☉北京市海淀區(qū)教師進修學(xué)校數(shù)學(xué)教研室　劉忠新

兩道開放性試題的解析與思考*

☉北京市海淀區(qū)教師進修學(xué)校數(shù)學(xué)教研室劉忠新

近幾年在全國各地的中考試卷中，出現(xiàn)了較多符合學(xué)生年齡特點和認知規(guī)律的開放性試題.這類題設(shè)計新穎、變化多端，既豐富了數(shù)學(xué)題型，又啟發(fā)了學(xué)生的思維，使人備感清新.開放性試題具有條件或結(jié)論的不確定性、解決策略的多樣性、答案的不唯一性等特征，需要學(xué)生利用所學(xué)知識，通過觀察、猜想、比較、分析、綜合、抽象、概括等數(shù)學(xué)思維活動，引發(fā)思考，激起思維的碰撞.這類試題有助于鼓勵學(xué)生從多角度、多側(cè)面、多層次思考問題，激發(fā)他們的創(chuàng)新欲望.本文將對2016年北京市海淀區(qū)初三模擬考試的兩道開放性試題進行分析，并談?wù)動纱艘l(fā)的幾點思考.

一、試題呈現(xiàn)

一模第14題：在下列函數(shù)：①y=2x+1；②y=x2+2x；③y=；④y=-3x中，與眾不同的一個是_____（填序號），你的理由是________.

二模第14題：請寫出一個圖像過（2，3）和（3，2）兩點的函數(shù)的解析式______.

二、試題解析

（一）一模第14題解析

本題滿分3分，全區(qū)15547名考生的平均分為2.62，難度系數(shù)為0.87，學(xué)生的答題情況如表1所示.

表1

本題重點考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)這三個學(xué)生熟悉的函數(shù)的圖像與性質(zhì).題目的第一個空填①、②、③、④中的任何一個都可以，無所謂對錯，第二個空寫理由是整道題的核心，也是重點和難點，所寫理由必須支撐前面的結(jié)論才能得到相應(yīng)的分數(shù).下面從“函數(shù)形式”和“函數(shù)性質(zhì)”兩個角度進行分析.

（1）從函數(shù)解析式的“形式”上尋找“與眾不同”.

題目中的四個函數(shù)，都是以解析式的形式給出的，因此可以先從解析式入手，比如：只有①的解析式中含有常數(shù)項；只有②的解析式中含有二次項；只有③的解析式中自變量x在分母的位置；只有④的解析式中存在系數(shù)為負數(shù)的項……

圖1

（2）從函數(shù)性質(zhì)的角度尋找“與眾不同”.

借助圖像研究函數(shù)性質(zhì)是我們常用的方法.如圖1，在同一坐標(biāo)系中畫出四個函數(shù)的圖像，從圖像上可以更直觀地找到具有與眾不同的性質(zhì)的那一個函數(shù).不妨從以下幾個角度進行分析.

從定義域看，只有③的自變量取值范圍不是全體實數(shù).

從值域看，只有②的函數(shù)值y不小于-1，即值域是y≥-1；只有③的函數(shù)值y不能為0，即y≠0.

從單調(diào)性看，只有①在全體實數(shù)范圍內(nèi)y隨x的增大而增大；只有②既有y隨x的增大而增大的區(qū)間，又有y隨x的增大而減小的區(qū)間；只有④在全體實數(shù)范圍內(nèi)y隨x的增大而減小.

從圖像的對稱性看，只有②的圖像是軸對稱圖形，而非中心對稱圖形；只有②的圖像是軸對稱圖形，且只有一條對稱軸；只有③的圖像既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，且只有兩條對稱軸；只有③的圖像是中心對稱圖形，且其對稱中心不在其圖像上.

從圖像的連續(xù)性看，只有③的圖像在x=0處斷開.

