☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學?！∨诵l(wèi)峰

踐行“學材再建構(gòu)”，追求“開放式教學”——以二次函數(shù)起始課同課異構(gòu)為例

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學校潘衛(wèi)峰

專家教師李庾南老師新近提出了“學材再建構(gòu)”，是指師生根據(jù)學習任務，為了實現(xiàn)學習效益的最大化，對各種主客觀性學材進行主動加工重構(gòu)的過程.這一過程由3個部分組成：一是教師獨立地對學材進行建構(gòu)；二是學生在教師的引導下獨立地對學材進行建構(gòu)；三是師生共同對學材進行建構(gòu)，這三者合起來就是一個完整的學材再建構(gòu)過程.在最近一次教學研討活動中，筆者觀摩了多節(jié)二次函數(shù)起始課的教學研討課，同課異構(gòu)，精彩紛呈，本文梳理兩種較有代表性的教學流程，并給出相關(guān)評析與思考，提供分享.

一、兩種有代表性的教學流程

【第一種教學流程】

教學環(huán)節(jié)1：實際問題，引入新課

（1）出示一組實際問題的題例（限于篇幅，略去）.教師導語：通過前面一階段的學習，我們知道現(xiàn)實生活中的一些實際問題常?？梢杂煤瘮?shù)模型來刻畫，下面請同學們來看這組實際問題，寫出它們的函數(shù)關(guān)系式，并思考：以上的函數(shù)關(guān)系式中，哪幾個是你深入研究過的？（其中有兩個一次函數(shù)、三個是二次函數(shù)）

（2）復習一次函數(shù)研究過程，為建構(gòu)二次函數(shù)章知識框架作準備.

①回顧一次函數(shù)研究了哪幾個方面的內(nèi)容？

引導學生回顧從實際問題抽象一次函數(shù)，在此基礎(chǔ)上形成一次函數(shù)概念，研究一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解，得實際問題的答案.

②一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)又是如何研究的？

回顧通過畫圖像，觀察圖像得一次函數(shù)的圖像特征和性質(zhì)，經(jīng)歷了從特殊到一般的探究過程，先研究了特殊的一次函數(shù)——正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像和性質(zhì)，再研究了一般的一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像和性質(zhì)；并且分了k＞0，k＜0，兩種情況討論，由k取具體的數(shù)值入手，最后歸納出一般的情況.

教學環(huán)節(jié)2：歸納二次函數(shù)概念，建構(gòu)二次函數(shù)知識框架，明確研究方向

（1）定義二次函數(shù)概念（略）.

（2）建構(gòu)章知識框架圖，如圖1.

圖1

教學環(huán)節(jié)3：探究y=ax2（a≠0）的圖像與性質(zhì)

（1）類比一次函數(shù)的研究內(nèi)容和方法，畫最特殊的二次函數(shù)y=x2的圖像，觀察并說出圖像的特征和性質(zhì).

列表：從解析式分析自變量的取值范圍，在此基礎(chǔ)上合理地選取x的值，計算y的值.分析表格中數(shù)據(jù)的特點，預測圖像的特點：過原點（0，0），其余各點均在x軸的上方；無最高點，原點為最低點；圖像關(guān)于y軸對稱.

描點連線：學生自己動手實踐，對稱描點，從左至右用平滑的曲線順次連接.描點的過程中，驗證了對二次函數(shù)y=x2的圖像的預測.

（2）觀察圖像，概括二次函數(shù)y=x2的圖像特征和性質(zhì).

引導學生類比研究二次函數(shù)y=x2的角度和方法，嘗試從對稱軸、頂點、開口方向、開口大小及增減性等方面描述圖像特征和性質(zhì).

（4）類比a＞0時的研究過程，研究當a＜0時，二次函數(shù)y=ax2的圖像特征和性質(zhì).

當a＜0時，拋物線y=ax2的開口向下，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最高點，a越小，拋物線的開口越小.

（5）歸納梳理二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì).

教學環(huán)節(jié)4：小結(jié)與作業(yè)（略）

【第二種教學流程】

教學環(huán)節(jié)1：從一元二次方程到二次函數(shù)

（1）任意寫出一個一元二次方程，比如2x2+x-1=0，引導學生發(fā)現(xiàn)2x2+x-1是x的函數(shù)，設(shè)2x2+x-1=y，追問：y 與x有怎樣的函數(shù)關(guān)系式？這個解析式有什么特點？引出課題（二次函數(shù)）.

（2）給出二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），強調(diào)a不為0，并就b，c是否為0，讓學生分類有幾種情況，引出幾種特殊形式的二次函數(shù)表達式.

（3）引導學生初步理解一元二次方程與二次函數(shù)間的關(guān)系.

教學環(huán)節(jié)2：研究函數(shù)y=x2

（1）小組討論：根據(jù)學習一次函數(shù)的經(jīng)驗，對一個函數(shù)要研究什么？怎么樣進行研究？

①從解析式看：自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，函數(shù)y≥0，由此猜測這個函數(shù)圖像有什么特征？

②從列出的表格看：小組交流剛才從解析式分析得出的結(jié)論，從表格上能不能看出？

x　　…　-2　-1.5-1　-0.5　0　0.5　1　1.5　2　　…y=x2…　　…

進一步引導學生發(fā)現(xiàn)：表格中的點關(guān)于y軸對稱，如圖2.能從解析式中看出來嗎？從表格中還能獲取什么信息？

圖2

③從函數(shù)圖像看：上述信息，我們再通過描點、連線、畫圖像來體會驗證一下.師生共同小結(jié)函數(shù)y=x2的性質(zhì).

