江蘇省太倉市第一中學(xué)　朱建良

能力立意,類比引路,遷移互助
---例談一類正方形動(dòng)點(diǎn)問題的探究與思考

類比是指數(shù)學(xué)問題之間及問題本身的條件與結(jié)構(gòu)之間的同與異,矛盾的分析和轉(zhuǎn)化,是對類似的程度進(jìn)行比較,再尋求突破以使問題得到解決的一種思維方式.類比探究是指對教師創(chuàng)設(shè)的問題情境進(jìn)行變式,如改變條件、改變結(jié)論、一般化、特殊化、類比等形式,把數(shù)學(xué)問題引向更為廣闊的數(shù)學(xué)思維領(lǐng)域,引申出新的更有價(jià)值的問題或做出新的發(fā)現(xiàn).

心理學(xué)把先前的學(xué)習(xí)對后續(xù)學(xué)習(xí)的影響稱為遷移,美國教育家布魯納認(rèn)為學(xué)習(xí)的遷移可分為特殊遷移和一般遷移.在教學(xué)過程中,一般遷移分為側(cè)向遷移和縱向遷移,側(cè)向遷移指概念、規(guī)則或問題解決的方法在新情境中的運(yùn)用,縱向遷移是指運(yùn)用已有的概念和規(guī)則去解決新的問題.

類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的法寶,類比有撥云見日之效,遷移使問題自然過渡,豁然開朗,類比、遷移交互碰撞,使數(shù)學(xué)思維靈活鮮動(dòng),煥發(fā)生機(jī).本文以一類正方形動(dòng)點(diǎn)的中考試題為例,深入挖掘中考試題中蘊(yùn)含的教學(xué)價(jià)值,從類比、遷移的角度談?wù)剮缀螆D形變化的規(guī)律,請同行指正.

一、問題啟智,類比探究

在例題教學(xué)中,充分挖掘問題的內(nèi)涵,多方位、多角度地在運(yùn)動(dòng)變化的狀態(tài)下化一般為特殊,從"變"認(rèn)識(shí)"不變"的規(guī)律,深化對問題的理解,體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系,揭示問題的本質(zhì),實(shí)現(xiàn)由側(cè)向遷移向縱向遷移轉(zhuǎn)化,形成理性思維,獲得新的發(fā)現(xiàn).

(2014年浙江麗水第23題)提出問題:(1)如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、H分別在BC、AB上,若AE⊥DH于點(diǎn)O,求證:AE=DH.

問題解析:證Rt△ABE≌Rt△DAH,則AE=DH.

圖1

圖2

類比探究:(2)如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)H、E、G、F分別在AB、BC、CD、DA上,若EF⊥HG于點(diǎn)O,探索線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

問題解析:過G作GN⊥AB于N,過F作FM⊥BC于M,證Rt△GNH≌Rt△FME.如圖3,將GH平移至DN處,將EF平移至MA處,依據(jù)問題(1)的結(jié)論得出DN=AM.

在幾何圖形比較中理清圖形的特征的內(nèi)在聯(lián)系,把握兩個(gè)直角三角形全等的不變因素,通過添加輔助線搬移三角形,構(gòu)造出相等的線段、相等的角,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解讀鋪墊材料,領(lǐng)悟方法,創(chuàng)造性地縱向遷移知識(shí)與方法,另辟蹊徑,解決問題.

圖3

圖4

綜合運(yùn)用:(3)在(2)的條件下,HF∥GE,如圖4所示,已知BE=EC=2,EO=2FO,求圖中陰影部分的面積.

問題解析:過F作FP⊥BC于P.

面積求解的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形,求出線段EF的長度,由兩三角形全等遷移至三角形相似,精心設(shè)計(jì)的面積求解問題,是幾何知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的交叉點(diǎn),有意識(shí)地潛移默化啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊(yùn)含于幾何圖形之中的化歸等數(shù)學(xué)思想,有思維價(jià)值的問題導(dǎo)向,引導(dǎo)學(xué)生感悟縱向遷移之蘊(yùn)意,有效地拓展了學(xué)生思維的廣度和深度.

二、左右逢緣,殊途同歸

由上述問題探究兩線段數(shù)量關(guān)系到探究它們的位置關(guān)系,同樣的問題背景變式探究思維方向,廣開思路,在探究思考中獲得對正方形動(dòng)點(diǎn)問題較為全面的體驗(yàn)和理解,側(cè)向遷移、縱向遷移交融,挑戰(zhàn)性問題鏈激活學(xué)生的"再發(fā)現(xiàn)"思維.

