劉才山

北京大學(xué)工學(xué)院， 北京 100871； E-mail: liucs@pku.edu.cn

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分析動(dòng)力學(xué)中的基本方程與非完整約束

劉才山

北京大學(xué)工學(xué)院， 北京 100871； E-mail: liucs@pku.edu.cn

對(duì)于受約束的系統(tǒng)， 分析動(dòng)力學(xué)主要基于 d'Almbert-Lagrange 原理、Gauss 原理、Jourdian 原理和Hamilton原理等， 利用虛位移限制方程， 建立包含乘子的動(dòng)力學(xué)基本方程， 或利用約束嵌入的方式， 降低系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的維數(shù)。作者系統(tǒng)回顧分析動(dòng)力學(xué)發(fā)展歷程， 對(duì)一些基本概念， 如虛位移、理想約束、Lagrange乘子與約束力之間的關(guān)系等， 給出詮釋。

非完整約束； 力學(xué)基本原理； 虛位移； 理想約束

北京大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

在分析動(dòng)力學(xué)中， 物體之間的相互作用通過力和約束這兩個(gè)基本元素來表達(dá)［1］?；诟黝惲W(xué)基本原理， 通過分析系統(tǒng)的能量函數(shù)（動(dòng)能、勢(shì)能、內(nèi)/外力所做的功等）， 或者對(duì)具有特定物理意義的泛函進(jìn)行變分運(yùn)算， 形成具有統(tǒng)一格式的動(dòng)力學(xué)建模范式。這一理論框架充分利用約束力不做功的性質(zhì)， 極大地簡(jiǎn)化了模型的復(fù)雜性， 并且給深刻揭示自然規(guī)律以及發(fā)展對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)理論帶來重要的影響。

回顧分析動(dòng)力學(xué)的發(fā)展歷史， 容易發(fā)現(xiàn)其理論體系的建立與對(duì)約束性質(zhì)的討論緊密相關(guān)。早期建立的d'Almbert-Lagrange Principle （DLP）主要處理一類只包含幾何約束的力學(xué)系統(tǒng)［2］。Hertz［3］首次認(rèn)識(shí)到， 特定條件下的相互作用需要定義在速度或加速度水平上的非完整約束方程來表示。圍繞非完整系統(tǒng)， 分析動(dòng)力學(xué)形成了各種各樣的基本理論和方法。這些理論和方法存在細(xì)微差異， 并在不同程度上影響著非完整力學(xué)理論的完備性［4-5］。

系統(tǒng)地梳理200多年來分析動(dòng)力學(xué)所取得的豐碩成果并非易事， 關(guān)于分析動(dòng)力學(xué)發(fā)展史較為系統(tǒng)的描述可以參閱文獻(xiàn)［5-10］及其所引用文獻(xiàn)。大體上， 分析動(dòng)力學(xué)理論體系的建立主要基于如下力學(xué)原理:

1） DLP 原理。在處理靜力學(xué)問題的虛功（虛位移）原理（Bernoulli原理）基礎(chǔ)上， 結(jié)合d'Almebert動(dòng)力學(xué)普遍方程， DLP原理建立了受約束力學(xué)系統(tǒng)的分析基礎(chǔ)。對(duì)完整約束系統(tǒng)來說， DLP 不僅實(shí)現(xiàn)了降低動(dòng)力學(xué)方程維數(shù)的目的， 而且能夠利用乘子理論， 有效地表征與約束方程對(duì)應(yīng)的約束力。但是，當(dāng)將DLP拓展應(yīng)用到非完整系統(tǒng)時(shí)， 對(duì)如何理解非完整約束導(dǎo)致的虛位移限制［1］以及Lagrange乘子與實(shí)際約束力之間的關(guān)系［11］， 仍然存在諸多需要釋疑的地方［12-13］。

2） Gauss 原理［14］和Jourdain原理［15］。這兩類原理拓展了靜力學(xué)中關(guān)于虛位移的定義， 分別將虛變更定義為虛加速度和虛速度， 使得動(dòng)力學(xué)分析不是分析系統(tǒng)的虛功， 而是通過分析加速度能量（Gibss函數(shù)）和虛功率， 建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。這兩類原理可以不加區(qū)分地統(tǒng)一處理完整和非完整力學(xué)系統(tǒng)。

3） Hamilton 原理［16］。該原理的基本思想是將力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化過程， 歸納為尋求某個(gè)積分作用量滿足極值條件的動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題。但是， 應(yīng)用Hamilton 原理處理非完整約束系統(tǒng)時(shí)， 發(fā)現(xiàn)變分非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)（Vakonomic方程［17］）并不能與基于DLP所得到的動(dòng)力學(xué)方程相協(xié)調(diào)［4-5，18］。

