天津市靜海區(qū)沿莊鎮(zhèn)中學(xué)

劉家良　　(郵編：301605)

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等一等“等”在何處

天津市靜海區(qū)沿莊鎮(zhèn)中學(xué)

劉家良(郵編：301605)

部分教師不顧學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，課堂節(jié)奏之快，讓學(xué)生身心疲憊．因缺乏學(xué)生的積極參與，致使學(xué)生智慧的火花得不到閃現(xiàn)，這種只顧自己去完成教學(xué)任務(wù)的行為，背離了“以學(xué)定教”的思想．欲提高課堂教學(xué)的有效性，就要以學(xué)情為基點(diǎn)，循序漸進(jìn).在新知的孕育、思考、發(fā)現(xiàn)及歸納中等一等；在解題思維切入點(diǎn)的尋求和過程的反思上等一等；在錯(cuò)解究因、透徹理解、準(zhǔn)確運(yùn)用上等一等．等一等中為學(xué)生獨(dú)思和交流營(yíng)造出一種和諧、自然的氛圍．

學(xué)情；循序漸進(jìn)；等一等；新知；獨(dú)思；交流

時(shí)下部分教師不顧學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，片面追求課堂知識(shí)容量的最大化，出現(xiàn)了課堂節(jié)奏過快的現(xiàn)象：?jiǎn)栴}提出后還未等學(xué)生來得及去思考，就馬上讓學(xué)生回答；合作交流還未給足自主探究的時(shí)間就急于展開討論，而討論開始后不久又草草收兵；以教師的能力、速度設(shè)定為學(xué)生的練習(xí)時(shí)間…．節(jié)奏之快，壓得學(xué)生喘不過氣來，致使許多知識(shí)、技能被做成了“夾生飯”.同時(shí)由于學(xué)生的“鼻子”是被老師預(yù)設(shè)的路線牽著往前走的，因缺乏足夠的思考時(shí)間，致使課堂中缺乏學(xué)生智慧火花的閃現(xiàn)，更為甚者那些反映不那么及時(shí)的學(xué)生則變成了課堂的“觀眾”．當(dāng)問及這些教師為什么上這么快的原因時(shí)，得到的回答是：快，可以留出時(shí)間多復(fù)習(xí)幾遍，以此來查漏補(bǔ)缺．這些話聽起來似乎有些道理，但是數(shù)學(xué)知識(shí)一環(huán)套一環(huán)，系統(tǒng)性強(qiáng)，學(xué)生這節(jié)沒有聽懂的東西，而到了下節(jié)的內(nèi)容就會(huì)更難.久而久之，不懂的東西越聚越多，重重的包袱壓得學(xué)生“窒息”，自然興趣也就無從談起了．這種做法背離了“以學(xué)生為本”的理念，也背離“以學(xué)定教”的思想．

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：“教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過程．有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者．”所以，有效教學(xué)的關(guān)鍵在于怎樣啟發(fā)學(xué)生自己去思考和琢磨，在學(xué)生充分進(jìn)行獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，再對(duì)他們進(jìn)行啟發(fā)、開導(dǎo)．特別是農(nóng)村的初中生，大多數(shù)學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，認(rèn)知參差不齊，思維呆板．因此，教師課堂上的“一招一式”，應(yīng)以學(xué)情為基點(diǎn)，循序漸進(jìn)，使數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)在一種輕松愉悅的狀態(tài)下“達(dá)成”，而這一切需要教師在課堂上有 “等一等”的耐心和策略．

教學(xué)是對(duì)學(xué)生知識(shí)和情感的一個(gè)潛移默化的培養(yǎng)過程，要做到“潤(rùn)物細(xì)無聲”．等一等，是以學(xué)生的已有知識(shí)基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)，面向全體，留下足夠的時(shí)間和空間，引領(lǐng)同學(xué)們理解概念、定理，豐富對(duì)解題的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)典型問題的理解.將問題的本質(zhì)挖掘出來或者去洞察問題的深層結(jié)構(gòu)，是教師對(duì)學(xué)生思考問題的一種期待，期待著學(xué)生的精彩表現(xiàn)；等一等，是對(duì)學(xué)困生在課堂上的一種精神關(guān)愛．

