劉俊卿，　李　蒙，　左　帆，　劉　紅，　曹書文

(西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院，西安 710055)

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基于晶體塑性理論的疲勞裂紋起始數(shù)值模擬

劉俊卿，李蒙，左帆，劉紅，曹書文

(西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院，西安 710055)

在疲勞荷載作用早期，材料在晶體尺度出現(xiàn)裂紋的萌生，為了研究疲勞短裂紋的發(fā)展，利用MonteCarlo法建立了多晶體晶粒集合的Voronoi有限元模型，并在AnsysUsermat子程序接口下編寫了晶體塑性本構(gòu)方程子程序，修正了以拉伸硬化為主的疲勞裂紋起裂的計(jì)算機(jī)模擬方法，并結(jié)合TANAKA和MURA的位錯(cuò)偶極子模型，模擬了晶粒集合在疲勞荷載作用下的裂紋萌生，最后與文獻(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，這一修正的方法更加符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果和宏觀現(xiàn)象。

疲勞；晶體塑性本構(gòu)；裂紋起始；有限元模擬

材料在疲勞載荷作用下，裂紋在微觀小尺度上萌生，然后擴(kuò)展為宏觀裂紋，并最終在疲勞壽命的最后循環(huán)中導(dǎo)致試樣斷裂[1-3]，微觀研究表明[4-14]，在大多數(shù)疲勞問題中，裂紋的微觀活動(dòng)占據(jù)疲勞壽命的大部分，因此對(duì)疲勞裂紋形核的研究具有重要意義。材料疲勞裂紋形核往往是從材料多處起裂[6-8]，由材料應(yīng)力集中點(diǎn)、滑移帶或者微觀缺陷處起始，并在疲勞荷載反復(fù)作用下，短裂紋群擴(kuò)展并交匯形成宏觀裂紋。以前的研究往往僅局限于單一短裂紋的擴(kuò)展分析[2-5,9-13]，因而對(duì)裂紋群體作用關(guān)注不夠，或提出以拉伸硬化為主的多裂紋萌生模擬[6]，但精確度不高。本工作考慮晶體塑性本構(gòu)模型[15-18]，改進(jìn)以往的模擬方法，模型使用Usermat編寫，結(jié)合有限元方法模擬了晶粒集合在疲勞荷載作用下的裂紋萌生，與已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，其模擬結(jié)果更加接近真實(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

1　多晶體晶粒集合模型的建立

1.1晶體模型的模擬

疲勞裂紋的萌生環(huán)境即多晶體模型，多采用MonteCarlo直晶界組織仿真模型[15]，該模型模擬金屬晶粒組織成核、結(jié)晶、晶粒生長(zhǎng)及晶界成型過程，具有金屬結(jié)晶的主要特征，圖1所示為一個(gè)金屬多晶體模型實(shí)例，本研究采用這一模型。

圖1　多晶體晶體晶界Voronoi圖Fig.1　Voronoi chart of multi crystal

1.2單個(gè)晶粒開裂模型

假定該模型中單個(gè)晶粒為立方晶體系，因此每個(gè)晶粒都是彈性各向異性的。TANAKA和MURA[16]提出了疲勞裂紋的位錯(cuò)偶極子模型，基于位錯(cuò)自由能的增加，揭示了裂紋萌生及短裂紋擴(kuò)展規(guī)律。TANAKA和MURA認(rèn)為，在材料局部滑移帶施加剪切應(yīng)力循環(huán)下，位錯(cuò)偶極子不斷向滑移層兩邊堆積，引起自由能的增加，首次達(dá)到最大應(yīng)力幅時(shí)，位錯(cuò)自由能表示為

(1)

式中：μ是剪切模量，κ是位錯(cuò)摩擦力，τ為剪切應(yīng)力峰值，l為滑移帶中心距離位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)受阻處即晶界距離。

之后每半周期增加的自由能為

(2)