變式1:(2014年山東煙臺(tái)第25題)在正方形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)E、F分別從D、C出發(fā),以相同的速度在直線DC、CB上移動(dòng).

(1)如圖5,當(dāng)點(diǎn)E自D向C,點(diǎn)F自C向B移動(dòng)時(shí),連接AE和DF交于點(diǎn)P,請你寫出AE和DF的位置關(guān)系,并說明理由.

圖5

圖6

(2)如圖6,當(dāng)E、F分別移動(dòng)到邊DC、CB的延長線上時(shí),連接AE和DF,(1)中的結(jié)論還成立嗎?(請你直接回答"是"或"否",不需要證明)

問題解析:(1)證Rt△ADE≌Rt△DCF,則AE=DF,∠DAE=∠CDF,則AE⊥DF.

(2)成立.

(3)如圖7,當(dāng)E、F分別移動(dòng)到邊CD、BC的延長線上時(shí),連接AE和DF,(1)中的結(jié)論還成立嗎?請說明理由.

問題解析:延長FD交AE于G,同理可證AE=DF,∠DAE=∠CDF,則AE⊥DF.

圖7

圖8

圍繞構(gòu)建全等三角形展開探究,設(shè)問的角度創(chuàng)新,輔助線添法沒有統(tǒng)一規(guī)律,但俗話說:千法萬法不如得法,變式1的問題(1)(2)(3)在動(dòng)態(tài)變化中,揭示出幾何知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,動(dòng)態(tài)演變的幾何圖形將構(gòu)建全等三角形的知識(shí)技能落實(shí)在學(xué)生的頭腦中,體驗(yàn)了類比思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用,促進(jìn)了知識(shí)的深化.

(4)如圖8,當(dāng)E、F分別在直線DC、CB上移動(dòng)時(shí),連接AE和DF交于點(diǎn)P,由于點(diǎn)E、F的移動(dòng),使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng),請你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖,若AD=2,試求出線段CP的最小值.

問題解析:由∠APD=90°,知點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的圓弧,以AD的中點(diǎn)為O,在Rt△ODC中,OC=

探究動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑,聯(lián)想圓中直徑所對的圓周角是直角,計(jì)算線段CP的最小值,構(gòu)造直角三角形,轉(zhuǎn)化問題,化繁為簡,通過類比,引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造起自己的數(shù)學(xué)理解力,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn),如何添加輔助線就"呼之欲出"了,而不再是"橫空出世".以此題為例,引導(dǎo)學(xué)生對幾何圖形的構(gòu)造有更深刻的認(rèn)識(shí)和體會(huì),反思: (1)如何構(gòu)造?(2)在什么情況下應(yīng)添加輔助線構(gòu)造圖形,從而解決問題?(3)添加輔助線的依據(jù)是什么?

三、返璞歸真,觸類旁通

由因?qū)Ч?知果溯因,在觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比中去猜想、去驗(yàn)證,理解幾何動(dòng)態(tài)問題的本質(zhì),追根溯源,橫向類比,縱向遷移.深入挖掘中考數(shù)學(xué)試題的教學(xué)價(jià)值,對同一類問題從不同角度進(jìn)行變式、延伸和拓展,把類比方法進(jìn)一步遷移,訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維"同中求異" "異中求同".

變式2:(2014年日照第23題)(1)如圖9,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),F是AD的延長線上一點(diǎn),且DF= BE,求證:CE=CF.

問題解析:證Rt△CBE≌Rt△CDF,則CE=CF.

圖9

圖10

(2)如圖10,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),如果∠GCE=45°,請你利用(1)的結(jié)論證明:GE=BE+GD.

問題解析:延長AD至F,使DF=BE,連接CF,證Rt△CBE≌Rt△CDF,再證△ECG≌△FCG,則GE=GF,則GE=DF+GD=BE+GD.

引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想,把復(fù)雜的幾何圖形分解為基本圖形,兩次構(gòu)造全等三角形解決問題,較好地建構(gòu)新知,提煉結(jié)論,揭示關(guān)鍵,通過添加輔助線既發(fā)展了學(xué)生的思維,又使化歸思想進(jìn)一步明朗化.

(3)運(yùn)用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),完成下題:如圖11,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一點(diǎn),且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面積.

