葉軍

巧用整體代入法求代數(shù)式的值

葉軍

學(xué)習(xí)了整式乘法以后，對(duì)于多項(xiàng)式的條件求值問(wèn)題，有時(shí)可以考慮使用“整體代入”的方法消元或降次，繞開(kāi)了求出未知數(shù)的過(guò)程，往往能事半功倍.本文通過(guò)一些典型的例子說(shuō)明這一解題手法.

例1已知x2-2x=1，求（x-1）（3x+1）-（x+ 1）2的值.

解：（x-1）（3x+1）-（x+1）2=3x2-2x-1-x2-2x-1=2x2-4x-2=2（x2-2x）-2=2×1-2=0.

【點(diǎn)評(píng)】式子x2-2x=1中，左邊是二次式，右邊是0次式（常數(shù)項(xiàng)），我們先化簡(jiǎn)原式，當(dāng)含有x的式子以x2-2x作為整體出現(xiàn)時(shí)，就可以用1替換，從而實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)求值的目的，我們把它稱為“整體代入法”.用整體代入法可以快速降低整式的次數(shù)，實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)求值.

例2已知x+y=5，xy=3，求（x2+1）（y2+1）.

【分析】若要求出x和y的值再代入計(jì)算，目前有困難，不妨考慮整體代入法.

解：（x2+1）（y2+1）=x2y2+（x2+y2）+1=10+ （x2+y2）=10+（x+y）2-2xy=10+25-6=29.

【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)算過(guò)程中，我們使用了x2+y2= （x+y）2-2xy這個(gè)等式，它是由完全平方公式變形而來(lái)的.

例3已知a+b=1，a2+b2=2，求：（1）a3+ b3；（2）a4+b4；（3）a7+b7.

解：（1）a3+b3=（a+b）（a2+b2）-ab（a+b）= 2-ab，

【點(diǎn)評(píng)】首先要把每個(gè)式子變形，以便整體代入.請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)體會(huì)每個(gè)式子是怎么“湊出來(lái)”的，從中感受等式變形的基本手法.

例4已知m2-5m-1=0，求2m2-5m+.

解1：因?yàn)閙2-5m-1=0，所以m2-1=5m，兩邊同除以m得m-=5，進(jìn)而可得m2+= 25+2=27，

【點(diǎn)評(píng)】本題的特殊之處在于，式子中的字母出現(xiàn)在分母中，為此，解法1在計(jì)算之前做了一點(diǎn)變形，請(qǐng)同學(xué)們自習(xí)體會(huì)這樣做的好處.兩種解法都體現(xiàn)了此類求值問(wèn)題的“降次”思想.

例5 已知a2=a+1，求a5-5a+2.

解：因?yàn)閍4=（a+1）2=a2+2a+1=3a+2，

所以a5-5a+2=a（a4-5）+2=a（3a+2-5）+ 2=3（a2-a）+2=3+2=5.

【點(diǎn)評(píng)】同學(xué)們不妨自行嘗試一種“代入、降次”的方法，自己的方法總是最好的.

例6 已知a+2b+3c=0，a-2b+4c=20，求a+10b+c的值.

解2：a+10b+c=3（a+2b+3c）-2（a-2b+4c）=3×0-2×20=-40.

【點(diǎn)評(píng)】解法2是整體代入，與解法1相比，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單很多，值得借鑒.

練習(xí)：

1.已知x2-5x=14，求（x-1）（2x-1）-（x+ 1）2+2的值.

2.已知x2+x=，求64x4+15x3+10x2的值.

3.已知a+b=1，求a3+b3+3ab.

參考答案

1.162.13.1

（作者單位：江蘇省南京師大附中江寧分校）