即n次循環(huán)載荷下總自由能為

(3)

結(jié)合荷載譜，即可以給定自由能的總值，本研究討論單向恒應(yīng)力比為-1的情況，此時(shí)忽略U1，公式化為

(4)

取Ws為沿滑移帶單位面積斷裂能，當(dāng)令

U=4lWs

(5)

則可得到恒幅荷載下單個(gè)裂紋萌生的疲勞壽命ns

(6)

2　晶體塑性本構(gòu)方程

2.1晶體的變形分解

采用單晶體塑性本構(gòu)方程來描述晶體變形及其塑性滑移[17-18]，晶體的變形包括晶格畸變和位錯(cuò)的滑移，其中晶格畸變(包括其剛性轉(zhuǎn)動(dòng))可看作連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的彈性變形，采用彈性力學(xué)處理；其不可逆部分，即位錯(cuò)的滑移，在理想狀態(tài)下，可假設(shè)位錯(cuò)滑移在晶粒內(nèi)部是均勻的，并用變形梯度場(chǎng)變量來描述。

在小變形的情況下，晶體變形可分解為彈性變形和塑性變形的疊加，其中彈性變形反映了晶體的伸縮和旋轉(zhuǎn)，是晶格畸變的表示，塑性變形是由晶體沿著特定的滑移系滑移產(chǎn)生的，一個(gè)滑移系由固定的滑移面和滑移方向組成，其具體的乘法分解圖如圖2所示。

晶體變形梯度張量按照晶體塑性理論乘法分解為隨晶體伸縮和旋轉(zhuǎn)的彈性梯度張量及隨滑移系滑移的塑性梯度張量，其具體變形梯度張量為

圖2　晶體的變形分解Fig.2　Decomposition of deformation of crystal

(7)

式中:Fe為彈性變形梯度張量，F(xiàn)p為塑性變形梯度張量。

(8)

(9)

同理依照(9)式，變形率張量和旋轉(zhuǎn)率張量也可以分解為彈性部分和塑性部分，將變形率張量D分解為

(10)

其中塑性部分

(11)

式中:

(12)

旋轉(zhuǎn)率張量W分解為

(13)

其中塑性部分

(14)

式中:

(15)

2.2晶體塑性本構(gòu)方程

假設(shè)單晶體的彈性性質(zhì)不受滑移系變形的影響，因此可采用經(jīng)典的彈性模量張量和變形率張量二點(diǎn)乘積形式的彈性本構(gòu)方程：

(16)

(17)

考慮到

(18)

以初始構(gòu)形為基準(zhǔn)的剛體導(dǎo)數(shù)是

(19)

定義:

βα=Wασ-σWα

(20)

即有

(21)

代入(19)式，即可得到晶體塑性本構(gòu)方程

(22)

2.3硬化規(guī)律

文獻(xiàn)[17]采用Schmid定律描述流變應(yīng)力，對(duì)于臨界的滑移系，具體硬化規(guī)律為

(23)

對(duì)于非臨界的滑移系，恒有

(24)

同時(shí)采用經(jīng)典的線性臨界剪應(yīng)力、滑移剪切率關(guān)系，有

(25)

式中：σc為屈服臨界剪應(yīng)力，其初始值記為σ0，hαβ是滑移硬化系數(shù)，下標(biāo)表示取自不同滑移系組合，其中當(dāng)α=β時(shí)，hαβ稱為自硬化系數(shù)，當(dāng)α≠β時(shí)，hαβ為潛在硬化系數(shù)，對(duì)于不同滑移面，其值一般不同，這里采用Peirce提出的硬化系數(shù)簡(jiǎn)化模型，即

(26)

式中：h是自硬化系數(shù)，q為潛在硬化率，均為常量，q的取值一般建議為1到1.5。

3　裂紋萌生的有限元模擬及分析

模擬金屬材料在室溫下的疲勞裂紋萌生，在疲勞早期其晶體滑移方向主要沿{110}族晶面，按照這個(gè)開動(dòng)的滑移面分析，文中采用Ansys有限元軟件及其接口Fortran的子程序。

