廣東省肇慶市鼎湖區(qū)廣利高級中學(xué)

黃　之　　(郵編：611731)

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正確解讀教材文本準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容

——對“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”聽課中的幾點(diǎn)思考

廣東省肇慶市鼎湖區(qū)廣利高級中學(xué)

黃之(郵編：611731)

1　問題的緣起

日前，筆者在佛山一中觀摩了來自廣州廣雅中學(xué)、佛山一中、云浮鄧發(fā)紀(jì)念中學(xué)的名師進(jìn)行“同課異構(gòu)”課堂教學(xué)，羅增儒教授為三位老師的“方程的根與函數(shù)零點(diǎn)”三節(jié)課進(jìn)行精彩而深刻的點(diǎn)評.羅教授對課堂的師生活動(dòng)、教材處理、備課的素材準(zhǔn)備、重點(diǎn)的確定、難點(diǎn)的突破等方面與授課老師進(jìn)行互動(dòng)，給在座的老師帶來深刻而鮮明的教育.通過觀摩三個(gè)教師課堂教學(xué)，結(jié)合自己實(shí)踐中的教學(xué)處理，同時(shí)也受到羅教授點(diǎn)評的啟發(fā)，筆者對這節(jié)課進(jìn)行梳理，作進(jìn)一步的反思.現(xiàn)在寫下對這些問題的思考，以期拋磚引玉.

2　關(guān)于本節(jié)內(nèi)容在課程中地位和作用的思考

函數(shù)與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，而函數(shù)的零點(diǎn)是新課標(biāo)教材的新增內(nèi)容之一.教材首先是在學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)基礎(chǔ)上，了解方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，為用二分法求方程的近似解的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，而且從不同的角度揭示數(shù)與形、方程與函數(shù)之間的本質(zhì)關(guān)系，這種聯(lián)系正是函數(shù)與方程思想的理論基礎(chǔ).然后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想及轉(zhuǎn)化和化歸的思想討論函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其目的就是通過函數(shù)的零點(diǎn)來研究方程的根，進(jìn)一步突出函數(shù)思想的應(yīng)用價(jià)值，也為用二分法求方程的近似解做好思想上和知識上的準(zhǔn)備，使學(xué)生體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)的概念、性質(zhì)和觀點(diǎn)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題的意識.對函數(shù)與方程的關(guān)系的認(rèn)識過程，教材遵循了由淺入深、循序漸進(jìn)的原則.因此，本節(jié)課具有承前啟后的作用.

函數(shù)與方程是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是聯(lián)結(jié)初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁.函數(shù)的零點(diǎn)是為了研究方程的解(根)而產(chǎn)生的概念，它是方程的解(根)在函數(shù)視野下的名稱.此外，函數(shù)與方程還是中學(xué)數(shù)學(xué)重要數(shù)學(xué)思想方法之一，本節(jié)課的一個(gè)重要潛在課程目標(biāo)就是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)的思想去思考解決問題.所以，從方法論的角度看，函數(shù)與方程在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中地位的重要性是不言而喻.

3　對教學(xué)內(nèi)容的思考

3.1對于方程f(x)=0的理解

對方程f(x)=0的理解，我們可以從兩個(gè)方面去分析.一方面，方程f(x)=0與對應(yīng)函數(shù)y=f(x)聯(lián)系，而這正是教材重點(diǎn)揭示的部分；另一方面，將方程f(x)=0適當(dāng)變形為g(x)=h(x).

在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中考察兩個(gè)函數(shù)y1=g(x)和函數(shù)y2=h(x)的圖象，將研究方程f(x)=0的問題直觀地轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y1=g(x)和函數(shù)y2=h(x)以及它們之間的相互關(guān)系.例如，它們圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程g(x)=h(x)，即f(x)=0的根.而這正是學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度解決諸如超越方程的根大致所在區(qū)間一類問題的常用方法.值得指出的是，由于這種分解為兩個(gè)函數(shù)的變形是隨意的，可以把方程f(x)=0變形為函數(shù)y1=f(x)和函數(shù)y2=0，盡管這樣的變形思想方法是對的，但卻對利用數(shù)形結(jié)合解決問題并沒有幫助.所以，這里的適當(dāng)變形是指所變形分解得到的兩個(gè)函數(shù)y1=g(x)和y2=h(x)都是初等函數(shù)，它們的圖象是比較容易徒手畫出來的，這樣的變形分解才是有助于解決此類問題的.

3.2對于方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的理解

一般地，函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)．函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)、方程f(x)=0的根、函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從數(shù)值上看，它們是等價(jià)的.但從它們的個(gè)數(shù)上看卻是不等價(jià)的，即函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與它的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，但與方程f(x)=0的根的個(gè)數(shù)并不一定相同.例如，函數(shù)y=x2-2x+1，它的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)(相切)，它的零點(diǎn)只有一個(gè)x=1，而與之相應(yīng)的方程x2-2x+1=0，我們一般說它有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=1.因此，函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)、方程f(x)=0的根、函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系如圖所示.