等一等，這個(gè)“等”應(yīng)設(shè)置在課堂的哪個(gè)節(jié)骨眼處能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂探究的積極性呢？時(shí)機(jī)又如何把握呢？筆者認(rèn)為：在新知的孕育、觀察、思考、發(fā)現(xiàn)及歸納中要等一等，在解題思維切入口的尋求及過程的反思上要等一等，在錯(cuò)解究因、透徹理解、準(zhǔn)確運(yùn)用上要等一等．“等一等”，為學(xué)生獨(dú)思和交流營(yíng)造出一種和諧、自然的氛圍．

1　在新知的孕育、觀察、思考、發(fā)現(xiàn)及歸納中要等一等

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾反復(fù)強(qiáng)調(diào)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行‘再創(chuàng)造’.”也就是由學(xué)生把要學(xué)的東西親自去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，而教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造．

數(shù)學(xué)是從具體中提煉出的抽象語言，對(duì)初中生而言，我們應(yīng)該將數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)容附著在現(xiàn)實(shí)的背景中，讓學(xué)生去學(xué)習(xí)從現(xiàn)實(shí)生活中產(chǎn)生、發(fā)展的數(shù)學(xué)，幫助學(xué)生理解“形式化”的語言．因此，從實(shí)際問題“孕育”出數(shù)學(xué)問題的過程需要等一等．

案例1足球訓(xùn)練場(chǎng)上，教練在球門前劃了一個(gè)圓圈進(jìn)行無人防守的射門訓(xùn)練，如圖1，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員分別在C、D兩地，他們爭(zhēng)論不休，都說在自己的位置射門好．如果你是教練，評(píng)一評(píng)他們的說法．

評(píng)析哪個(gè)位置射門好，取決于射門的“角度”，即比較∠C和∠D的大小．學(xué)生首先想到的是用半圓儀量．此時(shí)教師要舍得給時(shí)間讓學(xué)生去經(jīng)歷這個(gè)感知過程．之后教師在⊙O的弧上再取幾個(gè)點(diǎn)作為射門的不同位置,讓學(xué)生再量，從中獲得猜想．此時(shí)可將足球射門選角度問題引導(dǎo)學(xué)生抽象提煉成數(shù)學(xué)問題，即研究同弧所對(duì)的圓周角的大小關(guān)系問題．

觀察是發(fā)現(xiàn)問題的開始．畫圖、度量、類比、猜想、轉(zhuǎn)化是探究和獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的有效途徑．教師做為一個(gè)組織者、引導(dǎo)者和合作者，要舍得花時(shí)間讓學(xué)生歷經(jīng)這個(gè)過程，“等”出學(xué)生的果實(shí)．為提高“等”的實(shí)效性，對(duì)某些知識(shí)在探究前可做些適當(dāng)?shù)匿亯|或分解．

案例2探究“圓周角定理”如圖2，(1)一條弧BC所對(duì)的圓周角有多少個(gè)？(2)同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？(3)同弧所對(duì)的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？

請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手畫出⊙O中弧BC所對(duì)的圓周角．觀察弧BC所對(duì)的圓周角與圓心O有幾種位置關(guān)系？

評(píng)析引導(dǎo)學(xué)生自己畫圖、度量，會(huì)發(fā)現(xiàn)弧BC所對(duì)的圓周角的度數(shù)都是相等的．同時(shí)借助幾何畫板測(cè)量出各個(gè)圓周角的度數(shù)，進(jìn)一步驗(yàn)證“同弧所對(duì)的圓周角的大小相等”的性質(zhì)．邊觀察幾何畫板的演示邊引導(dǎo)學(xué)生概括歸納弧所對(duì)的圓周角與圓心位置的三種情況，用測(cè)量圓心角與圓周角度數(shù)的方法來初步猜測(cè)“同弧所對(duì)的圓周角是圓心角度數(shù)的一半”的命題．

“問題是數(shù)學(xué)的心臟．”學(xué)生在探究中都會(huì)遇到坎坷，當(dāng)遇到個(gè)人難以獨(dú)立解決的問題時(shí)，其中小組合作是問題解決的有效策略．此時(shí)教師應(yīng)耐心“等一等”．對(duì)學(xué)生表達(dá)不全的問題要給學(xué)生補(bǔ)全的機(jī)會(huì)，以延時(shí)評(píng)價(jià)和適時(shí)的點(diǎn)撥激發(fā)每名學(xué)生討論問題的積極性．

