浙江省象山縣象山港書院　周林祥

"二次根式的運(yùn)算(第1課時(shí))"課例分析

一、背景介紹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱"課標(biāo)(2011年版)")倡導(dǎo)過程教育以全面發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能.但在以浙教版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第一章第3節(jié)"二次根式的運(yùn)算(第1課時(shí))"為載體的"多人同課異構(gòu)"式的教研活動(dòng)中發(fā)現(xiàn),課堂教學(xué)普遍存在認(rèn)知過程短暫(特別是內(nèi)化過程缺失)的問題,導(dǎo)致學(xué)生失去了發(fā)展能力與個(gè)性及感悟其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的機(jī)會(huì).網(wǎng)上查閱同類課例發(fā)現(xiàn)也有類似的現(xiàn)象.基于過程教育的"二次根式的運(yùn)算(第1課時(shí))"怎樣教學(xué)?筆者在重復(fù)式觀課與反思的基礎(chǔ)上,將形成的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行再實(shí)踐,得到了同仁的認(rèn)可.現(xiàn)將其整理出來,以饗讀者.

二、教學(xué)實(shí)錄

環(huán)節(jié)1:經(jīng)歷回顧并提出問題的過程---明確研究的問題

師:我們知道,二次根式與分式一樣,都是特殊的代數(shù)式,因此,二次根式的研究內(nèi)容和研究方法可以與分式類比.分式研究了哪些內(nèi)容?

生1:研究了分式的概念、分式的性質(zhì)、分式的運(yùn)算、分式的應(yīng)用.

師:好的.我們已知道二次根式的概念和二次根式的性質(zhì),大家認(rèn)為還應(yīng)該研究什么?

生2:還應(yīng)該研究二次根式的運(yùn)算和應(yīng)用.

師:好的.二次根式怎樣運(yùn)算?這節(jié)課先研究二次根式的乘除運(yùn)算.(揭示課題)

環(huán)節(jié)2:探索二次根式的乘除運(yùn)算---生成二次根式乘除運(yùn)算法則

師:現(xiàn)在請(qǐng)大家計(jì)算下列各題.

(約2分鐘后)

師:誰來展示(1)的計(jì)算過程?

師:好的.生3是將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)后用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算;生4是二次根式性質(zhì)的逆用.誰來展示(2)的計(jì)算過程?

師:好的.生5是將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)后用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算;生6是二次根式性質(zhì)的逆用.計(jì)算上述各題,用二次根式的性質(zhì)簡單還是逆用二次根式的性質(zhì)簡單?

生7:逆用二次根式的性質(zhì)簡單.

環(huán)節(jié)3:參與嘗試二次根式運(yùn)算的活動(dòng)---合作計(jì)算有代表性的算式

師:現(xiàn)在請(qǐng)大家計(jì)算下列各題.

(待學(xué)生嘗試計(jì)算后)

師:誰來展示(1)的計(jì)算過程?

師:好的.誰來展示(2)的計(jì)算過程?

師:好的.誰來展示(3)的計(jì)算過程?

師:好的.這兩種計(jì)算過程,盡管采用的方法不同,但策略相同---將其分母有理化.誰來展示(4)的計(jì)算過程?

師:好的.一般地,二次根式乘除運(yùn)算要經(jīng)歷哪幾個(gè)步驟?

生14:先用二次根式的乘除法則,再化簡二次根式.

師:不錯(cuò).一般地,二次根式乘除運(yùn)算要經(jīng)歷以下幾個(gè)步驟:

(1)運(yùn)用法則,將問題轉(zhuǎn)化為根號(hào)內(nèi)的實(shí)數(shù)運(yùn)算;

(2)完成根號(hào)內(nèi)相乘、相除(約分)等運(yùn)算;

(3)化簡二次根式.

師:這是一般方法,有時(shí)也可靈活處理(例如(3)).二次根式運(yùn)算的結(jié)果,如果能夠化簡,那么應(yīng)把它化簡為最簡二次根式.下面我們一起來解決下列問題.

圖1

師:要求這個(gè)路標(biāo)的面積,只要知道什么?

生15:只要知道三角形的高.

師:好的.如圖1,作AD⊥BC于點(diǎn)D.要求AD,只要知道什么?

生16:只要知道BD.若知道BD,就能用勾股定理求AD了.

師:好的.BD能求嗎?

師:好的.誰來陳述解題過程?

師:好的.如果題目沒有預(yù)定精確度要求,那么結(jié)果可以用最簡二次根式表示.解決這個(gè)問題經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟?

生19:先結(jié)合圖形分析求解思路,再書寫求解過程.

師:不錯(cuò).一般地,用代數(shù)式解決實(shí)際問題的基本步驟是"根據(jù)題意畫出圖形→在圖形上標(biāo)注已知條件→結(jié)合圖形分析求解思路→用代數(shù)式表示未知量→通過有關(guān)運(yùn)算求出未知量".表示與運(yùn)算是用代數(shù)式解決實(shí)際問題的思想方法,在表示的過程中經(jīng)常會(huì)用到勾股定理、面積關(guān)系等.