隨著現(xiàn)代微分幾何理論的發(fā)展， 李群、流形、射叢和拓?fù)涞痊F(xiàn)代數(shù)學(xué)概念廣泛應(yīng)用于非完整系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的幾何分析中［19-20］。雖然這些理論豐富了非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)涵， 但其應(yīng)用范圍仍然局限于傳統(tǒng)描述方法能夠完全涵蓋的非完整系統(tǒng)。因此， 本文只針對(duì)各類經(jīng)典非完整動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行討論， 期望梳理各類方程建立的條件及其內(nèi)在聯(lián)系， 為非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模分析和控制提供指導(dǎo)作用。

1　約束的基本類型與虛位移限制方程

作為描述物體之間相互作用的基本要素之一，約束表現(xiàn)為多種不同的數(shù)學(xué)形式。我們限定約束方程是關(guān)于構(gòu)型空間或相空間中的連續(xù)函數(shù)， 時(shí)間t是約束方程的獨(dú)立變量。這一限定源于約束的本質(zhì)在于對(duì)物體之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的限制， 因此， 高于一階的微分約束方程通常不會(huì)出現(xiàn)在力學(xué)系統(tǒng)的約束描述中。

在討論約束類型之前， 需要對(duì)理想約束的概念予以澄清。

Goldstein［13］在其教科書中寫到: “This ［total work done by forces of constraint equal to zero］ is no longer true if sliding friction is present， and we must exclude such systems from our ［Lagrangian］ formulations”。類似的描述也可在 Pars［12］的經(jīng)典分析動(dòng)力學(xué)教科書中發(fā)現(xiàn): “There are in fact systems for which the principle enunciated ［D'Alembert's Principle］ … does not hold. But such system will not be considered in this book”。

以上經(jīng)典教科書對(duì)理想約束概念的解釋， 在一定程度上混淆了約束方程與物體真實(shí)相互作用之間的差異。事實(shí)上， 當(dāng)考慮到摩擦、材料黏性等非理想因素時(shí)， 部分相互作用不能被所定義的約束方程涵蓋， 這時(shí)需要將約束之外的相互作用與特定物理規(guī)律緊密關(guān)聯(lián)。對(duì)包含摩擦相互作用的界面， 給定的約束方程只是限定了法向相互作用滿足約束的性質(zhì)， 對(duì)界面的切向作用并沒有給出相應(yīng)的限制。這時(shí)， 不能將滑動(dòng)摩擦歸結(jié)為法向約束所定義的范疇，需要通過嵌入恰當(dāng)?shù)哪Σ炼桑?給出法向約束力與切向摩擦力之間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)。在這個(gè)意義上， 一旦給定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)應(yīng)滿足的約束方程， 如同主動(dòng)力所做的虛功為零一樣， 約束力對(duì)應(yīng)的虛功同樣為零。主動(dòng)力與約束力的區(qū)別在于， 主動(dòng)力具有明確的力函數(shù)關(guān)系， 而約束力需要與所規(guī)定的約束運(yùn)動(dòng)相協(xié)調(diào)。

約束的引入在很大程度上降低了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的復(fù)雜性， 根據(jù)約束方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)， 約束主要分為構(gòu)型約束和速度約束。在構(gòu)型空間中， 約束方程表現(xiàn)為以下兩種基本類型:

其中， 方程（1）為時(shí)不變構(gòu)型約束， 方程（2）為時(shí)變的構(gòu)型約束， （q1， q2， …， qn）為能夠完全描述系統(tǒng)構(gòu)型的廣義坐標(biāo)。

在相空間中， 約束方程為關(guān)于廣義坐標(biāo)的一階微分形式:

方程（3）和（4）分別表示一階線性齊次和線性非齊次約束方程。以上兩種類型統(tǒng)稱為 Pfaff 型約束。根據(jù)Frobenius定理［1］可以判定Pfaff型約束的完整性， 即判定表達(dá)為相空間內(nèi)的一階線性速度約束是否存在對(duì)應(yīng)的構(gòu)型約束。如果一階線性齊次約束方程存在對(duì)應(yīng)的完全可積形式， 則這類微分約束為完整約束； 否則， 該微分約束為非完整約束。經(jīng)典力學(xué)中由物體相互接觸引起的速度約束大都屬于Pfaff型， 但并不排除由于系統(tǒng)約束冗余等因素導(dǎo)致的如方程（5）所示的一階非線性速度約束。同樣， 在滿足一定數(shù)學(xué)條件下， 一組非線性約束組也可能呈現(xiàn)不同的大范圍性質(zhì)［21-22］。

圍繞以上不同的約束類型， 人們所關(guān)注的是這些約束如何引發(fā)構(gòu)型空間中虛位移的限制方程。這里， 首先明確經(jīng)典教科書中關(guān)于可能位移和虛位移的定義［23］。