3.1參數(shù)的選取

為了與文獻(xiàn)[6]實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)照，同樣選取F82H金屬材料，其彈性模量取為單晶純鐵測(cè)定值，見表1。

表1　單晶純鐵的彈性模量/GPaTable 1　Elastic modulus of monocrystalline iron

按照文獻(xiàn)[19-20]取位錯(cuò)摩擦力κ取自純鐵的初始屈服應(yīng)力，即當(dāng)且僅當(dāng)位錯(cuò)驅(qū)動(dòng)力大于位錯(cuò)摩擦力時(shí)發(fā)生滑移系的切向滑移，材料滑移系長(zhǎng)度取為平均晶粒尺寸，材料剪切模量和單位面積斷裂功均為常數(shù)，則公式(6)等價(jià)于

(27)

式中Ceq為一常數(shù)。

(28)

具體參數(shù)列于表2。

3.2駐留滑移帶

分析模型在循環(huán)荷載作用下的初始塑性滑移云圖如圖3所示，為單向恒應(yīng)力比為-1的0.6%應(yīng)變范圍作用下的初始滑移云圖。云圖顯示了最大駐留滑移帶出現(xiàn)在應(yīng)力集中的個(gè)別晶粒，滑移沿固定方向，晶粒之間應(yīng)力差別較大，滑移程度亦不相同，且晶界是塑性滑移及應(yīng)力集中的天然屏障，塑性滑移多集中在晶界范圍內(nèi)，應(yīng)力集中多出現(xiàn)在多個(gè)晶體的晶界交集處。按照這個(gè)云圖模型，位錯(cuò)將優(yōu)先發(fā)生于滑移程度大的晶粒中，并在滑移過程中集中于晶界處。

圖3　晶粒集合的滑移系云圖Fig.3　Chart of multicrystal slip band

通過體積平均化的方法，提取每個(gè)晶粒的平均滑移剪切應(yīng)力，代入TANAKA和MURA模型公式中，可以求出晶體萌生一個(gè)晶界長(zhǎng)度裂紋時(shí)的荷載循環(huán)數(shù)。Ansys在引入裂紋后，更新應(yīng)力，重復(fù)以上步驟，可以模擬疲勞循環(huán)初始階段裂紋萌生以及其裂紋群體之間相互作用、相互影響的情況。

3.3裂紋萌生及其走向

分析循環(huán)荷載進(jìn)程中裂紋群分布情況，如圖4示例為0.6%荷載作用下裂紋群演化云圖。多晶體在沒有裂紋出現(xiàn)的初始情況下，塑性滑移梯度較大，晶粒和晶粒之間有很大的應(yīng)力差，應(yīng)力集中在少數(shù)晶粒中；隨著裂紋首先出現(xiàn)在應(yīng)力集中的晶粒中，晶粒開裂后多晶體模型出現(xiàn)明顯的應(yīng)力重新分布情況，塑性滑移主要集中在短裂紋群周圍晶粒，遠(yuǎn)離短裂紋群的晶粒群則表現(xiàn)出較低滑移變形，且塑性滑移梯度很小，裂紋群的發(fā)展主要集中在初始裂紋周圍，并沿垂直于疲勞荷載方向發(fā)展，這一結(jié)果和宏觀疲勞實(shí)驗(yàn)相一致，印證了模擬的準(zhǔn)確性。

圖4　不同循環(huán)次數(shù)下裂紋群有限元模擬Fig.4　Finite element simulation of crack group at different fatigue cycles(a)N=1193；(b)N=2333;(c)N=3223；(d)N=4506

3.4采用晶體塑性模型構(gòu)建的多晶體裂紋萌生模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比

