陳立群

1. 上海大學力學系, 上海 200444; 2. 上海大學上海市應用數(shù)學和力學研究所, 上海 200072; 3. 上海市力學在能源工程中的應用重點實驗室, 上海 200072; E-mail: lqchen@staff.shu.edu.cn

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軸向運動結構的能量關系和守恒量研究進展

陳立群

1. 上海大學力學系, 上海 200444; 2. 上海大學上海市應用數(shù)學和力學研究所, 上海 200072; 3. 上海市力學在能源工程中的應用重點實驗室, 上海 200072; E-mail: lqchen@staff.shu.edu.cn

綜述了軸向運動弦線和梁的能量關系和守恒量的研究進展。分別對于橫向線性振動、橫向非線性振動和耦合平面振動, 確定能量變化的關鍵量以及軸向運動結構總機械能的時間導數(shù), 結果表明總機械能不是常數(shù)。對于上述振動, 構造在振動過程中保持不變的守恒量, 可以用來證明直線平衡位形的穩(wěn)定性以及檢驗數(shù)值算法。最后提出若干有望取得進展的研究課題。

能量關系; 守恒量; 軸向運動弦線; 軸向運動梁; 非線性

北京大學學報（自然科學版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 52, No. 4 (July 2016)

軸向運動弦線、梁和板等結構可以作為多種工程系統(tǒng)的力學模型。這些工程系統(tǒng)包括動力傳送帶、磁帶、紙帶、紡織纖維、帶鋸、空中纜車索道、高樓升降機纜繩、單索架空索道等。因為軸向運動結構是典型的陀螺連續(xù)體, 系統(tǒng)動力學方程中存在由于科氏加速度而產生的時間和奇數(shù)階空間混合偏導數(shù)項, 所以對軸向運動結構的研究有重要理論意義。從 Aiken[1]和 Skutch[2]的先驅性工作開始,運動結構的研究已經有百余年歷史, 目前仍是活躍的研究領域, 近年來取得重要進展[3–5]。

機械能是力學系統(tǒng)運動的重要特征量, 從能量觀點分析是分析力學的特點[6]。關于運動結構的大量研究側重于分析運動結構在橫向振動過程中的能量變化。與靜態(tài)彈性結構自由振動能量守恒不同,即使在自由振動中, 運動彈性結構的能量也會發(fā)生變化, 此時, 借助分析力學中 Jacobi 積分的思路[7],可以構造守恒量。守恒量往往與對稱性相伴隨, 這也是分析力學研究的重要內容, 并且在離散力學系統(tǒng)中已經取得大量成果[8–9]。軸向運動結構的守恒量可以應用于穩(wěn)定性分析等, 本文將總結軸向運動弦線和梁的能量變化關系以及守恒量的研究進展。

1　運動結構的能量關系

兩端固定的弦線和兩端簡支和固支的梁, 不受橫向外激勵作用時, 在橫向振動時系統(tǒng)總機械能保持不變。在同樣的不動邊界條件下, 如果弦線或梁有軸向運動, 情形將發(fā)生變化。早期研究工作揭示了這種可能性, Chubachi[10]首先考察了軸向運動弦線能量的周期性變化。Miranker[11]導出勻速軸向運動弦線自由振動的機械能時間偏導數(shù), 并說明該偏導數(shù)通常不為零。Barakat[12]研究了軸向運動梁的能量變化, 尤其是支撐處的能量流動。Tabarrok等[13]的研究表明, 無軸向力時軸向運動梁的機械能是時間的周期函數(shù)。這些研究已經表明軸向運動弦線和梁的機械能隨時間變化。

Wickert等[14]系統(tǒng)地研究了軸向運動弦線和梁的能量變化關系, 首次明確了機械能的時間全導數(shù)和時間偏導數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。能量的全導數(shù)為能量的全局變化率, 偏導數(shù)為局部變化率, 全局變化率為局部變化率和單位長度機械能與軸向運動速度乘積在兩端邊界處的差值之和。他們還導出用軸向力、軸向速度等系統(tǒng)參數(shù)和橫向位移及其空間導數(shù)的端點值表示的能量變化率, 說明總機械能在振動過程中不是常量。Wickert 等[14]還研究了軸向運動弦線和梁各個模態(tài)上的能量關系。Renshaw[15]用類似思路研究了兩類絞弦的能量關系, 說明軸向運動邊界的情形與靜止情形有本質上的不同。Renshaw等[16]進一步精確化了運動弦線和梁的總機械能概念, 區(qū)分了針對空間區(qū)域的 Euler 描述和針對弦線上質點的 Lagrange 描述, 并說明文獻[14]中導出的能量變化率所采用的實際為Lagrange描述。至此,在線性理論的框架內, 對運動弦線和梁的橫向振動過程中的能量變化已經有比較清晰的理解。