可能位移滿足約束方程無窮小位移。

虛位移任意兩個(gè)可能位移之差。

對(duì)于方程（1）和（2）所示的定常和時(shí)變構(gòu)型約束，其對(duì)應(yīng)的虛位移限制方程可以直接轉(zhuǎn)換為對(duì)該約束方程的等時(shí)變分運(yùn)算。采用符號(hào)δ替換微分算符d來區(qū)分虛位移與實(shí)際位移， 由方程（1）和（2）可得到如下統(tǒng)一的虛位移限制方程:上式中的重復(fù)下標(biāo)表示愛因斯坦求和約定， 該規(guī)則適應(yīng)于以下所有的表達(dá)式。

對(duì)構(gòu)型約束進(jìn)行變分運(yùn)算得到的虛位移限制方程的方法， 并不能自然地推廣到表達(dá)在相空間中的速度約束方程中。例如， 對(duì)方程（3）所示的約束方程采用符合微分運(yùn)算法則的變分運(yùn)算， 可以得到

容易發(fā)現(xiàn)， 如果方程（3）所示的一階約束方程具有可積性， 則方程（7）中左端第一項(xiàng)系數(shù)必定為零。方程（7）退化為， 并可采用替換表示虛位移限制方程。當(dāng)方程（3）為非可積一階約束時(shí)，對(duì)應(yīng)的變分表達(dá)式（方程（7））不能給出有效的虛位移限制方程， 并由此引發(fā)是否能夠在非完整約束方程上進(jìn)行變分運(yùn)算的討論［24-27］。事實(shí)上， 以上討論主要源于人們對(duì)虛位移概念的模糊理解。

陳濱［1］注意到約束的局部微變性質(zhì)， 對(duì)可能位移和虛位移的概念給出新的定義。

可能位移在給定時(shí)刻、給定位型、給定時(shí)間微變間隔下， 滿足約束方程的位移。

虛位移在同一時(shí)刻、同一位型、且在相同時(shí)間間隔內(nèi)完成的可能位移之差。

以上虛位移概念涉及微變時(shí)間間隔內(nèi)的微小位移之差。因此， 當(dāng)確定由約束方程所帶來的虛位移限制時(shí)， 需要首先對(duì)約束方程求關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而確定在dt趨于零時(shí)， 由約束方程帶來的微小位移的變化。顯然， 如果對(duì)完整約束（1）和（2）求關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)， 然后遵循以上虛位移的定義， 可得到滿足式（6）的虛位移限制方程。對(duì) Pfaff 型一階線性約束來說， 基于新的虛位移概念， 對(duì)應(yīng)的虛位移限制方程為

對(duì)一階線性非完整約束來說， 方程（8）與errers［28］提出的虛位移限制方程一致。對(duì)一般的一階約束來說， 虛位移限制方程應(yīng)滿足下式［29］:

該方程對(duì)應(yīng)于經(jīng)典力學(xué)中的 Chetaev 條件［30］。Kir-getov［31］將一般非線性速度約束映射到加速度水平上， 證明了Chetaev條件的合理性。式（6）， （8）和（9）說明， 無論完整約束還是一階非完整約束， 約束所導(dǎo)致的虛位移限制方程總是定義在一個(gè)微變的線性空間中。該微變特性源于“在微變時(shí)間間隔dt內(nèi)所導(dǎo)致的可能位移之差”［1］， 并可以通過先求出約束方程關(guān)于時(shí)間的微分， 將虛位移限制方程表達(dá)在關(guān)于廣義坐標(biāo)的最高階微分上。

采用類似的概念， Li等［29］將虛位移定義為速度確定（velocity-determined）的虛位移， 分析了具有一階非線性非完整約束的 Apell-Hamel 系統(tǒng)， 發(fā)現(xiàn)基于Chetaev 非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程能夠與基于 Newton定律的矢量力學(xué)結(jié)果一致， 說明基于一階線性約束的Chetaev 虛位移限制方程適應(yīng)于一階非線性非完整約束。Flannery［5］采用類似文獻(xiàn)［1］的方法， 系統(tǒng)討論一階非完整約束誘導(dǎo)的虛位移限制方程， 并證明了 Chetaev 虛位移限制方程的合理性。Udwadia等［32］對(duì)虛位移的概念給出新的解釋， 并從另一個(gè)側(cè)面解釋了 Chetaev 虛位移限制方程適應(yīng)于一般的一階非線性非完整約束方程。事實(shí)上， 以上結(jié)論均可以在文獻(xiàn)［1］中得到更加嚴(yán)格的說明。