案例3學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐：在圓形硬紙片上任取一段弧，畫出該弧所對(duì)的圓心角和任意一個(gè)圓周角．并根據(jù)所畫的圖形，分組探討“該弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半”成立的理由．

在活動(dòng)交流后，教師選取一個(gè)小組展示圖片、說理、驗(yàn)證．

評(píng)析圓心和圓周角的位置關(guān)系分為三類：圓心在圓周角一邊上，圓心在圓周角內(nèi)部，圓心在圓周角外部．而這三類情形，需要學(xué)生小組間的相互補(bǔ)充，師用“別的小組還有補(bǔ)充的嗎”來調(diào)動(dòng)學(xué)生參與討論的熱情，這種期待，需要有等一等的耐心．

第一類學(xué)生容易證明，第二類、第三類比較難，需要教師走近每個(gè)小組適時(shí)引領(lǐng)、點(diǎn)撥．由圓的軸對(duì)稱性聯(lián)想將硬紙片對(duì)折，過圓周角的頂點(diǎn)作“直徑”，如圖3、圖4，則第二、第三類情況均化為第一類情形．在動(dòng)手實(shí)踐中，學(xué)生感悟到的是由一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想．

評(píng)析從特殊情形切入，又把一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形．對(duì)一般情形化為特殊情形，學(xué)生接觸的少，需要教師在思路的轉(zhuǎn)化、思維的發(fā)散和聚合處給學(xué)生足夠的時(shí)間讓學(xué)生動(dòng)手折一折、動(dòng)腦思一想，輔之適時(shí)的點(diǎn)撥，使得思想的滲透自然天成．

小結(jié)是對(duì)一堂課中所學(xué)知識(shí)、技能的盤點(diǎn)和升華，同時(shí)又為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)埋下伏筆，此時(shí)“等一等”，讓學(xué)生自己去回憶、梳理、歸納、表達(dá)和建構(gòu)．

案例4如圖5，甲、乙、丙隊(duì)員互相配合向?qū)Ψ角蜷T進(jìn)攻，當(dāng)甲帶球沖到圖中C點(diǎn)時(shí)，乙、丙也分別跟隨沖到圖中的D點(diǎn)、E點(diǎn)，從射門的角度大小考慮，甲應(yīng)把球傳給誰好？請(qǐng)你從數(shù)學(xué)角度分析說明．

析評(píng)點(diǎn)D、E分別位于圓內(nèi)和圓外，與圓周角初學(xué)時(shí)的情境有共同點(diǎn)也有區(qū)別點(diǎn)．小結(jié)時(shí)安排此題，既是對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用又是延伸，為后續(xù)學(xué)習(xí)“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”埋下伏筆．此處等一等，是因?yàn)閷W(xué)生需要有一個(gè)類比、對(duì)比、分類與轉(zhuǎn)化的思考空間，是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、應(yīng)用意識(shí)的好時(shí)機(jī)．

2　在解題思維切入點(diǎn)的尋求及過程的反思上要等一等

解題是對(duì)所求對(duì)象(數(shù)、式、圖形等)的觀察、聯(lián)想、比較、思考和發(fā)現(xiàn)的系列過程，在尋找“蛛絲馬跡”的線索中開啟思維之門．解題中，若不能找到它的切入點(diǎn)就會(huì)感覺束手無策.反之，若能找到它的切入點(diǎn)，就會(huì)搭建起已知和未知間的橋梁，思維就有了方向和動(dòng)力．尋找問題的切入點(diǎn)，需要的是主動(dòng)觀察和善于思考的共同發(fā)力．因此教師要在解題的切入點(diǎn)處要舍得給學(xué)生嘗試、思考的時(shí)間，要耐心等一等．通過等一等，等出切入法的多樣性、思維的靈活性，等到“柳暗花明又一村”的豁然開朗，嘗到苦中有樂的滋味，養(yǎng)成堅(jiān)韌的意志．

2.1在開放性試題的解答中，尋找多個(gè)切入點(diǎn)并合理取舍要等一等

案例5如圖6，在△BEC和△DFA中，點(diǎn)A、E、F、C在同一直線上，現(xiàn)有下面四個(gè)論斷：

(1)AD=CB；(2)∠B=∠D；(3)AE=CF；(4)AD∥BC．

請(qǐng)你用其中的三個(gè)作為條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，編寫一道數(shù)學(xué)問題，并寫出解答過程．

