樓智美　王元斌　謝志堃

1. 紹興文理學(xué)院物理系, 紹興 312000; 2. 紹興文理學(xué)院數(shù)學(xué)系, 紹興 312000;? E-mail: louzhimei@usx.edu.cn

?

典型微擾力學(xué)系統(tǒng)的近似Lie對(duì)稱(chēng)性、近似Noether對(duì)稱(chēng)性和近似Mei對(duì)稱(chēng)性

樓智美1，?王元斌2謝志堃1

1. 紹興文理學(xué)院物理系, 紹興 312000; 2. 紹興文理學(xué)院數(shù)學(xué)系, 紹興 312000;? E-mail: louzhimei@usx.edu.cn

利用3種近似對(duì)稱(chēng)性方法(近似Lie對(duì)稱(chēng)性法、近似Noether對(duì)稱(chēng)性法和近似Mei對(duì)稱(chēng)性法)研究典型微擾力學(xué)系統(tǒng)的一階近似對(duì)稱(chēng)性和近似守恒量。結(jié)果表明, 利用近似Lie對(duì)稱(chēng)性法找到的6個(gè)一階近似對(duì)稱(chēng)性和近似守恒量與利用近似Noether對(duì)稱(chēng)性法找到的相同, 而利用近似Mei對(duì)稱(chēng)性法只能找到其中5個(gè)一階近似對(duì)稱(chēng)性和近似守恒量。

微擾力學(xué)系統(tǒng); 近似Lie對(duì)稱(chēng)性; 近似Noether對(duì)稱(chēng)性; 近似Mei對(duì)稱(chēng)性; 近似守恒量

北京大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 52, No. 4 (July 2016)

分析力學(xué)中研究力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性與守恒量有3種對(duì)稱(chēng)性方法[1–2]: Lie對(duì)稱(chēng)性法、Noether 對(duì)稱(chēng)性法和Mei對(duì)稱(chēng)性法。引進(jìn)群無(wú)限小變換, 微分方程在此變換下保持不變?yōu)?Lie 對(duì)稱(chēng)性, 哈密頓作用量在此變換下保持不變?yōu)?Noether 對(duì)稱(chēng)性, 力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)函數(shù)在此變換下仍然滿足運(yùn)動(dòng)方程為Mei對(duì)稱(chēng)性。事實(shí)上, 許多實(shí)際力學(xué)系統(tǒng)的某些參數(shù)常常會(huì)隨著位移、速度和時(shí)間的變化發(fā)生微小的變化, 即力學(xué)系統(tǒng)受到微擾作用, 這樣的力學(xué)系統(tǒng)稱(chēng)為微擾力學(xué)系統(tǒng)。此類(lèi)系統(tǒng)的近似對(duì)稱(chēng)性和近似守恒量研究對(duì)于研究力學(xué)系統(tǒng)的特性至關(guān)重要。目前, 研究微擾力學(xué)系統(tǒng)近似對(duì)稱(chēng)性與近似守恒量有兩種近似對(duì)稱(chēng)性法: 近似 Lie 對(duì)稱(chēng)性法[3]和近似Noether 對(duì)稱(chēng)性法[4]。引進(jìn)近似的群無(wú)限小變換, 微分方程在此變換下近似保持不變?yōu)榻?Lie 對(duì)稱(chēng)性; 哈密頓作用量在此變換下近似保持不變則為近似 Noether 對(duì)稱(chēng)性, 所得的守恒量為近似守恒量。