2　以DLP為基礎(chǔ)的各類非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

對(duì)N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)， DLP原理［1，33］表達(dá)為如下形式:其中， δri為質(zhì)點(diǎn)i的虛位移， miri為質(zhì)點(diǎn)i的慣性力，F(xiàn)i為質(zhì)點(diǎn)i受到的主動(dòng)力。DLP原理表征系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)過程的演化， 滿足慣性力和質(zhì)點(diǎn)受到的力所做的虛功和為零的條件。

從DLP原理出發(fā)， 將N質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)嵌入構(gòu)型約束后， 系統(tǒng)的構(gòu)型可以用一組獨(dú)立的廣義坐標(biāo) ［q1，q2， …， qn］ （n≤3N）充分表示。將質(zhì)點(diǎn)的受力分解為主動(dòng)力和約束力， 并考慮約束力不做功的性質(zhì)， 可得到Lagrange力學(xué)的基本方程:其中， T為系統(tǒng)的動(dòng)能， Qj為廣義力。

式（11）不要求虛位移坐標(biāo)是獨(dú)立的， 因此， 允許系統(tǒng)在該 q-空間中受到其他完整約束或非完整約束。一旦給定這些約束帶來的虛位移限制方程，結(jié)合式（11）， 可通過以下兩類方法建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程: 1） 利用乘子理論， 結(jié)合虛位移限制方程， 形成增廣的動(dòng)力學(xué)方程（方程的維數(shù)高于系統(tǒng)獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目）； 2） 將完整或非完整約束嵌入到動(dòng)能表達(dá)式中， 形成不包含乘子的降維動(dòng)力學(xué)模型。

2.1基于乘子理論的動(dòng)力學(xué)方程

假設(shè)系統(tǒng)受到m個(gè)式（4）所示的Pfaff型一階約束， 以及k個(gè)如式（5）所示的一般一階約束。假設(shè)虛位移限制方程分別滿足式（8）和（9）， 引入 Lagrange乘子， 并考慮虛位移的獨(dú)立性， 于是， 方程（11）退化為下式［1，31］:

方程（12）是包含（n+m+k）個(gè)獨(dú)立變量的n個(gè)二階微分方程組。結(jié)合（m+k）個(gè)一階線性和非線性微分方程組， 利用初始條件， 可以確定系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)以及（m+k）個(gè)Lagrange乘子。

基于乘子理論的DLP方程具有如下特點(diǎn)［34］。

1） 動(dòng)力學(xué)方程的維數(shù)由廣義坐標(biāo)所確定的構(gòu)型空間的維數(shù)n擴(kuò)展到（n+m+k）維。

2） 可以得到額外（m+k）個(gè) Lagrange 乘子的信息。

3） 對(duì)一階約束方程求一次關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)， 并通過代數(shù)運(yùn)算， 可以消去乘子， 得到 n 維的動(dòng)力學(xué)二階動(dòng)力學(xué)方程。

2.2非完整動(dòng)力學(xué)方程的約化

在分析動(dòng)力學(xué)理論發(fā)展中， 人們期望得到最約化的動(dòng)力學(xué)方程。雖然這類系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程在具體實(shí)現(xiàn)方式上存在很大不同， 但基本思路相同， 即如何將一階約束方程嵌入到系統(tǒng)的動(dòng)能表達(dá)式中， 從而達(dá)到不包含任何乘子， 并使系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的維數(shù)為最小的目的。在約化非完整動(dòng)力學(xué)時(shí)， 曾經(jīng)出現(xiàn)著名的Lindel?f錯(cuò)誤［35］。該錯(cuò)誤主要是直接將速度約束嵌入到動(dòng)能表達(dá)式， 并繼續(xù)沿用Lagrange第二類方程推導(dǎo)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。梅鳳翔［36］對(duì)Lindel?f錯(cuò)誤在分析動(dòng)力學(xué)發(fā)展中所起的作用給出了系統(tǒng)的闡述。

源于對(duì)線性速度約束應(yīng)具有線性虛位移限制條件的理解， Maggi［37-38］提出基于DLP原理建立一階線性非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的基本思路， 該方法在文獻(xiàn)［9］中得到系統(tǒng)闡述?；舅悸啡缦? 對(duì)于式（11）所表示的 Lagrange 基本方程， 當(dāng)該系統(tǒng)受到h個(gè)一階線性非完整約束時(shí)， Maggi 認(rèn)為可以選擇m （=n-h）個(gè)獨(dú)立的虛位移來完整地表述虛位移空間。假設(shè)q-空間中的虛位移與 m 個(gè)獨(dú)立的虛位移之間滿足如下的線性關(guān)系:

將上式代入式（11）， 并考慮δεi的獨(dú)立性， 可得到Maggi方程:

利用Maggi方程約化非完整動(dòng)力學(xué)方程時(shí)， 經(jīng)典分析動(dòng)力學(xué)理論針對(duì)一些特殊的一階線性約束系統(tǒng)， 得到一系列特殊的方程形式。最典型的是Chaplygin 系統(tǒng)［39-41］， 該系統(tǒng)規(guī)定非完整約束具有以下一階線性齊次形式:

在以上約束方程的限制下， 選擇前m個(gè)廣義坐標(biāo)構(gòu)造獨(dú)立的虛位移空間: δεi=δqi（i=1， m）。Chaplygin對(duì)系統(tǒng)做出進(jìn)一步的限定: 1） 速度約束方程中對(duì)應(yīng)jq˙的廣義坐標(biāo)qj為循環(huán)坐標(biāo)； 2） 系數(shù)Bji不包含循環(huán)坐標(biāo)變量和時(shí)間t。

在以上假設(shè)條件的基礎(chǔ)上， 將約束方程（14）嵌入到系統(tǒng)的動(dòng)能表達(dá)式中， 得到動(dòng)能函數(shù):

利用Maggi方程（13）， 結(jié)合動(dòng)能T 與 T*之間的顯式關(guān)系， 得到不包含乘子， 并使約化系統(tǒng)具有m維的Chaplygin方程:

按照類似的思路， 針對(duì)其他類型的一階線性約束和一階非線性約束， 可以得到 Woronetz 方程［42］及其推廣形式。類似地， 引入準(zhǔn)坐標(biāo)和準(zhǔn)速度的概念， 從 Maggi 方程出發(fā)， 得到具有約化形式的Boltzmann-Hamel （B-H）方程［43-44］。與Chaplygin方程（15）不同， Woronetz方程和B-H方程雖然不再引入Lagrange乘子， 但必須與非完整約束聯(lián)立， 才能完整地表達(dá)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)過程［45］。

基于 Maggi 方程建立的各類約化系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型丟失了約束力的信息。為克服這一困難，Papastavridis［46］和 Kurdila 等［47］討論如何從 Maggi方程出發(fā)， 得到約束方程對(duì)應(yīng)的約束力。

約化非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的另外一條途徑是基于 Lagrange-Volterra 方程［48-49］。假設(shè)n維q-空間的廣義速度可以用（m=n - v）個(gè)獨(dú)立的準(zhǔn)速度表示， 約束嵌入后的動(dòng)能表達(dá)式為非完整系統(tǒng)的 Lagrange-Volterra方程為

與從 Maggi 方程出發(fā)得到非完整系統(tǒng)約化方程的方法相比， Lagrange-Volterra 方程并沒有帶來計(jì)算上的便利， 但是該方程充分展示了將非完整約束嵌入到動(dòng)能表達(dá)式并對(duì)其進(jìn)行變分運(yùn)算時(shí)， 適用于完整系統(tǒng)虛位移的 d-δ 互易運(yùn)算法則不再成立。

3　基于Guass原理和Jourdian原理的非完整動(dòng)力學(xué)

不同于基于虛功概念的 DLP 原理， Gauss 和Jourdian分別從最小拘束和虛功率的概念， 建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。

在理想約束假定下， Gauss 認(rèn)為由 N 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的力學(xué)系統(tǒng)， 其真實(shí)運(yùn)動(dòng)滿足如下條件:

其中， Z為拘束函數(shù)，iim˙˙r為質(zhì)點(diǎn)i的慣性力， Fi為質(zhì)點(diǎn)受到的主動(dòng)力。在變分意義上Gauss原理可以表現(xiàn)為

上式中Δ表示對(duì)加速度的虛變分。

從 Gauss 原理出發(fā)， 非完整系統(tǒng)顯式動(dòng)力學(xué)方程主要是 Gibbis-Appel 方程［50］?？紤]n維q-空間中的非完整系統(tǒng)， 按照如下方式引入m個(gè)準(zhǔn)速度:

在準(zhǔn)坐標(biāo)下， Gibbis 定義如下的加速度能量函數(shù):

注意到

并且

其中，

利用Gauss原理， 在準(zhǔn)坐標(biāo)空間內(nèi)的Gibbis-Appell方程為

對(duì)完整系統(tǒng)或一階非完整系統(tǒng)來說， Kane等［51］發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)總滿足如下關(guān)系:

考慮以上關(guān)系， 則

同時(shí)，

將式（23）和（24）代入Gauss原理所表示的式（19）中， 并注意到準(zhǔn)坐標(biāo)的獨(dú)立性， Kane方程可表示為

比較式（21）和（25）容易發(fā)現(xiàn)， Gibbis-Appell方程與 Kane 方程具有完全等價(jià)的性質(zhì)。這兩組方程左、右端項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)慣性力和主動(dòng)力在準(zhǔn)坐標(biāo)πj定義的切向基向量的分量和。