分析此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，因判定法有四種，故此學(xué)生切入的角度就會(huì)有別．若此題的四個(gè)論斷能分別作為結(jié)論，則出現(xiàn)四種可能，分別是(1)，(2)，(3)→(4)；(1)，(2)，(4)→(3)；(1)，(3)，(4)→(2)；(2)，(3)，(4)→(1)．同時(shí)有部分學(xué)生注意到“(1)，(2)，(3)→(4)”是不成立的，因?yàn)榉稀癝SA”條件的兩個(gè)三角形未必全等．

評(píng)析“還有不同的答案嗎，根據(jù)是什么”，因在等一等中不斷追問，學(xué)生不僅尋找到了分類的標(biāo)準(zhǔn)，而且還注意到合理取舍，在批判性的思維中養(yǎng)成了思維的嚴(yán)謹(jǐn)．

2.2在問題的轉(zhuǎn)換中歷經(jīng)嘗試進(jìn)入憤悱狀態(tài)前要等一等

在問題的轉(zhuǎn)換過程中，學(xué)生要?dú)v經(jīng)不斷嘗試，等到呈現(xiàn)“憤”、“悱”狀態(tài)時(shí)，教師就要適時(shí)啟發(fā)，旨在給學(xué)生提供繼續(xù)探下去的一個(gè)“支點(diǎn)”．

案例6如圖7，已知一個(gè)無蓋圓柱紙盒的底面半徑為8cm，高為7cm，一只蝸牛從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)的最短路程是______(π取3)．

2.3尋求切入點(diǎn)貴在一種“韌”勁

評(píng)析年級(jí)越高，知識(shí)的綜合性就越強(qiáng)，問題的難度就越大，則學(xué)生的攀爬就越陡峭，此時(shí)成功的背后只有一種堅(jiān)持，這種堅(jiān)持就是大膽的嘗試，勇于挑戰(zhàn)的精神．恰似南宋詩(shī)人陸游在《游山西村》描繪的“山窮水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”之感．

解題反思是優(yōu)化思維、舉一反三中不可或缺的環(huán)節(jié)．在反思中，要等一等，讓學(xué)生提煉解題方法，思考方法的遷移性，推廣的一般性，思維的可逆性等．

案例8如圖8，已知E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且∠EAF=45°．求證EF=BE+DF．

分析此題是證明一條線段等于兩條線段之和．思路為補(bǔ)短或截長(zhǎng)，綜合了全等三角形的判定和性質(zhì)．

解完后，可讓學(xué)生繼續(xù)思考：(1)條件和結(jié)論互換一下位置，命題是否成立？

(2)如圖9，在直角梯形ABCF中，AB∥FC，AB=BC=12.點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，且∠EAF=45°，EF=10.求△AEF的面積．

3　在錯(cuò)解究因、透徹理解、準(zhǔn)確運(yùn)用上等一等

簡(jiǎn)約和精確，是數(shù)學(xué)語言的特點(diǎn)．然而，一部分學(xué)生因偏重直觀與猜測(cè)，缺乏仔細(xì)審題的習(xí)慣，缺乏縝密思考問題的品質(zhì)，致使解題過程和結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤．怎樣看待學(xué)生解題中出現(xiàn)的問題呢？如何減少類似錯(cuò)誤的出現(xiàn)呢？學(xué)生解題中的錯(cuò)誤現(xiàn)象給我們及時(shí)調(diào)整和改進(jìn)授課方法敲響了警鐘，減少類似錯(cuò)誤的出現(xiàn)的一個(gè)有效的方法就是課堂拿出時(shí)間讓學(xué)生自己究因或?qū)W生之間相互究因，避免教師過于全盤分析的做法．

3.1澄清模糊問題中要等一等

在知識(shí)的易混、易錯(cuò)處要精心設(shè)問，通過學(xué)生的比對(duì)加深對(duì)新知的理解，感受數(shù)學(xué)語言的簡(jiǎn)約和嚴(yán)謹(jǐn)，培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的求知態(tài)度．

