山東省臨沂市臨港經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)第四中學(xué)　李艷娜

"蘭利問題"求解的多種途徑

一、問題再現(xiàn)

如圖1,△ABC中,AB=AC,∠A=20°,若E在AB上,D在AC上,∠CBD=50°,∠BCE=60°,求∠CED的度數(shù).

圖1

這個問題的歷史非常悠久,保守估計也有上百年的歷史,其最初的來源現(xiàn)在已經(jīng)不得而知了.1922年,英國數(shù)學(xué)家蘭利在《數(shù)學(xué)公報》雜志上發(fā)表了一篇題為《一個問題》的文章,向人們詳細(xì)介紹了這個問題.這可能是該問題第一次正式出現(xiàn)在公眾的視野中,因此它也被稱為"蘭利問題".

第一次看到蘭利問題,相信同學(xué)們肯定會說"這還不容易",隨即拿起身邊的鉛筆,在草稿紙上涂畫起來.不過,大家馬上就會發(fā)現(xiàn),僅僅去尋找角度上的數(shù)量關(guān)系,很快便會陷入僵局.即使將要求的角設(shè)為x,列出的方程也無法提供任何有用的信息.事實上,蘭利問題遠(yuǎn)沒有那么簡單.解決這個問題不僅需要作出不止一條輔助線,而且還要構(gòu)造出大量新的三角形!不過,雖然解題步驟異常煩瑣,但里面所用到的知識點都是大家已經(jīng)學(xué)過的.難怪很多人都把這個問題稱為"史上最難的初等幾何問題".

雖然這是一道"史上最難的初等幾何問題",但用到的知識點都是大家已經(jīng)學(xué)過的,所以我們應(yīng)該相信經(jīng)過思考和努力,能夠解答這個問題.

親愛的同學(xué)們,你敢向這道難題挑戰(zhàn)嗎?如果你經(jīng)過思考和努力,仍然沒有破解這道難題,也不要懈氣.

二、解法探究

實際上,△ABC是一個比較特殊的等腰三角形,它的頂角為20°,兩個底角都為80°,注意到底角與頂角之差為60°,且BC=CD,若以∠ABC為底角,BC為一腰作等腰三角形BCF,并連接DF,這樣不僅可以得到一個等邊三角形CDF,還可以得到兩個等腰三角形CEF和DEF,再求∠CED就方便多了.

解法1:由AB=AC,∠A=20°,得∠ABC=∠ACB=80°.

由∠BDC=180°-∠CBD-∠ACB=180° -50°-80°=50°=∠CBD,得BC=CD.

作CF=BC交AB于點F,連接DF,則CF= CD,∠ABC=∠BFC=80°.

∠BCF=180°-2∠ABC=180°-2X80°=20°.

∠ACF=∠ACB-∠BCF=80°-20°=60°.

則△CDF是等邊三角形.則CF=DF,∠CFD=60°.

∠BFD=∠BFC+∠CFD=80°+60°=140°.

∠FCE=∠BCE-∠BCF=60°-20°=40°,∠FEC=180°-∠ABC-∠BCE=180°-80°-60°=40°=∠FCE,則EF=CF.又CF=DF,則EF=DF.

圖2

則∠CED=∠DEF-∠FEC=70°-40°=30°.

點評:輔助線CF在本解法中起著至關(guān)重要的作用,它溝通了△BFC、△DEF、△CEF和△CDF之間的聯(lián)系.正如一盤棋賽,看似死局的一方如果走動其中一枚關(guān)鍵的棋子,其他棋子都跟著動起來,全盤皆活.另外我們發(fā)現(xiàn),點F是△CDE的外接圓(該圓半徑正好等于等腰三角形ABC的底邊長)的圓心,因此在得出EF=CF后,可以確定點F是△CDE的外接圓圓心,由同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系立即可得∠CED=∠DFC=30°.

如果再能注意到BC=CD,聯(lián)想到正弦定理和余弦定理,若設(shè)BC=CD=1,則在△BCE中可以求出CE,而∠DCE=20°,利用余弦定理又可以求出DE之長,然后在△CDE中利用正弦定理求∠CED的度數(shù).

解法2:設(shè)BC=CD=1.

在△CDE中,∠DCE=∠ACB-∠BCE=80°-60°=20°.

由余弦定理,得DE2=CD2+CE2-2CD.CE.cos∠DCE= 12+(2cos40°)2-2.2cos40°.cos20°=12+(2cos40°)2-2. 2cos40°cos20°=12+(2cos40°)2-2(cos60°+cos20°)=1+ 4cos240°-1-2cos20°=4cos240°-2cos20°=2(1+cos80°)-2cos20°=2+2cos80°-2cos20°=2+2(cos80°-cos20°)=2+ 2(-2sin50°sin30°)=2-2sin50°=2-2cos40°=2(1-cos40°)= 2.2sin220°=(2sin20°)2.

則DE=2sin20°.

點評:本解法利用正弦定理和余弦定理求解,思路清晰,目的性強(qiáng),解答的關(guān)鍵是求出DE=2sin20°.

圖3

三、改變部分條件探究

如果將蘭利問題中的條件"∠CBD=50°"改為"∠CBD=70°",問題中的"求∠CED的度數(shù)"改為"求∠BDE的度數(shù)",又該如何求解呢?