Gibbis-Appell方程與Kane方程均從Gauss原理出發(fā)， 不需要引入任何乘子， 能夠處理完整和非完整約束系統(tǒng)， 并得到系統(tǒng)的顯式方程。Kane 方程的優(yōu)點(diǎn)在于避免了關(guān)于加速度能量函數(shù)的繁雜計(jì)算。但是， 以上兩類方程不能提供關(guān)于約束力的任何信息［52-53］。

20世紀(jì) 90 年代， Udwadia等［54］從Gauss原理出發(fā)， 得到 U-K 方程， 并指出該方程不僅能夠得到系統(tǒng)顯式的動(dòng)力學(xué)方程， 而且能夠?qū)ο嗷プ饔昧o出合理的度量?；舅悸啡缦? 假設(shè)在n維q-空間系統(tǒng)受到任意的c個(gè)完整或一階非完整約束。在這些約束方程連續(xù)可微的條件下， 約束方程可表達(dá)為二階線性微分約束:其中， （，，）qqt˙A為 c×n 矩陣， （，，）qqt˙b為 c 維列矩陣。

其中， M（q， t）為約束系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣。需要注意的是， 方程（27）在 q-空間中將廣義力直接分解為主動(dòng)廣義力和約束廣義力的形式， 并不能保證界面接觸約束處的滑動(dòng)摩擦力的有效嵌入。姚文莉等［55］對(duì)此給出合理的說明。

針對(duì)式（26）所示的二階線性微分約束方程， 定義其滿足如下的虛位移限制方程:

結(jié)合Moore-Penrose偽逆的數(shù)學(xué)概念， 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程在q-空間中可顯式表示為

上角標(biāo)+表示偽逆。對(duì)照式（27）， 系統(tǒng)的廣義約束力可顯式表示為

從以上過程中容易發(fā)現(xiàn)， U-K方程符合式（8）或（9）給定的虛位移限制方程， 只是采用矩陣偽逆的代數(shù)計(jì)算技巧， 將基于乘子的 DLP 方程中的 Lagrange乘子顯式表達(dá)出來。這一處理方法涉及繁雜的偽逆計(jì)算， 不能帶來任何計(jì)算上的便利， 但可有效地應(yīng)用于與軌跡規(guī)劃等相關(guān)的控制問題［56-57］。U-K 方程［54］對(duì)受約束運(yùn)動(dòng)提供了一個(gè)全新的解釋: 類似于一個(gè)自然選擇的反饋控制器的作用， 完整和非完整約束起到限制約束運(yùn)動(dòng)加速度的作用。雖然這一解釋有助于對(duì) Gauss 原理的理解， 但是 Barhorst［58］認(rèn)為 U-K 方程等價(jià)于基于 DLP 原理得到的約束動(dòng)力學(xué)方程， Foster［59］提供了有效的例子， 進(jìn)一步詮釋Barhorst的觀點(diǎn)。

Jourdian原理是從慣性力和外力的虛功率的角度， 理解完整和非完整系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)過程， 其定義如下:其中JiΔ˙r為關(guān)于速度的變分。從該原理出發(fā)， 通過約束嵌入的方式， 將對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的描述表達(dá)在獨(dú)立坐標(biāo)上， 得到完整和非完整約束系統(tǒng)的顯式方程。事實(shí)上， 基于 Gauss 原理的 Kane 方程， 可以更直接地從Jourdian原理去理解［60］。

Gauss 原理往往被認(rèn)為是更具普適性的分析動(dòng)力學(xué)的基本原理。也就是說， 從 Gauss 原理可以邏輯推演出 Jordian 原理和 DLP 原理。事實(shí)上，Gauss 原理與 Jordian 原理的等價(jià)性可以從以下角度理解: 當(dāng)將任意質(zhì)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的速度ir˙和加速度ir˙映射到壓縮的準(zhǔn)坐標(biāo)空間jπ時(shí)， Gauss原理和Jourdian原理意義下的變分分別為注意式（22）對(duì)任意的完整或一階非完整系統(tǒng)總成立。Gauss原理可以自然地退化到Jourdian原理的形式。雖然這兩類原理蘊(yùn)含的物理本質(zhì)明顯不同，但對(duì)滿足式（22）所表征的力學(xué)系統(tǒng)來說， 它們完全等價(jià)。