案例9“同弧所對(duì)的圓周角相等”中的“弧”能否改成“弦”呢？同弦所對(duì)的圓周角一定相等嗎？

分析學(xué)生初學(xué)時(shí)易犯的毛?。?dāng)弦為直徑時(shí)，所對(duì)的圓周角都是直角；當(dāng)弦不是直徑時(shí)，弦所對(duì)的同一側(cè)的圓周角相等，而兩側(cè)的圓周角互補(bǔ)但不相等．學(xué)生在畫圖過程中，既要考慮到弦為直徑的特殊情形，也要想到弦的同側(cè)和異側(cè)的圓周角．對(duì)初學(xué)者而言，畫圖輔以分類思考都需要教師耐心等一等．

3.2有易漏現(xiàn)象的問題要等一等

案例10若mm-3=1，求m的值．

分析冪為1的情況不唯一，考慮不全容易漏掉某種情況．糾正這類問題需要學(xué)生課堂的積極參與和教師的延時(shí)評(píng)價(jià)．

解根據(jù)a0=1(a≠0)，得m=3；根據(jù)1n=1，得m=1；根據(jù)(-1)2 n=1(n為正整數(shù))，得m=-1.

評(píng)析融入了分類的思想，解這類題學(xué)生易出現(xiàn)顧此失彼的現(xiàn)象．讓學(xué)生有條理的分類思考，“還有其他的情況嗎？還有做補(bǔ)充的嗎？”不斷追問回答的學(xué)生，讓他們自己說出漏解的原因，補(bǔ)全答案．

3.3對(duì)虛設(shè)條件現(xiàn)象的剖析要等一等

不正確的潛在假設(shè)是基于一種不正確的心理勢(shì)態(tài)(多為消極的思維定勢(shì))的誤導(dǎo)，對(duì)事情缺乏細(xì)致、準(zhǔn)確的理解而做出的知覺性判斷．

案例11若一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為3，4，x，則使此三角形為直角三角形時(shí)，x的值是____．

錯(cuò)解：x=5．

錯(cuò)解剖析邊長(zhǎng)x有可能是斜邊，有可能是直角邊．這些學(xué)生將邊長(zhǎng)x視為斜邊(而這不是題中的已知條件)，遺漏了直角邊長(zhǎng)的可能性．將x視為斜邊，是受勾股數(shù)3、4、5思維定勢(shì)的影響所致．

錯(cuò)解“展示”中等一等．錯(cuò)解展示中，讓學(xué)生畫出錯(cuò)誤的地方，并指出錯(cuò)在哪里．

案例12如圖10，已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線EF與邊AD、BC分別交于E、F，求證四邊形AFCE是菱形．

誤解“展示”∵對(duì)角線AC垂直平分EF，∴∠AOF=∠COE=90°，AO=CO，OE=OF(注：題設(shè)是這樣的嗎？是“誰”平分“誰”？)．

∴△AOF≌△COE．∴AF=CE． 同理，得AE=CF．∴四邊形AFCE是平行四邊形．

∵AC⊥ EF，∴ 四邊形AFCE是菱形．

3.4隨意類比公式、法則造成錯(cuò)誤時(shí)等一等

采用類比的方法，就有可能較快地從舊知獲取新知．但由類比得到的結(jié)論是否可靠還需要論證，否則，隨意類比容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．

錯(cuò)解剖析由于類比單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，臆造了一個(gè)單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的法則所致．事實(shí)上，這個(gè)法則是不存在的．

評(píng)析讓學(xué)生舉出反例，來駁倒由所謂的類比得到的公式，事實(shí)讓學(xué)生“心服口服”，需要給學(xué)生反省的時(shí)間，要等一等．

華中師范大學(xué)郭元祥教授在《教育是慢的藝術(shù)》一文中指出：“教育，是一種慢的藝術(shù)．慢，需要平靜和平和；慢，需要細(xì)致和細(xì)膩；慢，更需要耐心和耐性．”教育，作為一種慢的藝術(shù)，需要留足等一等的空間和時(shí)間，需要有舒緩的節(jié)奏．學(xué)會(huì)等，你的心中就裝下了每名學(xué)生；學(xué)會(huì)等，等出了學(xué)生的學(xué)習(xí)樂趣，等出了學(xué)生“憤”、“悱”后閃現(xiàn)的智慧火花，等到的“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的驚喜與沖動(dòng)！

1劉家良. 解題中常見的7種錯(cuò)誤現(xiàn)象.中國(guó)數(shù)學(xué)教育(初中版)，2012(11)

2016-05-23)