3.3關(guān)于零點(diǎn)存在性定理的理解

函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在的零點(diǎn)的充分不必要條件.零點(diǎn)存在性定理指出：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).但零點(diǎn)的個(gè)數(shù)需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)進(jìn)行判斷.換言之，在滿足函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且滿足f(a)·f(b)<0的條件下，在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)y=f(x) 的零點(diǎn)可能不止一個(gè).這個(gè)問題可以通過變換條件以及數(shù)形結(jié)合的方式加以辨析.

4　關(guān)于本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的思考

4.1對于教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)的把握

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是理解方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，會(huì)將求方程的根的問題轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)的問題，理解零點(diǎn)存在性定理，并能初步確定具體函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間；經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合分析解決問題的過程，滲透由特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括、歸納等方面的認(rèn)知能力.因此教學(xué)的重點(diǎn)是：方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，零點(diǎn)存在性定理及應(yīng)用.

4.2關(guān)于教學(xué)過程設(shè)計(jì)的處理

本節(jié)課主要解決三個(gè)問題：方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，零點(diǎn)存在性定理的理解，判斷一個(gè)連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)的方法，即運(yùn)用存在性定理確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間.關(guān)于第一個(gè)問題，主要通過具體的方程如一元二次方程來說明方程的跟與相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系；對存在性定理的理解，主要通過數(shù)形結(jié)合、特例、反例進(jìn)行準(zhǔn)確的把握，至于定理的運(yùn)用要在具體問題解決的過程進(jìn)行運(yùn)用意識的強(qiáng)化.教學(xué)路線圖如圖所示.

4.3幾個(gè)具體問題的教學(xué)處理

問題1課題引入的處理

一般而言，教學(xué)從具體的問題引入比較符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，比如本節(jié)課教材從研究簡單一元二次方程問題入手，引出方程的根、函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，當(dāng)中對函數(shù)的零點(diǎn)這個(gè)新概念呼之欲出.當(dāng)然，如果學(xué)生的基礎(chǔ)比較扎實(shí)，盡可以弄一個(gè)復(fù)雜一點(diǎn)的一元二次函數(shù)來作為引入課題的問題，如求解方程2015x2-2016x+5=0這樣一個(gè)學(xué)生熟悉但不容易求解的方程，在困難面前“逼”學(xué)生“就犯”：將方程問題向函數(shù)問題轉(zhuǎn)換！

問題2對“求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)”安排問題的處理

求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，這是本節(jié)課要重點(diǎn)解決的問題，是整節(jié)課的問題的核心與焦點(diǎn).由于在學(xué)習(xí)零點(diǎn)的存在性定理之前這是一個(gè)難以解決的問題，是可以產(chǎn)生認(rèn)知沖突的障礙，所以可以把它作為引入處的探究活動(dòng)的研究對象，由此引出本節(jié)課的內(nèi)容，在學(xué)習(xí)了存在性定理后順理成章地解決問題.當(dāng)然，本問題作為應(yīng)用存在性定理解決問題的典型，也可以放置在學(xué)習(xí)完存在性定理之后呈現(xiàn).

問題3對存在性定理理解的處理

教師可以結(jié)合圖象，諸如以函數(shù)f(x)=(x+2)(x-1)(x-3)來讓學(xué)生直觀認(rèn)識函數(shù)的零點(diǎn)的概念.為加深理解，教師可以引入如下小問題加以探索討論：

探求1如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足f(a)·f(b)>0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒有零點(diǎn)嗎？

探求2如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)有零點(diǎn)，但是否只有一個(gè)零點(diǎn)？

探求3如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足f(a)·f(b)<0，則增加怎樣的條件可以確定函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上只有一個(gè)有零點(diǎn)？

探求4如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)在區(qū)間(a,b)有零點(diǎn)時(shí)，一定有f(a)·f(b)<0嗎？

探求5如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象不是一條連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)在區(qū)間(a,b)有零點(diǎn)時(shí)，一定有f(a)·f(b)<0嗎？

通過這些成系列的問題的探究，對定理的條件與結(jié)論都進(jìn)行了深刻剖析，有助于學(xué)生正確認(rèn)識函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理.

問題4對作圖法技能的處理

本節(jié)課要向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，離不開作各種函數(shù)的圖象，學(xué)生也習(xí)慣將方程f(x)=0適當(dāng)變形為g(x)=h(x)，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系上作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，通過考察函數(shù)y1=g(x)和y2=h(x)的圖象來解決相關(guān)問題.但本節(jié)課方法的定位卻不是這種方法，本節(jié)課著重培養(yǎng)學(xué)生通過函數(shù)的角度去思考問題、解決問題的意識與能力.在得出函數(shù)零點(diǎn)存在性定理后，應(yīng)注重通過計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值、比較函數(shù)值符號、借用定理進(jìn)行正確的判斷、推斷并解決問題，而不是不斷重復(fù)“作函數(shù)圖象”的方法，更何況很多的函數(shù)的圖象是無法徒手作圖的.