軸向運動弦線和梁的能量關系可以推廣到更為復雜的情形。Lee等研究了軸向運動弦線[17]、軸向運動梁和輸液管[18]的能量變化。他們考慮在邊界上作用有非保守力, 這樣, 在能量關系中就需要考慮邊界上力所做的功。他們從能量角度, 用行波方法確定了最優(yōu)阻尼系數(shù)以實現(xiàn)鎮(zhèn)定[17–18]。Lee等[19]還研究了受靜態(tài)質量–彈簧–阻尼振子橫向約束的軸向運動弦線中的能量傳遞, 通過計算弦線中行波在接觸約束前后的能量變化, 得到傳遞到約束上的能量。Zhu等[20]研究了變長度、帶軸向質量–彈簧–阻尼振子的軸向運動弦線和梁的能量關系, 并應用于穩(wěn)定性分析。

在軸向運動結構橫向線性振動理論的能量關系研究相對成熟之后, Chen 等[21]提出軸向運動弦線和梁在橫向非線性振動中的能量關系, 他們采用Euler 描述, 導出機械能時間變化率與系統(tǒng)參數(shù)和邊界值的關系。他們采用的弦線非線性橫向振動的模型是 Mote 模型(一種偏微分方程[22]), 而進一步的研究工作表明弦線 Kirchhoff 模型(一種偏微分–積分方程)更接近平面運動方程的結果[23]。Chen等[24]基于軸向運動弦線的 Kirchhoff 模型, 導出了能量時間變化率。

無論是Mote模型還是Kirchhoff模型, 都是結構平面振動向橫向振動的退化。Chen[25]研究了軸向運動弦線平面運動的能量關系?？紤]圖1所示軸向變速運動彈性弦線, 設密度為ρ、截面積為A、彈性模量為E、初始張力為P0的弦線, 以一致的速度沿軸向移動, 速度γ (t)是時間t的函數(shù)。在軸向坐標x處, 弦線的運動可以用弦線微段相對于以速度平動的空間參照系的軸向和橫向位移 u 和 v 來描述。系統(tǒng)總機械能為

其中, ε (x, t)為由于位移產生的應變

應用弦線平面運動的控制方程[26], 導出能量的時間變化率為

其中, Pu和Pv分別為弦線張力的軸向和側向投影:

單位長度能量定義為

此結果還可以推廣到弦線軸向、橫向和側向的三維運動[27]。軸向運動梁平面運動中也有類似的能量關系, 但需要考慮彎曲變形的能量[5]。

2　運動結構的守恒量及其應用

軸向運動結構能量不守恒, 其原因為軸向運動的存在導致系統(tǒng)動能不是速度的二次齊次式。借鑒分析力學中Jacobi廣義能量積分, 可以構造軸向運動結構到守恒量[7]。

在橫向線性振動的框架內, Miranker[11]構造了勻速軸向運動弦線自由振動 Euler 描述的守恒量。Renshaw 等[16]構造了軸向運動梁的 Euler 描述的守恒量以及軸向運動弦線和梁的 Lagrange 描述的守恒量。在非線性振動的Euler描述下, Chen等[21]構造了軸向運動弦線和梁橫向非線性振動中的守恒量, 其中, 弦線和梁的控制方程均是非線性偏微分方程。鑒于軸向運動弦線和梁橫向振動的偏微分–積分模型比偏微分模型更接近平面運動模型[23,28–29], Chen等基于軸向運動結構的偏微分–積分模型, 構造了軸向運動弦線[24]和梁的守恒量[30]。所構造的守恒量具有能量的量綱, 因此是非保守系統(tǒng)中的類能量守恒量[31]。

