小值)、求最大張角(角的大小比較)分別在課本上都能找到模型和方法,依次為平行線之間的距離、將軍飲馬問題、與圓周角相關的角的大小比較,因此解決方法也是常規(guī)的;問題設計時,由易到難,由定量到定性,從定值到最值,從確定性問題到探索性問題,層層遞進,學生對問題的解決也相當于完整地經(jīng)歷了問題提出、發(fā)現(xiàn)、分析與解決的研究過程,對學生綜合運用數(shù)學知識解決新問題的能力,尤其是平時積累的基本數(shù)學活動經(jīng)驗的深度考查非常到位.在教學中,建議回歸課本,注重基礎,加強對數(shù)學基本能力的訓練,對基本問題進行深入探討,滲透數(shù)學發(fā)現(xiàn)與探究的方法,重視數(shù)學思維訓練和基本數(shù)學活動經(jīng)驗的積累.

最后,筆者認為,整個題目的敘述顯得臃腫,對邊AD上的點的交待有重復,第三問求cos∠BPC的最小值,不指明∠BPC是銳角有些別扭,指明∠BPC是銳角又少了些探索的味道且有方法提示的嫌疑,因此可以進行適當修改,使其更具數(shù)學味道.

如圖17,在四邊形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12,點P是邊AD上的一點.

圖17

(1)求△BPC的面積;

(2)求△BPC的周長的最小值;

(3)求∠BPC最大時點P的位置.

1.周春荔.初中數(shù)學競賽中的平面幾何[M].北京:中國物資出版社,2004.

2.程自順.以不變應萬變,會轉化是關鍵---2013年陜西中考數(shù)學第23題閱卷反饋[J].中學數(shù)學(下), 2014(3).