5　關(guān)于數(shù)學(xué)備課的思考

5.1站在學(xué)科系統(tǒng)的高度去備課

當(dāng)前，在備課中一個(gè)突出的問題是，過于重視教案及課件，而輕視教材的解讀，這實(shí)在是舍本逐末，對上好一節(jié)課的危害不淺.數(shù)學(xué)老師對中學(xué)數(shù)學(xué)的整個(gè)課程體系要有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識，必要時(shí)要把這個(gè)系統(tǒng)延伸到小學(xué)數(shù)學(xué)課程和大學(xué)數(shù)學(xué)課程.在上課前，盡可能多地占有各種相關(guān)的有益素材，站在學(xué)科系統(tǒng)的高度，統(tǒng)籌這些素材，這是上好一節(jié)數(shù)學(xué)課的一個(gè)重要前提條件.誠如羅增儒教授在點(diǎn)評環(huán)節(jié)說，他來聽課之前查閱20多篇相關(guān)的論文、教學(xué)設(shè)計(jì)、微課等，收集了充分的素材.備課，既要備教法、備教學(xué)過程，更要備學(xué)生、備學(xué)法，只有充分備好、備足上課的情況下，才能備好課、上好課，才能更好地評講一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣，才能進(jìn)行更加深刻的教學(xué)反思.

5.2關(guān)于教學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)

課程的教學(xué)重點(diǎn)是由數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)確定的，是客觀存在的，不隨主觀條件的改變而變化；核心的概念、學(xué)科的重要知識、有普遍意義的思想方法等都可以作為教學(xué)的重點(diǎn).教學(xué)難點(diǎn)則是隨主觀條件的改變而變化的，它跟教學(xué)的內(nèi)容的抽象程度、復(fù)雜程度等有關(guān)，也跟學(xué)生的認(rèn)知能力、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、行為習(xí)慣、學(xué)習(xí)環(huán)境等個(gè)體因素相關(guān).因此，在教學(xué)中要突出重點(diǎn)，圍繞課程的目標(biāo)設(shè)置重點(diǎn)，圍繞重點(diǎn)內(nèi)容展開教學(xué)，為學(xué)生創(chuàng)更合適的條件幫助學(xué)生突破難點(diǎn).

6　關(guān)于聽課的思考

參加數(shù)學(xué)教研活動(dòng)，觀摩同行的課堂，是我們數(shù)學(xué)教師最熟悉的日常教研活動(dòng)方式之一.雖然當(dāng)前的一些大型公開課頗受詬病，但不可否認(rèn)的是這些經(jīng)過個(gè)人或者團(tuán)隊(duì)精心打磨的課其中必有一些值得借鑒的地方.聽課者是否有明確的聽課目的，對發(fā)現(xiàn)課堂的精彩、對自我發(fā)展和自我提升有著重要的影響.只有帶著強(qiáng)烈的目的意識去觀摩、去感悟同行的教學(xué)課堂，對這些公開課展現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo)定位、教學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)、教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)方法、教學(xué)活動(dòng)和教學(xué)過程等進(jìn)行細(xì)致觀察，并且在聽課過程中多問自己幾個(gè)問題：執(zhí)教者對教材的文本解讀透徹嗎？這節(jié)課的重點(diǎn)突出了嗎？難點(diǎn)突破了嗎？關(guān)注了課堂生成資源的利用了嗎？教學(xué)目標(biāo)達(dá)到了嗎？關(guān)注了學(xué)生的學(xué)習(xí)了嗎？關(guān)注了學(xué)生的思維發(fā)展了嗎？師生交流是否有效促進(jìn)了教學(xué)？學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)如何？等等.羅增儒教授在聽課過程中表現(xiàn)出的細(xì)膩，值得老師們學(xué)習(xí)借鑒：課前三兩筆畫好教室的座位平面圖，這是記錄師生活動(dòng)的絕佳二維記錄表；聽課過程中，仔細(xì)劃分教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，并記上時(shí)間進(jìn)度；記錄好哪些學(xué)生提出了什么問題、回答了什么問題、進(jìn)行了哪些展示、對學(xué)生的板書及課堂活動(dòng)的順序，教師的提問次數(shù)、提問的人次、在課室的行走路線位置等進(jìn)行了簡單速記，對精彩之處都作了詳細(xì)記錄.可以說，羅增儒教授對課堂教學(xué)的時(shí)間和空間進(jìn)行了全方位的觀察，多角度、多層面地思考了數(shù)學(xué)課堂.如果數(shù)學(xué)老師都像羅老師那樣聽課學(xué)習(xí)，則對個(gè)人的專業(yè)發(fā)展一定是獲益良多的.

1人民教育出版社數(shù)學(xué)室編著.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 必修1.北京：人民教育出版社

2黃之. 深入研讀教材，整體把握教學(xué)內(nèi)容.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬)，2014(9)

2016-05-11)