宋新陽

“證明”與中考

宋新陽

同學(xué)們，本章的學(xué)習(xí)對(duì)于數(shù)學(xué)體系的形成是非常重要的，因而各地的中考對(duì)它是很“關(guān)照”的.現(xiàn)列舉數(shù)例，大家共享：

一、考查命題或命題真假的判斷

1.（2015·長沙）下列命題中，為真命題的是（）.

A.六邊形的內(nèi)角和為360度

B.多邊形的外角和與邊數(shù)有關(guān)

C.矩形的對(duì)角線互相垂直

D.三角形兩邊之和大于第三邊

【分析】根據(jù)六邊形的內(nèi)角和、多邊形的外角和、矩形的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系判斷即可.

解：A.六邊形的內(nèi)角和為720°，錯(cuò)誤；

B.多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，都等于360°，錯(cuò)誤；

C.矩形的對(duì)角線相等，錯(cuò)誤；

D.三角形的兩邊之和大于第三邊，正確.

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假性，是易錯(cuò)題.注意對(duì)六邊形的內(nèi)角和、多邊形的外角和、矩形的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系的準(zhǔn)確掌握.（矩形的性質(zhì)八年級(jí)將詳細(xì)地進(jìn)行學(xué)習(xí)）

2.（2015·慶陽）已知三條不同的直線a、b、c在同一平面內(nèi)，下列四條命題：

①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；

②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；

③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；

④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.

其中是真命題的是__________.（填寫所有真命題的序號(hào)）

【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案.

解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命題，故①正確；

②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命題，故②正確；

③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命題，故③錯(cuò)誤；

④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命題，故④正確.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫作假命題，難度適中.

二、考查平行線的性質(zhì)和判定

1.（2015·聊城）直線a、b、c、d的位置如圖1所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于（）.

A.58° B.70°C.110°D.116°

【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行這一定理可知a∥b，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可解答.

圖1

圖2

解：如圖2，∵∠1=∠2=58°，∴a∥b，∴∠3+∠5=180°，

即∠5=180°-∠3=180°-70°=110°，

∴∠4=∠5=110°，故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

2.（2015·泰州）如圖3，直線l1∥l2，∠α= ∠β，∠1=40°，則∠2= ______.

圖3

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，由l1∥l2得∠3=∠1=40°，再根據(jù)平行線的判定，由∠α=∠β得AB∥CD，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠2+∠3=180°，再把∠1=40°代入計(jì)算即可.

解：如圖4，延長AE交l2于B，

圖4

∵l1∥l2，∴∠3=∠1=40°，

∵∠α=∠β，∴AB∥CD，

∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-∠3=180° -40°=140°.故答案為140°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和平行線的判定.定理1：兩直線平行，同位角相等.定理2：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).定理3：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.定理4：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

三、考查平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和與垂直等知識(shí)的綜合應(yīng)用

1.（2015·常州）如圖5，BC⊥AE于點(diǎn)C，CD∥AB，∠B=40°，則∠ECD的度數(shù)是（）.

A.70° B.60°

C.50°D.40°

圖5

【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠DCB=∠ABC.

由垂直定義得∠DCB+∠ECD=90°，從而∠ECD=∠ECB-∠DCB，

可得出答案.

解：∵CD∥AB，∴∠ABC=∠DCB=40°，

∵BC⊥AE，∴∠ECB=90°，

∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=90°-40° =50°，故選C.

本題主要考查了平行線的性質(zhì)與垂直的定義

2.（2015·宜昌）如圖6，AB∥CD，F(xiàn)E⊥DB，垂足為E，∠1=50°，則∠2的度數(shù)是（）.

A.60° B.50° C.40° D.30°

圖6

【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠D的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

解：∵FE⊥DB，∵∠DEF=90°.

∵∠1=50°，∴∠D=90°-50°=40°.

∵AB∥CD，∴∠2=∠D=40°.故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，垂直的定義，直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

四、考查平行線的知識(shí)與簡單實(shí)物的結(jié)合（如直角三角形，長方形）

1.（2015·湖北）如圖7，將一塊含有30°角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在矩形直尺的一組對(duì)邊上.如果∠2=60°，那么∠1的度數(shù)為（）.

A.60° B.50°C.40°D.30°

圖7

【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠3= 30°+∠1，由于平行線的性質(zhì)即可得到∠2= ∠3=60°，即可解答.

解：如圖8，

圖8

∵∠3=∠1+30°，∵AB∥CD，

∴∠2=∠3=60°，

∴∠1=∠3-30°=60°-30°=30°.

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì).也利用了三角形外角性質(zhì)和垂直的定義.

2.（2015·鹽城）一塊等腰直角三角板與一把直尺如圖9放置，若∠1=60°，則∠2的度數(shù)為（）.

A.85° B.75°C.60°D.45°

圖9

【分析】首先根據(jù)∠1=60°，判斷出∠3=∠1=60°，進(jìn)而求出∠4的度數(shù)；然后根據(jù)對(duì)頂角相等，求出∠5的度數(shù)，再根據(jù)∠2=∠5+∠6，求出∠2的度數(shù)為多少即可.

解：如圖10，∵∠1=60°，

∴∠3=∠1=60°，

∴∠4=90°-60°=30°，

∵∠5=∠4，∴∠5=30°，

∴∠2=∠5+∠6=30°+45°=75°.

故選：B.

圖10

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等、三角形外角的性質(zhì)和對(duì)等腰直角三角板的認(rèn)識(shí)，較為綜合.

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