當(dāng)然還有很多，比如，只有③的圖像與坐標(biāo)軸無交點，只有③的圖像不經(jīng)過點（1，3），只有③有兩條漸近線，或者無限接近于x軸或y軸，等等.

（二）二模第14題解析

本題滿分3分，平均分為2.77，難度系數(shù)為0.92，學(xué)生的答題情況如表2所示.

表2

本題重點考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.求圖像過（2，3）和（3，2）兩點的函數(shù)的解析式可以從以下三個方面考慮.

第一，圖像過點（2，3）和（3，2）的反比例函數(shù)唯一確定，解析式為；圖像過點（2，3）和（3，2）的一次函數(shù)唯一確定，解析式為y=-x+5.

第二，不難發(fā)現(xiàn)，圖像過點（2，3）和（3，2）的二次函數(shù)有無數(shù)個.那么怎么寫出滿足上面條件的二次函數(shù)的解析式呢？

方法一：點特殊化.

比如，把點（2，3）或（3，2）作為拋物線的頂點.若頂點為（2，3），則解析式為y=-（x-2）2+3；若頂點為（3，2），則解析式為y=（x-3）2+2，

方法二：待定系數(shù)特殊化.

求滿足題目條件的二次函數(shù)解析式，方法一和方法二采用的是特殊化的方法，這樣可以大大簡化計算，符合課程改革“多思少算”的理念.當(dāng)然，如果找到圖像過點（2，3）和（3，2）的二次函數(shù)的一般表達式，那么就找到了從根本上解決問題的方法.不妨將點（2，3）和（3，2）代入y=ax2+bx+c中解方程組，用含a的代數(shù)式表示b和c可以得到y(tǒng)=ax2-（5a+1）x+6a+5，用任意一個不為0的數(shù)替代a，即可得到一個圖像過點（2，3）和（3，2）的二次函數(shù)的解析式.

第三，圖像過點（2，3）和（3，2）的函數(shù)，可以為除一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)之外的其他函數(shù).

三、演變探究

由于模擬試題受題量、難度等諸多因素的限制，因此題目承載的很多東西不可能都在試卷中體現(xiàn)出來，如何挖掘試題所蘊含的豐富內(nèi)容，使試題的價值最大化呢？

（一）一模第14題

一模第14題重點考查初中階段學(xué)生熟知的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)及它們的圖像與性質(zhì)，它以詼諧的“與眾不同”呈現(xiàn)，題面簡潔，問題清楚.實際上，我們可以根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的不同階段和不同的考查目標(biāo)，嘗試改編一模第14題.

比如：指出四個數(shù)、四個式子、四個方程或四個圖形中與眾不同的一個；找出四個數(shù)、四個式子、四個方程或四個圖形所具有的共同特征……

（二）二模第14題

二模第14題重點考查學(xué)生用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，與一模第14題具有很好的互補性.我們可以嘗試在二模第14題的基礎(chǔ)上進行改編，使其考查內(nèi)容更全面、問題探究更深入、題面更具開放性.

1.增加對函數(shù)性質(zhì)的考查

寫出一個圖像過（2，3）和（3，2）兩點的函數(shù)的解析式，并指出這個函數(shù)在2≤x≤3的范圍內(nèi)所具有的一條性質(zhì).

（1）函數(shù)的增減性.

可以是y隨x的增大而增大嗎？y隨x的增大而減小可以嗎？可以是先y隨x的增大而增大，再y隨x的增大而減小嗎？先y隨x的增大而減小，再y隨x的增大而增大可以嗎？

（2）函數(shù)的最值.

一定有最值嗎？如果有最值，最大值一定是3嗎？最小值一定是2嗎？

（3）函數(shù)圖像的對稱性.

如果函數(shù)是軸對稱圖形，且其對稱軸平行于y軸，那么其對稱軸可能在哪兒？不可能在哪兒？

2.去掉對“函數(shù)表示法”的限制，使問題更開放

表示一個圖像過（2，3）和（3，2）兩點的函數(shù)，并指出這個函數(shù)在2≤x≤3的范圍內(nèi)所具有的一條性質(zhì).