圖5　0.5%應(yīng)變荷載作用下模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.5　Comparison of simulation results and experimental data under 0.5% strain load

圖6　0.6%應(yīng)變荷載作用下模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.6　Comparison of simulation results and experimental data under 0.6% strain load

圖7　0.76%應(yīng)變荷載作用下模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.7　 Comparison of simulation results and experimental data under 0.76% strain load

在圖5～7中所示三種應(yīng)力水平下，當(dāng)循環(huán)數(shù)不超過500～700次時(shí)，短裂紋數(shù)密度均與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合較好，但當(dāng)循環(huán)數(shù)較大時(shí)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)出現(xiàn)了拐點(diǎn)，與模擬結(jié)果出現(xiàn)較大偏差，根據(jù)文獻(xiàn)[21]等的研究，這是由于裂紋在實(shí)際循環(huán)荷載作用下出現(xiàn)了穿晶擴(kuò)展，即當(dāng)短裂紋萌生階段結(jié)束，短裂紋群密度達(dá)到臨界值時(shí)，在疲勞荷載持續(xù)作用下將導(dǎo)致部分裂紋穿過晶界，擴(kuò)展至相鄰晶粒中，這一部分裂紋中的絕大部分將在達(dá)到二倍于晶粒尺寸時(shí)停止擴(kuò)展，出現(xiàn)宏觀裂紋。

4　結(jié)論

(1)多晶體金屬在疲勞荷載作用早期，其裂紋是從個(gè)別應(yīng)力集中較高的晶粒中萌生，并擴(kuò)展至晶界處停止擴(kuò)展。

(2)晶界作為晶粒的屏障，將位錯(cuò)的滑移限制在晶粒內(nèi)部，導(dǎo)致晶體變形不均勻。

(3)當(dāng)晶粒開裂后，應(yīng)力及滑移變形重新分布，集中在短裂紋周圍晶粒處，加速了其裂紋的出現(xiàn)和擴(kuò)展，導(dǎo)致短裂紋出現(xiàn)集中，并沿垂直于荷載方向分布。

(4)裂紋數(shù)密度達(dá)到臨界時(shí)，裂紋起始階段結(jié)束，疲勞過程進(jìn)入宏觀裂紋擴(kuò)展階段。

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(SchoolofScience,Xi′anUniversityofArchitecture&Technology,Xi′an710055,China)

(責(zé)任編輯：徐永祥)

Numerical Simulation of Fatigue Crack Initiation Using Crystallographic Constitutive Equation

LIU Junqing，LI Meng，ZUO Fan，LIU Hong，CAO Shuwen

Attheearlystageoffatigueloading,shortcrackinitiatedandthenmacrocracknucleationappearedoncrystalscaleinmaterials.Inordertostudythedevelopmentoffatiguecrack,theVoronoifiniteelementmodelofmulticrystalgrainswasestablishedbyMonteCarlomethod;crystallographicconstitutiveequationwasprogrammedwiththefiniteelementmodelbasedontheusersubroutineinANSYSUsermat,acorrectionofthecomputersimulationmethodwhichmainlyconsideredtensionstiffeningeffectforfatiguecrackinitiationwasdeveloped.WiththeconsiderationofthedislocationdipolemodelsuggestedbyTANAKAandMURA,fatiguecrackinitiationofmulticrystalgrainswassimulated.Acomparisonwithcurrentlycollecteddatashowsthatthecorrectedmethodwasmoreconsistedwithtestresultsandmacrophenomenon.

fatigue；crystallographicconstitutiveequation；crackinitiation；finiteelementsimulation

2015-08-10；

2015-10-08

陜西省教育廳專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(15JK1382)

劉俊卿(1957—)，男，工學(xué)博士，教授，主要從事工程力學(xué)的教學(xué)與研究，(E-mail)37825pf@sina.com。

10.11868/j.issn.1005-5053.2016.2.012

TG113.25+5

A

1005-5053(2016)02-0074-06