如圖3,△ABC中,AB=AC,∠A= 20°,若E在AB上,D在AC上,∠CBD= 70°,∠BCE=60°,求∠BDE的度數(shù).

已知條件僅將"∠CBD=50°"改為"∠CBD=70°",題目難度大大增加.不過我們可以借助蘭利問題及其求解思路助解.解法1:由AB=AC,∠A=20°,得∠ABC=∠ACB=80°.∠BDC=180°-∠ACB-∠CBD=180°-80°-70°=30°,∠ACE=∠ACB-∠BCE=80°-60°=20°.

在∠ABC內(nèi)部作∠MBC=50°,BM交AC于點M.

∠DBM=∠CBD-∠MBC=70°-50°=20°.

∠BMC=180°-∠MBC-∠ACB=180°-50°-80°=50°=∠MBC.

則BC=CM,∠DBM=∠ACE.

作CN=BC交AB于點N,連接MN、EM,如圖4.

圖4

則CN=CM,∠ABC=∠BNC=80°,∠BCN=20°,∠ECN=∠BCE-∠BCN=60°-20°=40°,∠ACN=∠ACB-∠BCN=80°-20°=60°.

則△CMN是等邊三角形.則CN=MN,∠CMN=∠CNM=60°.

則∠BNM=∠BNC+∠CNM=80°+60°= 140°.

∠CEN=∠BNC-∠ECN=80°-40°=40° =∠ECN,則CN=EN.

則EN=MN.則∠EMN=70°.

∠EMD=180°-∠CMN-∠EMN=180°-60°-70°=50°=∠BMC.

則∠BMD=∠CME.又∠DBM=∠ACE,則△DBM∽△ECM.

則∠EDM=∠CBM=50°.則∠BDE=∠EDM-∠BDC= 50°-30°=20°.

點評:上述解法借助求解蘭利問題的圖形及其輔助線,通過兩次三角形相似求解,降低了解答難度.這也啟發(fā)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要注意利用已有資源(數(shù)學(xué)結(jié)論、解題方法、思路等)幫助我們解決問題.

如果注意到BC是△BCD和△BCE的公共邊,利用正弦定理可以用含BC的式子表示出BD和BE之長,而∠ABD=10°,利用余弦定理可以求出DE之長,然后在△BDE中利用正弦定理求∠BDE的度數(shù).

解法2:設(shè)BC=1.

在△BDE中,由余弦定理,得DE2=

即(sin40°DE)2=(sin60°)2+(2sin80°sin40°)2-2. sin60°.2sin80°.cos10°.sin40°

=1+cos40°+cos240°-4sin40°sin60°cos210°

=2cos220°+cos240°-2sin40°sin60°.2cos210°

=2cos220°+cos240°+(cos100°-cos20°)(1+cos20°)

=2cos220°+cos240°+cos100°-cos20°+cos100°cos20°-cos220°

=cos220°+cos240°+cos100°-cos20°+cos100°cos20°

=cos220°++cos80°)

則sin40°DE=2sin40°sin20°.則DE=2sin20°.

則∠BDE=180°-∠ABD-∠BED=180°-10°-150°= 20°.

四、弱化條件探究

如果將蘭利問題中的條件"若E在AB上,D在AC上,∠CBD=50°,∠BCE=60°"改為"在AB上取一點D,使AD= BC",問題中的"求∠CED的度數(shù)"改為"求∠ACD的度數(shù)",又該如何求解呢?

圖5

圖6

如圖5,△ABC中,AB=AC,∠A=20°,在AB上取一點D,使AD=BC,求∠ACD的度數(shù).

為了利用條件"AD=BC",可以BC為邊構(gòu)造等邊三角形,并連接AE,借助全等三角形求解.

解法1:如圖6,以BC為邊構(gòu)造等邊三角形BCE,連接AE.

由AB=AC,∠A=20°,得∠ABC=∠ACB=80°.

易證△ADC≌△CEA,則∠ACD=∠EAC=10°.

當(dāng)然,由AD=BC,可設(shè)AD=BC=1,然后在△ABC中,利用正弦定理求出AC,在△ACD中,利用余弦定理求出CD,在△ACD中,利用正弦定理求∠ACD的度數(shù).

解法2:設(shè)AD=BC=1.

在△ACD中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD. AC.cosA

=12+(1+2cos20°)2-2(1+2cos20°)cos20°

=1+1+4cos20°+4cos220°-2cos20°-4cos220°

=2+2cos20°=2(1+cos20°)

=2.2cos210°=(2cos10°)2,則CD=2cos10°.

則sin∠ACD=sin10°.則∠ACD=10°.

可以看出,蘭利問題及根據(jù)蘭利問題改編的問題(一般都是競賽題),都可以利用初中方法和高中方法求解,利用初中方法求解需要作的輔助線一般不少于兩條,而且輔助線的作法非常巧妙,不容易想到.而利用高中三角知識求解思路清晰、解題目標(biāo)明確,但在利用余弦定理求某一線段長時難度較大,不僅運(yùn)算量大,而且需要對三角知識掌握得比較嫻熟.可見利用初中方法和高中方法解決蘭利問題及根據(jù)蘭利問題改編的問題各有千秋!