問題解析:過C作CG⊥AD,交AD的延長線于G,證正方形ABCG,則AG=BC,DE=BE+DG,即10=4+DG,則DG=6.設(shè)AB=x,則AE=x-4,AD=x-6.在Rt△AED中,由DE2=AD2+AE2,得102=(x-6)2+(x-4)2,解得x=12或x=-2(舍),即AB=12.S梯形ABCD=108.

本題從條件出發(fā)"直接補(bǔ)圖",外補(bǔ)構(gòu)造正方形,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想,構(gòu)造直角三角形,將分散的條件集中起來,類比探究,聯(lián)系勾股定理等知識(shí),找到幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征和條件之間的邏輯通道,使原來較為抽象、隱含的條件清晰地顯示出來,進(jìn)而將問題化繁為簡,化難為易.根據(jù)問題中的條件與結(jié)論,對問題進(jìn)行再探究的過程是一個(gè)思維提升的過程,是增加思維高度和深度的有效學(xué)習(xí)過程.

圖11

四、教學(xué)思考

1."舉三反一"---從現(xiàn)象到本質(zhì)

把正方形情境下動(dòng)點(diǎn)問題的一種類型的題歸納整理,便于學(xué)生在系列探究中挖掘問題及解法的本質(zhì)聯(lián)系及規(guī)律,同是構(gòu)造全等三角形,但輔助線添加思路靈活多變,較好地幫助學(xué)生通過剖析同一類型的幾何問題的解法,歸納其性質(zhì),把握問題的核心思想,收到解一題、通一類、會(huì)一片的"舉一反三"之實(shí)效.

多題歸一,就是在數(shù)學(xué)問題的類比、遷移中,發(fā)現(xiàn)一條基本的解題思路,就是對一道典型題和多道題的解題思路進(jìn)一步收斂,以開放度、有層次性、有思維量的問題鏈形式層層設(shè)疑,引導(dǎo)學(xué)生自主探究,明白道理,掌握方法,啟迪思維.

2.問題驅(qū)動(dòng)---從"變"到"不變"

呈現(xiàn)有意義的動(dòng)點(diǎn)問題,設(shè)置問題有鋪墊,層次性強(qiáng),基于問題驅(qū)動(dòng)探究兩條線段的數(shù)量與位置關(guān)系,求解問題涉及知識(shí)和方法不盡相同,有時(shí)可以通過具體到抽象、特殊到一般的歸納得到結(jié)論,再加以證明,有時(shí)可以根據(jù)定義和定理,由條件直接進(jìn)行演繹推理得到結(jié)論,有時(shí)通過類比、聯(lián)想先合情推理,再演繹推理求解.隨著數(shù)學(xué)思維層層深入,解剖探討隱藏在運(yùn)動(dòng)變化的幾何圖形背后的數(shù)學(xué)本質(zhì),拓寬學(xué)生分析問題能力的空間,提升學(xué)生的思維水平和思維層次,透過正方形的動(dòng)點(diǎn)問題的表面看出幾何圖形變化所隱藏的數(shù)學(xué)思想方法,引導(dǎo)學(xué)生以后遇到此類問題"有法可依""有章可循",有思路、有方法.

3.方法引領(lǐng)---從"結(jié)果"到"過程"

引導(dǎo)學(xué)生會(huì)思考,是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的之一,數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)該是"結(jié)果"教學(xué),而應(yīng)是"過程"的教學(xué),學(xué)生以現(xiàn)有的知識(shí)結(jié)構(gòu)和研究方法為基礎(chǔ),按照數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)和內(nèi)在邏輯的發(fā)展趨勢,由淺入深、從多角度對問題進(jìn)行深化過程分析,積累解題策略,有效消除了思維"淺嘗輒止"的隱憂,探究既是一種學(xué)習(xí)方式,也是一個(gè)學(xué)習(xí)過程.

本案例通過專題分類探究,在"變"中尋到一致,在"比"中透出差異,從思維角度聚焦正方形邊上動(dòng)點(diǎn)的變化規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)"由薄到厚",再經(jīng)歷"由厚到薄"的探究過程,看清問題的本質(zhì),學(xué)會(huì)了思考問題的方法,領(lǐng)悟了解決問題的策略,提升了有效思維水平,深化了學(xué)生對類比、化歸、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí),提升了學(xué)生的解題能力,促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展和完善.

1.張建良.從"看出"向"證出"提升---一道復(fù)習(xí)題教學(xué)的啟示[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2013(10).