DLP 原理涉及對(duì)虛位移δri的定義。如果將虛位移定義為: 在同一時(shí)刻、同一位型、且在相同時(shí)間間隔內(nèi)完成的可能位移之差， 那么需要將系統(tǒng)所受到的約束方程（完整或非完整）先對(duì)時(shí)間微分運(yùn)算，然后確定滿足約束方程的虛位移限制方程?；谝陨咸撐灰贫x建立的 DLP 原理， 與 Gauss 原理和Jourdian 原理具有完全等價(jià)的形式。但是， 當(dāng)將虛位移的定義限定在構(gòu)型空間約束方程所允許的位移（即采用Bernoulli處理靜力學(xué)問題時(shí)建立的虛位移）時(shí)， 從 DLP 原理出發(fā)建立的非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程需要正確考慮 d-δ 交換差。關(guān)于各類微分變分原理及其建立的各類方程的等價(jià)性討論， 可參考文獻(xiàn)［61-62］。

4　Hamilton原理

Hamilton原理針對(duì)理想、完整、有勢(shì)的力學(xué)系統(tǒng)， 將系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)過程表達(dá)為某一積分作用量取駐值的變分問題。具體表達(dá)為

Hamilton原理可有效地拓展到受完整約束的力學(xué)系統(tǒng)， 將式（33）轉(zhuǎn)換為條件變分問題， 并得到從DLP 原理出發(fā)， 包含 Lagrange 乘子的動(dòng)力學(xué)方程的等價(jià)形式［4］。設(shè)系統(tǒng)受到如下的完整約束:

引入Lagrange乘子， 將約束方程嵌入到被積分作用量中， 則方程（33）變?yōu)?/p>

根據(jù)滿足 d-δ 互易規(guī)則的變分運(yùn)算， 從式（35）可以得到包含乘子和約束方程的動(dòng)力學(xué)方程:

容易發(fā)現(xiàn)， 方程（36）與基于 DLP 得到的包含乘子的完整約束系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程完全等價(jià)。Kozlov［63］直觀地認(rèn)為該積分變分原理同樣適應(yīng)于非完整動(dòng)力學(xué)， 并得到一組完全不同的動(dòng)力學(xué)方程，稱之為變分非完整系統(tǒng)或Vakonomic方程。

設(shè)系統(tǒng)受到s個(gè)如式（3）所示的Pfaff型一階齊次線性約束組:

Kozlov 將非完整系統(tǒng)系統(tǒng)歸結(jié)為對(duì)如下作用量的條件變分問題:根據(jù)滿足 d-δ 互易規(guī)則的變分運(yùn)算， 從式（38）可以得到包含乘子和約束方程的動(dòng)力學(xué)方程:

上式表明， 只有當(dāng)條件

成立時(shí)， 方程（39）能夠與基于 DLP 原理得到的乘子方程相一致， 否則， Vakonomic 方程不能得到與DLP方程一致的結(jié)果。

本質(zhì)上， Vakonomic 方程源于對(duì)包含非完整約束的廣義 Hamilton 積分作用量進(jìn)行了滿足 d-δ 互易法則的變分運(yùn)算。如同著名的 Lindelof 錯(cuò)誤，Kozlov［63］錯(cuò)誤地將非完整約束直接嵌入到積分作用量的變分運(yùn)算， 必然導(dǎo)致錯(cuò)誤的動(dòng)力學(xué)方程。

為使積分形式的變分原理適應(yīng)于非完整系統(tǒng)，出現(xiàn)對(duì)變分運(yùn)算規(guī)則的討論［64-65］， 如H?lder 變分法則［66］、Suslov變分法則［45］以及Kozlov 采用的Vakonomic變分等。H?lder變分規(guī)定對(duì)約束方程的變分滿足Chetaev 條件， 即， 不能直接對(duì)約束方程進(jìn)行變分運(yùn)算， 在此基礎(chǔ)上， 才允許 d-δ 互易法則應(yīng)用到積分形式的變分原理中。Suslov 變分允許約束方程嵌入到積分形式的變分原理， 即可以對(duì)約束方程進(jìn)行變分運(yùn)算， 但需要定義對(duì)應(yīng)的 d-δ 交換差。Vakonomic 變分在允許約束方程嵌入到積分形式的變分原理的同時(shí)， 要求 d-δ 互易法則同時(shí)成立。無論 H?lder 變分法則或 Suslov 變分， 都考慮了非完整約束特有的不可積性質(zhì)， 因此， 可得到正確的動(dòng)力學(xué)方程。然而， Vakonomic 變分不加區(qū)分地處理完整和非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程， 必然導(dǎo)致錯(cuò)誤的動(dòng)力學(xué)方程。如同Lindelof錯(cuò)誤促使人們深入認(rèn)識(shí)非完整系統(tǒng)的Lagrange力學(xué)一樣， 錯(cuò)誤的Vakonomic力學(xué)使人們認(rèn)識(shí)到積分形式的Hamilton原理并不適用于非完整系統(tǒng)。也就是說， 受非完整約束的力學(xué)系統(tǒng)， 其動(dòng)力學(xué)演化過程并不遵從Lagrange積分作用量取駐值的條件［65］。