注意這里用的是“表示”，可以求解析式，還可以直接通過圖像給出函數(shù)關(guān)系，這樣更有利于由圖像直觀地理解性質(zhì).例如：

圖2

圖3

圖4

圖2中的函數(shù)先y隨x的增大而減小，后y隨x的增大而增大，最大值為3，最小值小于2，不是軸對稱圖形.

圖3中的函數(shù)先y隨x的增大而增大，后y隨x的增大而減小，最大值大于3，最小值為2，不是軸對稱圖形.

圖4中的函數(shù)y隨x的增大而減小，最大值為3，最小值為2，是軸對稱圖形，但對稱軸不與y軸平行.

3.改編為選擇題的壓軸題，重點考查函數(shù)增減性

題目：記自變量x的取值范圍是2≤x≤3，且圖像過A（2，3）和B（3，2）兩點的函數(shù)為yAB，下面對yAB的描述中一定正確的是（）.

A.函數(shù)值y一定隨自變量x的增大而減小

B.函數(shù)值y一定隨自變量x的增大而增大

C.一定存在自變量x的某個取值范圍，在這個范圍內(nèi)函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大

D.一定存在自變量x的某個取值范圍，在這個范圍內(nèi)函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小

還可以仿照此題進行改編，考查函數(shù)的其他性質(zhì).

四、幾點思考

（一）思考問題的入口寬，解決問題的思路發(fā)散

一模第14題可以從函數(shù)的概念入手，也可以從圖像、性質(zhì)等方面思考；可以“近盯”，也可以“遠眺”.“近盯”即從“四個選項中的任意一個”出發(fā)，“持因探果”，順流而下，尋找它與其他三個的差異.“遠眺”即從“研究函數(shù)的幾個方面”出發(fā)，比如從函數(shù)的定義域、值域出發(fā)，“持果索因”，逆流而上.二模第14題可以立足于學(xué)生熟知的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)去尋找解決問題的思路和方法，也可以依據(jù)函數(shù)解析式、函數(shù)圖像、待定系數(shù)法等相關(guān)知識和方法研究“圖像過（2，3）和（3，2）兩點”的陌生的新函數(shù).

（二）回答問題的方式寬，呈現(xiàn)答案方式多樣

一模第14題，要求考生在寫出相應(yīng)結(jié)論的同時，寫出自己的理由，對自己寫出的結(jié)論要有一個合理的解釋，只要言之有據(jù)、自圓其說即可；二模第14題可以在條件允許的情況下（比如平時小測、教學(xué)中）不限定“函數(shù)的表示方式”，無論是解析式還是圖像，只要表達清楚均可.兩道開放性試題的題干都沒有明確的指向，因此答案可謂豐富多彩，很好地考查了學(xué)生的發(fā)散思維.

（三）評價方式的設(shè)置寬，學(xué)生思維過程外顯

學(xué)生個體的可塑性和差異性是客觀存在的事實，也是教育評價工作應(yīng)當(dāng)遵循的邏輯起點.鼓勵學(xué)生的發(fā)散思維，保護、尊重學(xué)生的思維，一直是學(xué)生評價探索和發(fā)展的方向.而考試作為評價的主要工具和手段，需要進一步研究多樣化的考試評價方式，這有利于學(xué)生思維的外顯化.

表3：一模第14題學(xué)生答題情況

如表3，一模第14題利用“寫出理由”的方式給學(xué)生搭建了很好的展示不同思維過程的平臺，從學(xué)生的答題情況來看，有四個不同的層次，分別對應(yīng)四種不同的得分，這種賦分方式深化了對人的能力、學(xué)力、興趣、特長、潛質(zhì)等方面的考查，在努力考出學(xué)生的長處和優(yōu)點方面做出了很大的努力.