橫向運動的守恒量也可以推廣到平面運動。在前面所述的軸向運動弦線平面振動中, 若邊界處無橫向運動和軸向變形, 且軸向運動速度為常數(shù) c,則存在守恒量

其時間全導數(shù)為零。對于軸向、橫向和側向的三維運動的軸向運動弦線, 也存在相應的守恒量[27]。附加彎曲變形對應的變形能項后, 也可以構造類似的守恒量[5]。

為了形象展示能量的變化和守恒量的不變化,這里給出一個算例?？紤]彈性模量 E=7.8×106Pa和密度ρ=930 kg/m3的彈性弦線, 其截面積A=3.14×10–6m2, 長度 l=1 m, 初始張力P0=10 N。在軸向運動速度為 c=40 m/s 時, 系統(tǒng)的能量(不包括為常量的整體平動動能 ρAc2/2)和守恒量如圖2所示。

運動結構守恒量研究中, 一個值得關注的新領域是變長度弦線和梁的守恒量。Yang等基于一階Galerkin階段構造了軸向伸展梁[32]和收縮梁[33]的絕熱不變量。他們的結論是針對離散化系統(tǒng)得到的,對于原來的連續(xù)系統(tǒng), 相應結論是否成立, 還有待深入研究。

在軸向運動結構中, 守恒量可以應用于穩(wěn)定性分析。文獻[24]和[30]分別應用守恒量證明, 對于亞臨界速度, 軸向運動弦線和梁橫向非線性振動的直線平衡位形穩(wěn)定; 文獻[25]證明軸向運動弦線平面運動的直線平衡位形也穩(wěn)定。

守恒量還可以應用于軸向運動弦線仿真算法的檢驗。Chen 等分別利用基于靜態(tài)弦線模態(tài)的Galerkin方法[34]、基于Hermite函數(shù)的Galerkin方法[35]、對于空間變量的差分離散化[36]和對于空間和時間變量的差分離散化[37]幾類算法, 對仿真結果進行檢驗, 發(fā)現(xiàn)這些算法都能保證守恒量不變。

3　結論與展望

本文綜述了軸向運動結構能量關系和守恒量方面的研究進展。已有的研究工作建立了軸向運動結構橫向和平面運動中, 系統(tǒng)能量變化與邊界能量輸入的關系。這些關系表明, 即使對于固定邊界, 系統(tǒng)能量也不守恒。同時, 構造了相應的具有能量量綱的守恒量。

關于能量關系和守恒量, 還有一些值得深入研究的課題。

1) 更復雜的平動結構, 如板殼的能量關系和守恒量。例如, 面內運動板橫向振動已經取得若干進展[38], 但其能量關系和守恒量還沒有開展研究。

2) 能量關系和守恒量在運動結構穩(wěn)定性分析、數(shù)值結果檢驗以及數(shù)值離散格式和控制律設計等方面的應用。

3) 更深入的守恒量物理機理研究。目前所構造的守恒量都是基于時間均勻性的 Noether 對稱性的應用。近年來, 分析力學界在離散系統(tǒng)的對稱性和守恒量研究中取得重要的進展[9], 或許有助于深入理解運動結構守恒量的物理機理, 并有助于構造新的守恒量。

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Advances in Energetics and Conserved Quantities of Axially Moving Structures

CHEN Liqun
1. Department of Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200444; 2. Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200072; 3. Shanghai Key Laboratory of Mechanics in Energy Engineering, Shanghai University, Shanghai 200072; E-mail: lqchen@staff.shu.edu.cn

Progresses in investigations on energetics and conserved quantities are summarized. The key issue in energetics, the time-rate of the total mechanical energy of axially moving structures, is determined for linear transverse vibration, nonlinear transverse vibration, and coupled planer vibration. The result shows that the mechanical energy is not a constant. Conserved quantities are constructed so that the quantities remain unchanged during those vibrations. The conserved quantities can be used to prove stability of the straight equilibrium configurations and to check the numerical algorithms. Some promising topics are suggested for future research.

energetics; conserved quantity; axially moving string; axially moving beam; nonlinearity

O32

10.13209/j.0479-8023.2016.081

國家自然科學基金(11232009, 11572182)資助

2015-12-01;

2016-03-17; 網(wǎng)絡出版日期: 2016-07-12