王素娟

摘要：中學(xué)數(shù)學(xué)中最短路徑問題，生動地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活及用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實生活問題的數(shù)學(xué)應(yīng)用性。在初中數(shù)學(xué)中有關(guān)最短路徑的問題可分為點點之間的最短路徑問題、點線之間的最短路徑問題以及立體圖形展開圖中的最短路徑問題。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；最短路徑；轉(zhuǎn)化；對稱；展開圖

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-010X（2016）18-0055-02

“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)。”正如前輩所說，數(shù)學(xué)與我們的生活息息相關(guān)，數(shù)學(xué)的腳步無處不在。隨著課改的深入，數(shù)學(xué)更貼近生活，更著眼于解決生產(chǎn)、經(jīng)營、建筑中的問題，于是就出現(xiàn)了為省時、省力而希望尋求最短路徑的數(shù)學(xué)問題。其問題主要依據(jù)是“兩點之間，線段最短”、“點到直線上的所有線段中，垂線段最短”以及利用軸對稱的性質(zhì)、平面展開圖等知識來解決，特別是要用軸對稱進行轉(zhuǎn)換以及將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決初中數(shù)學(xué)中的最短路徑問題。初中數(shù)學(xué)中最短路徑問題，生動地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，并用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實生活問題的數(shù)學(xué)應(yīng)用性。在初中數(shù)學(xué)中有關(guān)最短路徑的問題可分為點點之間的最短路徑問題、點線之間的最短路徑問題以及立體圖形展開圖中的最短路徑問題。

一、點與點

如圖，點A到點B的最短距離為：線段AB的長度。其中的數(shù)學(xué)道理我們都知道是“兩點之間線段最短”。由此也就引出了三角形的三邊關(guān)系：三角形兩條邊的和大于第三條邊。

二、點與線

如圖，想在河堤兩岸搭建一座橋，圖中搭建方式中，最短的是PB，理由垂線段最短。

三、兩點一線：分為以下兩種情況

情況一：兩點在一條直線異側(cè)

例：已知：如圖，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點P，使得PA+PB最小。

解：連接AB，線段AB與直線l的交點P，就是所求。

（其依據(jù)：兩點之間線段最短.）

情況二：兩點在一條直線同側(cè)

例：如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短。【分析】只有A、P、B在一直線上時，才能使AP+BP最小。作點A關(guān)于直線“街道”的對稱點A′，然后連接A′B，交“街道”于點P，則點P就是所求的點。

四、一點兩線（一點在兩相交直線內(nèi)部）

例：已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.

【分析】：當(dāng)AB，BC和AC三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時，三角形的周長最小。

作法：分別作點A關(guān)于OM，ON的對稱點A′，A″；連接A′，A″，分別交OM，ON于點B、點C，則點B、點C即為所求。

五、兩點兩線

例：如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。

作法：1.作點c關(guān)于直線OA的對稱點點F；

2.作點D關(guān)于直線OB的對稱點點E；

3.連接EF分別交直線OA、OB于點G、H；

則CG+GH+DH最短。

六、立體圖形展開圖中的最短路徑問題

1.在圓柱中可將其側(cè)面展開求出最短路程

將圓柱側(cè)面展成長方形，圓柱體展開的底面周長是長方形的長，圓柱的高是長方形的寬。可求出最短路程。

例：如圖所示，是一個圓柱體，ABCD是它的一個軸截面，AB=8/π，BC=3，一只螞蟻，要從A點爬行到C點，那么最近的路程長為____。

【分析】：我們要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓柱的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果。

解：將圓柱體展開，連接A、C，AC長即為所求。

2.在長方體中可將其側(cè)面展開求出最短路程

例：有一長、寬、高分別是5cm，4cm，3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體的一個頂點A處沿長方體的表面爬到長方體上和A相對的頂點B處，則需要爬行的最短路徑長為__cm。

【分析】：將此長方體展開，在平面內(nèi)，利用“兩點之間線段最短”和“勾股定理”求兩點A、B間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短路徑。

解：因為平面展開圖不唯一，所以我們要分三種情況進行討論并比較大小，從而確定出最短路徑。

（1）展開前面、右面，由勾股定理得AB²=（5+4）²+3²=90；

（2）展開前面、上面，由勾股定理得AB²=（3+4）²+5²=74；

（3）展開左面、上面，由勾股定理得AB²=（3+5）²+4²=80：

總之，數(shù)學(xué)來源于生活，同時數(shù)學(xué)也服務(wù)于生活。在解決初中數(shù)學(xué)中的最短路徑問題時，我們需要用數(shù)學(xué)中的“轉(zhuǎn)化思想”將生活中的問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間線段最短”的問題或運用軸對稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點之間的距離。我們還應(yīng)注意：利用軸對稱解決最值問題應(yīng)注意題目要求，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法。

【責(zé)任編輯 姜華】