5　討論

自1788年Lagrange創(chuàng)立分析動(dòng)力學(xué)以來， 200多年的發(fā)展極大地豐富了分析動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)涵。由于分析非完整系統(tǒng)的角度不同， 出現(xiàn)了多種多樣的理論和方法。這些理論和方法大部分是協(xié)調(diào)兼容的， 但源于對(duì)虛位移概念理解上的差異， 也出現(xiàn)一些不協(xié)調(diào)的方法， 如 Vakonomic 方程。陳濱［1］關(guān)于虛位移微變空間的深刻理解， 合理地解釋了導(dǎo)致這些不協(xié)調(diào)性的原因。

本文系統(tǒng)梳理了基于DLP， Gauss， Jourdian，Hamilton等不同力學(xué)原理建立的各類非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程， 比較了各類方程的特點(diǎn)。這些方程都是從最一般的力學(xué)原理出發(fā)， 通過討論具有一般形式的完整和非完整約束， 揭示其動(dòng)力學(xué)的內(nèi)在演化規(guī)律， 因此都具有普適性。在分析具體的機(jī)械系統(tǒng)中的非完整力學(xué)問題時(shí)， 以下幾點(diǎn)值得重視。

1） 如同表征物體相互作用的力函數(shù)具有豐富的本構(gòu)特征方程一樣， 分析力學(xué)中表征物體相互作用的另一基本要素——約束， 同樣也具有豐富的表現(xiàn)形式。從分析物體之間相互作用的物理性質(zhì)出發(fā)， 理解約束方程的表現(xiàn)形式是值得關(guān)注的內(nèi)容。

2） 約束一定是理想的。一旦給定了物體之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律， 對(duì)應(yīng)的約束力虛功一定為零， 因?yàn)榧s束力的本質(zhì)代表物體滿足相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一對(duì)相互作用力。非光滑界面處的摩擦力， 只是不受約束方程限制的切向相對(duì)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的必然結(jié)果。因此， 接觸界面上的滑動(dòng)摩擦力不能歸結(jié)為給定運(yùn)動(dòng)約束方程導(dǎo)致的必然結(jié)果。

3） 基于不同原理得到的各類非完整系統(tǒng)約化動(dòng)力學(xué)方程， 雖然達(dá)到降低系統(tǒng)維數(shù)的目的， 但同時(shí)也導(dǎo)致了關(guān)于約束力信息的丟失。基于DLP建立包含乘子的Lagrange一般方程， 為分析接觸約束的真實(shí)作用力提供了有效的工具。

4） Vakonomic方程不能用來分析非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)。部分學(xué)者認(rèn)為 Vakonomic 方程可以用來處理受伺服約束的最優(yōu)控制問題， 這一觀點(diǎn)仍然值得存疑， 原因如下: 當(dāng)將力學(xué)系統(tǒng)的控制目標(biāo)等價(jià)為受非完整約束的力學(xué)系統(tǒng)時(shí)， 采用 Vakonomic 方程所確定的Lagrange乘子， 不一定保證與該乘子等效的控制輸入， 能夠產(chǎn)生符合控制目標(biāo)要求的運(yùn)動(dòng)軌線。

雖然非完整力學(xué)是一門略顯古老的學(xué)科， 但不同物理對(duì)象中可能展現(xiàn)出來的多種多樣的約束性質(zhì)， 必將為這門學(xué)科提供源源不斷的發(fā)展動(dòng)力， 并在不同程度上對(duì)非完整力學(xué)的基本理論產(chǎn)生影響?；A(chǔ)理論的進(jìn)展必定反饋到與之關(guān)聯(lián)的各個(gè)應(yīng)用學(xué)科， 并起到重要的推動(dòng)作用。

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The Fundamental Equations in Analytical Mechanics for Nonholonomic Systems

LIU Caishan

College of Engineering， Peking University， Beijing 100871； E-mail: liucs@pku.edu.cn

Analytical mechanics is established based on d'Almbert-Lagrange Principle， Gauss principle， Jourdian principle and Hamilton principle， to deal with the dynamics of mechanical systems subject to holonomic or nonholonomic constraints. The governing equation of the systems are derived either by introducing Lagrange's multipliers to adjoin with the limitation equations for the virtual displacements， or by directly eliminating the constraint equations to achieve minimal formulations. The author presents a survey for the history of analytical mechanics， and explains some basic concepts， such as virtual displacement， ideal constraint， and the correlations between the Lagrange multipliers and the real constraint forces.

nonholonomic constraints； basic principles； virtual displacements； ideal constraints

O316

10.13209/j.0479-8023.2016.082

國家自然科學(xué)基金（11132001， 11472011）資助

2015-11-23；

2016-03-20； 網(wǎng)絡(luò)出版日期: 2016-07-12