近年來(lái), 關(guān)于常微分方程、偏微分方程近似對(duì)稱(chēng)性和近似守恒量的研究已取得很多成果[3–16], 文獻(xiàn)[3–14]采用的方法都是近似 Lie 對(duì)稱(chēng)性法或近似Noether對(duì)稱(chēng)性法, 其中文獻(xiàn)[3–11]側(cè)重近似對(duì)稱(chēng)性理論的研究, 文獻(xiàn)[12–14]側(cè)重近似對(duì)稱(chēng)性理論的實(shí)際應(yīng)用, 文獻(xiàn)[15]提出用直接積分法求近似守恒量的方法, 文獻(xiàn)[16]將直接積分法應(yīng)用于求二階近似守恒量。但是, 到目前為止, 還沒(méi)有建立用近似Mei對(duì)稱(chēng)性研究近似守恒量的理論, 關(guān)于3個(gè)近似對(duì)稱(chēng)性理論相互關(guān)系方面也沒(méi)有深入的研究。事實(shí)上, 近似Lie對(duì)稱(chēng)性法和近似Noether對(duì)稱(chēng)性法是在Lie對(duì)稱(chēng)性法和Noether對(duì)稱(chēng)性法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的, 那么在Mei對(duì)稱(chēng)性法的基礎(chǔ)上也可以建立相應(yīng)的近似Mei對(duì)稱(chēng)性法, 即引進(jìn)近似的群無(wú)限小變換, 力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)函數(shù)在此變換下近似滿足運(yùn)動(dòng)方程為近似Mei對(duì)稱(chēng)性。

本文分析近似Lie對(duì)稱(chēng)性、近似Noether對(duì)稱(chēng)性和Mei對(duì)稱(chēng)性理論, 討論3種對(duì)稱(chēng)性間的關(guān)系,并以頻率比為2:1的弱非線性耦合諧振子為例, 研究系統(tǒng)的一階近似對(duì)稱(chēng)性和近似守恒量。

1　近似Lie對(duì)稱(chēng)性、近似Noether對(duì)稱(chēng)性和近似Mei對(duì)稱(chēng)性理論

1.1近似Lie對(duì)稱(chēng)性理論［3］

具有n個(gè)自由度的微擾Lagrange力學(xué)系統(tǒng), 其 Lagrange 函數(shù)可以表示為, 其中為廣義坐標(biāo),為廣義速度, 01ε＜?為微擾系數(shù)。微擾 Lagrange 力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可以表示為

方程(1)可簡(jiǎn)寫(xiě)為

則可求出所有的廣義加速度:

引進(jìn)近似的群無(wú)限小變換

其中s=1, 2, …, n, δ為無(wú)限小參數(shù), τ 和ξs為無(wú)限小變換生成元。式(5)的無(wú)限小生成元向量為

式(6)的一次擴(kuò)展為

二次擴(kuò)展為

式(5)~(8)中,

其中s=1, 2, …, n, k為微擾項(xiàng)的階數(shù)。

運(yùn)動(dòng)微分方程(1)的k階近似Lie對(duì)稱(chēng)性是指式(4)在近似的群無(wú)限小變換(式(5))下近似保持不變[3], 即

若存在規(guī)范函數(shù)

滿足

則系統(tǒng)存在k階近似守恒量

且

滿足

1.2近似Noether對(duì)稱(chēng)性理論

近似Noether 對(duì)稱(chēng)性[4]指在近似的群無(wú)限小變換(式(5))下, 哈密頓作用量在此變換下近似保持不變, 即則稱(chēng)無(wú)限小變換(式(5))為近似Noether對(duì)稱(chēng)變換。

若無(wú)限小生成元(式(9))和規(guī)范函數(shù)(式(11))滿足確定方程(12), 則存在相應(yīng)的近似守恒量(式(14))。

將式(9)和(11)代入式(12), 并比較式(12)兩邊的系數(shù), 可求得無(wú)限小生成元τ 和ξs以及規(guī)范函數(shù)G。將 Lagrange 函數(shù)L及求得的無(wú)限小生成元τ 和ξs以及規(guī)范函數(shù)G代入式(14), 可求得系統(tǒng)的近似守恒量I。

1.3近似Mei對(duì)稱(chēng)性理論

假設(shè)經(jīng)無(wú)限小變換(5)后, 系統(tǒng)的 Lagrange 函數(shù)變成*L:如果用變換后的 Lagrange 函數(shù)*L代替變換前的L時(shí), 方程(2)的形式近似保持不變, 即