教學環(huán)節(jié)3：類比函數(shù)y=x2，研究函數(shù)y=-x2，y=2x2，y=-2x2的圖像和性質(zhì)

教學環(huán)節(jié)4：小結(jié)與作業(yè)

（1）這節(jié)課研究了什么內(nèi)容？（二次函數(shù)的概念與圖像）

（2）我們是怎樣進行研究的？

預設(shè)：研究函數(shù)的一般過程與方法：分析函數(shù)解析式→列函數(shù)與自變量的部分對應值表→描點連線畫函數(shù)圖像.

（3）布置作業(yè)（略）.

二、進一步的評析與思考

以上兩種有代表的二次函數(shù)起始課都有一個顯著的特點：打破教材課時規(guī)劃，在“學材再建構(gòu)”（李庾南老師語）的操作要義下重組教材、整合教學內(nèi)容.以下就圍繞“學材再建構(gòu)”給出三點評析與思考.

1.深刻理解教學內(nèi)容是“學材再建構(gòu)”的前提

從兩種教學流程來看，都沒有嚴守教材上二次函數(shù)起始課只講二次函數(shù)概念的課時規(guī)劃，而是把起始課的教學重點放在二次函數(shù)y=x2圖像與性質(zhì)的研究上，這不是簡單的取舍，而是基于教者對教學內(nèi)容的深刻理解上，取舍得失，自在心中.筆者認為，這種取舍是智慧的，原因有三：其一，學生對從實際問題中提取函數(shù)解析式已不陌生，在八年級函數(shù)學習時已有類似的訓練，在七年級列代數(shù)式、列方程都是同類型的問題訓練，不必成為九年級二次函數(shù)起始課的重點；其二，二次函數(shù)的概念也不必大量練習，比如下面這類練習.

習題：已知函數(shù)y=（k-2）xk2+k-4是關(guān)于x的二次函數(shù)，則k=________.

這類習題與學生在七年級學習一元一次方程定義時的相關(guān)練習是類似的，與八年級學習一次函數(shù)的相關(guān)練習也是一致的，到了九年級再用寶貴的課堂教學時間做大量的同類訓練并不是必要的，可見，以上兩種教學設(shè)計把這些訓練時間節(jié)約出來做了更多有意義的新知探究.

2.激活學生已有“研究經(jīng)驗”是該課型的關(guān)鍵

整合教材之后，使得二次函數(shù)起始課就要快速進入形如y=x2的圖像與性質(zhì)研究，從以上兩種教學設(shè)計來看，教師都安排了復習一次函數(shù)相關(guān)研究經(jīng)驗的教學環(huán)節(jié)，這是很有智慧的教學策略，當學生復習一次函數(shù)研究套路時，自然就會想到此前從一次函數(shù)的概念、特殊形式（正比例函數(shù)），再到一次函數(shù)圖像與性質(zhì)的研究方法.對于這些已有經(jīng)驗的復習，也是激活學生已有研究經(jīng)驗的教學努力，也是以上兩種教學課型的關(guān)鍵所在.這里也可提及所謂的“本原性問題”的研究，人教社章建躍博士曾說：“對于‘本原性問題’，我國數(shù)學教育界有過討論，且有很好的成果，這些成果并沒有引起中學數(shù)學教學實踐的重視.”并認為“沒有從‘中學數(shù)學內(nèi)容的實質(zhì)性理解’的角度進行闡釋”是一線教師“不解渴”的原因所在.筆者以為，重視在同一知識領(lǐng)域中研究經(jīng)驗的總結(jié)，促進學生有效遷移、學會學習，可以看成是本原性問題的一種內(nèi)涵和價值，值得我們深入實踐與思考.

3.預設(shè)開放式問題，促進開放式教學

以上兩種教學設(shè)計中，以第二種教學設(shè)計更為“數(shù)學化”，徹底放棄了所有的實際問題引入新課的情境設(shè)計，而是直接“從一元二次方程到二次函數(shù)”引入新課，用一個“數(shù)學現(xiàn)實”（課標2011年版語）定義了二次函數(shù)的概念，并且預設(shè)一個開放式問題：函數(shù)關(guān)系式中b、c是否可以為0，并組織學生討論不同情形，得出二次函數(shù)的幾種特殊形式，為進一步從簡單（特殊）到復雜“一般”研究二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)而預留了鋪墊.再到函數(shù)y=x2的圖像研究時，又通過開放式的設(shè)問，引導學生基于解析式、列表分析、圖像分析的不同角度理解二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的奇異、和諧與一致.“教學環(huán)節(jié)3”中，又是徹底“放開”，讓學生自主研究函數(shù)y=-x2，y=2x2，y=-2x2的圖像和性質(zhì)，為歸納、概括形如y=ax2的圖像與性質(zhì)提供必要的案例準備.再對比“教學環(huán)節(jié)4”，后者也提出了更為開放的小結(jié)問題，如這節(jié)課我們是怎樣研究的，促進學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗，有效加深對函數(shù)研究套路的理解.想來這些教學設(shè)計的精心預設(shè)，背后都是教師追求“開放式教學”的苦心經(jīng)營.

參考文獻：

1.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.周紅娟.從操作走向思考，從“參觀”走向“探索”——“等腰三角形的性質(zhì)（第1課時）”教學與反思［J］.中學數(shù)學（下），2014（7）.

3.鄭毓信.“開放的數(shù)學教學”新探［J］.中學數(shù)學月刊，2007（7）.

4.鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.