(接下來,教師要求學(xué)生完成課本中的練習(xí)題,并請(qǐng)幾個(gè)同學(xué)在黑板上演示.待學(xué)生完成任務(wù)后,教師組織學(xué)生進(jìn)行交互反饋與評(píng)價(jià))

環(huán)節(jié)4:參與回顧與思考的活動(dòng)---合作進(jìn)行反思與總結(jié)

首先,教師出示下列"問題清單",并要求學(xué)生圍繞"問題清單"進(jìn)行回顧與思考.

(1)本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容?我們是怎樣研究的?

(2)一般地,二次根式乘除運(yùn)算要經(jīng)歷哪幾個(gè)步驟?

(3)用二次根式及其運(yùn)算解決實(shí)際問題要經(jīng)歷哪幾個(gè)步驟?

(4)用二次根式或含二次根式的代數(shù)式表示未知量有哪些經(jīng)驗(yàn)?

其次,教師組織學(xué)生合作交流,同時(shí)教師邊傾聽、邊評(píng)價(jià).

最后,在此基礎(chǔ)上,教師總結(jié)本節(jié)課的研究內(nèi)容與研究方法.

三、教學(xué)分析

二次根式的乘除運(yùn)算法則是二次根式性質(zhì)的逆用,二次根式乘除運(yùn)算的方法是需要學(xué)生掌握的技術(shù)性知識(shí),其具體到抽象的研究方法具有普適性.生成二次根式的乘除運(yùn)算法則的過程和用二次根式的乘除運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式乘除運(yùn)算的過程,有能力發(fā)展點(diǎn)、個(gè)性和創(chuàng)新精神培養(yǎng)點(diǎn),其蘊(yùn)含的歸納思想、化歸思想等及用二次根式及其運(yùn)算解決實(shí)際問題的過程和蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等,對(duì)發(fā)展學(xué)生的智力有積極的影響."課標(biāo)(2011年版)"(課程內(nèi)容)對(duì)二次根式運(yùn)算的教學(xué)要求是"了解二次根式(根號(hào)下僅限于數(shù))加、減、乘、除運(yùn)算法則,會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡單四則運(yùn)算".教材安排例2的意圖是進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)代數(shù)中的表示與運(yùn)算的思想方法.目前在這節(jié)課的教學(xué)中普遍存在生成算法的認(rèn)知過程短暫和用算法進(jìn)行運(yùn)算之后的算理說明過程缺失的問題.本節(jié)課根據(jù)"課標(biāo)(2011年版)" (課程內(nèi)容)對(duì)涉及內(nèi)容的教學(xué)要求和教材的教學(xué)意圖,以有代表性的"題材"為載體,從學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā),運(yùn)用從具體到抽象的思維策略和教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的方式,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了完整的認(rèn)知過程.在"回顧并提出問題"的教學(xué)中,既有回顧分式研究內(nèi)容的過程,以通過類比明確二次根式的研究內(nèi)容,又有類比基礎(chǔ)上提出問題的過程,以揭示課題和感悟研究二次根式運(yùn)算的必要性.在"生成法則"的教學(xué)中,既有"計(jì)算、比較、歸納"的過程,以生成二次根式乘除運(yùn)算的法則,又有生成法則之后的教師總結(jié)性講解,以明確二次根式乘除運(yùn)算的法則是二次根式性質(zhì)的逆用.在"法則應(yīng)用"的教學(xué)中,既有用生成的法則計(jì)算有代表性算式的過程,以鞏固法則和發(fā)展計(jì)算技能,又有計(jì)算之后反思的過程,以明確二次根式乘除運(yùn)算的步驟.在"解決實(shí)際問題"的教學(xué)中,既有解題之前的分析,以明確求解思路,又有解題之后的反思,以感悟其蘊(yùn)含的表示與運(yùn)算的思想方法,積淀用二次根式或含二次根式的代數(shù)式表示未知量的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).在"回顧與思考"的教學(xué)中,既有教師價(jià)值引導(dǎo)下學(xué)生的思考與交流,又有教師的總結(jié)性講解.這體現(xiàn)了過程教育和以學(xué)為中心的思想,也遵循了技能教學(xué)的基本規(guī)范,能實(shí)現(xiàn)"能通過具體算式的計(jì)算,感悟逆用二次根式的性質(zhì)能化簡運(yùn)算過程,并知道二次根式的運(yùn)算法則是由二次根式的性質(zhì)得到的;會(huì)用二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行簡單的二次根式的乘除運(yùn)算,會(huì)用二次根式或含二次根式的代數(shù)式表示簡單問題中的未知量"的教學(xué)目標(biāo).因此,在算法教學(xué)中要實(shí)現(xiàn)知識(shí)、技能、能力、態(tài)度的完美統(tǒng)一,需要教師增強(qiáng)揭示算法所蘊(yùn)含的思維活動(dòng)過程的自覺性,而引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷實(shí)質(zhì)性思維過程需要教師貫徹啟發(fā)式教學(xué)思想.以符合"最近發(fā)展區(qū)"理論的題材為載體,從學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā),運(yùn)用從具體到抽象的思維策略和教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的方式,能使學(xué)生經(jīng)歷教學(xué)過程中的思維站點(diǎn),從而能促進(jìn)學(xué)生全面、和諧發(fā)展.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

2.范良火.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)(八年級(jí)下冊(cè))[M].杭州:浙江教育出版社,2014.

3.王偉,鄔云德.寓"過程教育"于"二元一次方程"教學(xué)探索與點(diǎn)評(píng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2014(2).