那么稱(chēng)這種不變性為系統(tǒng)的k階近似Mei對(duì)稱(chēng)性。

將式(17)代入式(18), 忽略2δ及更高階小量,并利用式(2), 得到

對(duì)于微擾Lagrange力學(xué)系統(tǒng)(式(2)), 如果無(wú)限小生成元,sτξ滿足方程(19), 則相應(yīng)的近似不變性為系統(tǒng)的k階近似Mei對(duì)稱(chēng)性。方程(19)稱(chēng)為近似Mei對(duì)稱(chēng)性的判據(jù)方程。

若無(wú)限小生成元(式(9))和規(guī)范函數(shù)(11)滿足確定方程(12), 則存在相應(yīng)的近似守恒量(式(14))。

將 Lagrange 函數(shù)L代入式(19)并展開(kāi), 令ε0, ε1,…, εk的系數(shù)為0, 可求得無(wú)限小生成元 τ 和ξs。將所得生成元代入式(12), 并比較等式兩邊ε0, ε1,…, εk的系數(shù)可求得規(guī)范函數(shù)G。將Lagrange函數(shù)L及求得的無(wú)限小生成元τ 和ξs以及規(guī)范函數(shù)G代入式(14), 可求得系統(tǒng)的近似守恒量I。

1.43種對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系

若無(wú)限小生成元(式(9))滿足式(10), 說(shuō)明系統(tǒng)具有近似 Lie 對(duì)稱(chēng)性。若無(wú)限小生成元(式(9))滿足式(10)且滿足式(12), 并能找到相應(yīng)的規(guī)范函數(shù), 則說(shuō)明系統(tǒng)既具有近似 Lie 對(duì)稱(chēng)性, 又具有近似Noether 對(duì)稱(chēng)性, 找到的近似守恒量既是近似 Lie對(duì)稱(chēng)性守恒量, 又是近似Noether對(duì)稱(chēng)性守恒量。

若無(wú)限小生成元(式(9))滿足式(19), 則說(shuō)明系統(tǒng)具有近似Mei對(duì)稱(chēng)性。若無(wú)限小生成元(式(9))同時(shí)滿足式(10)和(19), 則說(shuō)明系統(tǒng)同時(shí)具有近似Lie對(duì)稱(chēng)性和近似Mei對(duì)稱(chēng)性。

若無(wú)限小生成元(式(9))同時(shí)滿足式(10), (12)和(19), 并能找到相應(yīng)的規(guī)范函數(shù), 則說(shuō)明系統(tǒng)同時(shí)具有近似 Lie 對(duì)稱(chēng)性、近似 Mei 對(duì)稱(chēng)性和近似Noether 對(duì)稱(chēng)性, 找到的近似守恒量既是近似Lie對(duì)稱(chēng)性守恒量, 又是近似 Mei 對(duì)稱(chēng)性守恒量, 也是近似Noether對(duì)稱(chēng)性守恒量。

2　典型微擾力學(xué)系統(tǒng)的一階近似對(duì)稱(chēng)性和一階近似守恒量

頻率比為 2:1 的弱非線性耦合諧振子的Lagrange函數(shù)[13]為

運(yùn)動(dòng)微分方程為

2.1一階近似Lie對(duì)稱(chēng)性與近似守恒量

研究系統(tǒng)的一階近似 Lie 對(duì)稱(chēng)性與近似守恒量。將式(21)代入式(10)并展開(kāi), 令的系數(shù)為0, 可求得如下6組生成元[13]:

說(shuō)明頻率比為 2:1 的弱非線性耦合諧振子系統(tǒng)具有6個(gè)一階近似Lie對(duì)稱(chēng)性。將式(20)和(22)代入式(12), 并比較等式兩邊的系數(shù), 可求得與上述6組生成元相應(yīng)的規(guī)范函數(shù)[13]:

將式(20), (22)和(23)代入式(14), 得到 6 個(gè)一階近似守恒量[13]:

其中,

2.2一階近似Noether對(duì)稱(chēng)性與近似守恒量

研究系統(tǒng)的一階近似 Noether 對(duì)稱(chēng)性與一階近似守恒量。式(22)表示的 6 組生成元和式(23)表示的 6 個(gè)規(guī)范函數(shù)均符合Noether恒等式(12), 因此,系統(tǒng)同時(shí)具有式(22)表示的 6 個(gè)一階近似 Noether對(duì)稱(chēng)性和式(24)表示的 6 個(gè)一階近似 Noether 守恒量。

2.3一階近似Mei對(duì)稱(chēng)性與近似守恒量

研究系統(tǒng)的一階近似Mei 對(duì)稱(chēng)性與一階近似守恒量。將式(20)代入式(19), 只能求得如下5組生成元:

這5組生成元與式(22)中的前5組相同。將式(20)和(26)代入式(12), 并比較等式兩邊的系數(shù),可求得與上述5組生成元相應(yīng)的規(guī)范函數(shù):

這5個(gè)規(guī)范函數(shù)與式(23)中前 5 個(gè)規(guī)范函數(shù)相同。

將式(20), (26)和(27)代入式(14), 得到5個(gè)一階近似守恒量:

這5個(gè)守恒量與(24)式中的前5個(gè)守恒量相同。由近似 Mei 對(duì)稱(chēng)性只能求得微擾力學(xué)系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)和4個(gè)平凡的一階近似守恒量, 不能求得穩(wěn)定的一階近似守恒量。

3　結(jié)論

本文闡述了 3 種近似對(duì)稱(chēng)性理論及其相互關(guān)系, 并用 3 種近似對(duì)稱(chēng)性理論研究了頻率比為2:1的弱非線性耦合諧振子的近似對(duì)稱(chēng)性與近似守恒量, 結(jié)果表明, 利用近似 Lie 對(duì)稱(chēng)性法和近似Noether對(duì)稱(chēng)性法能找到 6 個(gè)相同的一階近似對(duì)稱(chēng)性和近似守恒量。6 個(gè)近似守恒量中, 1個(gè)是系統(tǒng)的哈密頓函數(shù); 4 個(gè)是平凡的一階近似守恒量, 1個(gè)是穩(wěn)定的一階近似守恒量。用近似Mei對(duì)稱(chēng)性法只能找到5個(gè)一階近似對(duì)稱(chēng)性和近似守恒量, 且5個(gè)近似守恒量與用近似Lie對(duì)稱(chēng)性法和近似Noether對(duì)稱(chēng)性法找到的其中5個(gè)相同。用近似Mei對(duì)稱(chēng)性法只找到哈密頓函數(shù)和4個(gè)平凡的一階近似守恒量, 不能找到穩(wěn)定的一階近似守恒量。結(jié)果說(shuō)明,系統(tǒng)要具有近似Mei對(duì)稱(chēng)性的條件更嚴(yán)。

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Approximate Lie Symmetries， Approximate Noether Symmetries and Approximate Mei Symmetries of Typical Perturbed Mechanical System

LOU Zhimei1，?， WANG Yuanbin2， XIE Zhikun1
1. Department of Physics, Shaoxing University, Shaoxing 312000; 2. Department of mathematics, Shaoxing University, Shaoxing 312000; ? E-mail: louzhimei@usx.edu.cn

Three methods, which are approximate Lie symmetry method, approximate Noether symmetry method and approximate Mei symmetry method, are adopted to study the first order approximate symmetries and approximate conserved quantities of a typical perturbed mechanical system. Six identical first order approximate symmetries and approximate conserved quantities of the typical perturbed mechanical system are obtained by approximate Lie symmetry method and approximate Noether symmetry method, but only five of them can be obtained by approximate Mei symmetry method.

perturbed mechanical system; approximate Lie symmetry; approximate Noether symmetry; approximate Mei symmetry; approximate conserved quantity

O320

10.13209/j.0479-8023.2016.080

國(guó)家自然科學(xué)基金(11472177)資助

2015-10-09;

2016-02-13; 網(wǎng)絡(luò)出版日期: 2016-07-14