蔡春雨，李鴻明，韓元春，薩仁高娃，程玉梅，苗秀娟，趙翠蘭

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028000)

由于弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)既可以鍛煉學(xué)生作圖能力、分析和解決問(wèn)題能力，又利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和探索精神，因此，對(duì)該實(shí)驗(yàn)的研究始終是教學(xué)研究的熱點(diǎn)之一[1-6]。利用弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置測(cè)量了弦線的波長(zhǎng)[7]和線密度[8]、懸掛固體的密度[9]和浸入液體的密度[10，11]。使用最小二乘法，origin或matlab對(duì)弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了一系列研究[7，12-16]。Mathstudio以其便捷、高效、專(zhuān)業(yè)的特點(diǎn)，已逐漸應(yīng)用在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)的教學(xué)領(lǐng)域[17-22]。盡管弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)如此重要，mathstudio又有這么多優(yōu)點(diǎn)，但是從未有學(xué)者將二者結(jié)合起來(lái)。在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教改背景下[23-25]，為了助力大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程改革，本文研究了mathstudio在驗(yàn)證弦振動(dòng)規(guī)律和基于弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)做進(jìn)一步測(cè)量方面的應(yīng)用，并與現(xiàn)有文獻(xiàn)結(jié)果做了對(duì)比分析。

1 弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)原理

在一根拉緊的弦線上，張力為T(mén)，線密度為ρ線，則沿弦線傳播的橫波應(yīng)滿(mǎn)足方程：

(1)

其中，x為波在傳播方向上的位置坐標(biāo)，y為弦線上各點(diǎn)的振動(dòng)位移；

(2)

假設(shè)弦線的振動(dòng)頻率為f，橫波波長(zhǎng)為λ，則波速理論值為：

u=λ·f

(3)

聯(lián)立式(2)與式(3)，得波長(zhǎng)：

(4)

上式可利用駐波原理得出。由駐波實(shí)驗(yàn)規(guī)律知，當(dāng)弦線兩個(gè)固定端之間距離L等于半波長(zhǎng)整數(shù)倍時(shí)，就能形成駐波，記為：

(5)

式中n為弦線上駐波的半波數(shù)。

2 Mathstudio在弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中的具體應(yīng)用

2.1 驗(yàn)證弦振動(dòng)規(guī)律的正確性

將式(4)兩邊取自然對(duì)數(shù)：

(6)

接下來(lái)，將分兩種情況來(lái)驗(yàn)證弦振動(dòng)規(guī)律。

1) 弦線線密度和振動(dòng)頻率不變情況下

采用文獻(xiàn)[14]中的研究數(shù)據(jù)，利用mathstudio，圖1顯示了弦線張力和波長(zhǎng)的自然對(duì)數(shù)的關(guān)系。

圖1 ρ線和f一定情況下，利用mathstudio擬合文獻(xiàn)[14]中l(wèi)nT～lnλ關(guān)系

從圖1中可以看出，mathstudio所擬合lnT～lnλ直線的斜率為0.497 592 14，與文獻(xiàn)[14]用最小二乘法所得結(jié)果一致；另外，本文所得結(jié)果具有更高精度，且相關(guān)系數(shù)更接近1，因此擬合效果更好。由于mathstudio僅反饋程序最后一行命令的結(jié)果，因此，在圖1的基礎(chǔ)上，圖2展示了文獻(xiàn)[14]中作圖所需的其他相關(guān)數(shù)據(jù)信息，與文獻(xiàn)[14]中結(jié)果相同。相比文獻(xiàn)[14]中用origin軟件繪圖的方式，用mathstudio計(jì)算文獻(xiàn)[14]中弦振動(dòng)相關(guān)數(shù)據(jù)的方法，更便捷、效率與精度更高。

2) 弦線線密度和張力不變情況下

在這種情況下，通過(guò)測(cè)量弦線在不同振動(dòng)頻率f下的波長(zhǎng)λ，并以lnf為橫坐標(biāo)、lnλ為縱坐標(biāo)，作lnf～lnλ圖像，若得一斜率值為-1的直線，則驗(yàn)證了式(4)中λ與f成反比的規(guī)律。

在T=49.720 N，ρ線固定的情況下，以文獻(xiàn)[16]中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，利用mathstudio擬合的lnf～lnλ關(guān)系，如圖3所示。容易看出：①圖3中擬合直線的斜率為1.023 478，非常接近1，擬合效果很好地驗(yàn)證了式(4)中λ與f成反比的規(guī)律；②在驗(yàn)證式(4)正確性方面，圖3比文獻(xiàn)[16]中使用Matlab軟件繪制的f～λ圖像更恰當(dāng)、更具說(shuō)服力。

圖2 在圖1基礎(chǔ)上，用mathstudio輸出繪制lnT～lnλ圖像所需數(shù)據(jù)

圖3 T=49.720 N，ρ線固定的情況下，利用mathstudio擬合文獻(xiàn)[16]中l(wèi)nf～lnλ關(guān)系

圖4 利用mathstudio直接計(jì)算文獻(xiàn)[7]中弦線波長(zhǎng)及其誤差

2.2 利用弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)做進(jìn)一步測(cè)量

基于弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，本節(jié)將展示如何利用mathstudio計(jì)算弦線波長(zhǎng)與線密度以及浸入液體和懸掛固體的密度。

1) 測(cè)量弦線波長(zhǎng)

本節(jié)利用mathstudio分別使用直接法和作圖法計(jì)算了弦線波長(zhǎng)，并將運(yùn)算結(jié)果與文獻(xiàn)[7]中結(jié)果做了對(duì)比分析。

(1) 直接計(jì)算弦線波長(zhǎng)

由第1節(jié)弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)原理知，弦線波長(zhǎng)可由式(4)和式(5)分別求出。以文獻(xiàn)[7]中數(shù)據(jù)為例，圖4展示了利用mathstudio直接計(jì)算弦線波長(zhǎng)及其相對(duì)誤差的全部過(guò)程。本文所得結(jié)果與文獻(xiàn)[7]中的結(jié)果一致。

(2) 作圖法計(jì)算弦線波長(zhǎng)

文獻(xiàn)[7]提出了利用作圖法測(cè)量弦線波長(zhǎng)的方法。受其啟發(fā)，本小節(jié)利用mathstudio和文獻(xiàn)[7]中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，擬合lgT～lgf的變化關(guān)系，來(lái)測(cè)量弦線波長(zhǎng)，如圖5所示。

由圖5看出，lgT～lgf擬合直線的相關(guān)系數(shù)為0.999 002，擬合效果很好，從側(cè)面再次驗(yàn)證了弦振動(dòng)規(guī)律的正確性。同時(shí)，圖5剩下的兩行命令，計(jì)算、輸出了文獻(xiàn)[7]中用origin擬合、繪制lgT～lgf圖像所需的數(shù)據(jù)，與文獻(xiàn)[7]中結(jié)果相同，展示出mathstudio在計(jì)算和輸出數(shù)據(jù)方面的強(qiáng)大與便捷。

圖5 l=0.6 m，n=3時(shí)，利用mathstudio擬合文獻(xiàn)[7]中l(wèi)gT～lgf的關(guān)系

利用圖5中l(wèi)gT～lgf擬合直線的截距，圖6展示了使用mathstudio進(jìn)一步計(jì)算弦線波長(zhǎng)和弦線兩個(gè)固定端之間的距離的理論值及其與實(shí)驗(yàn)值相對(duì)誤差的詳細(xì)過(guò)程。計(jì)算結(jié)果表明，弦線波長(zhǎng)和弦線兩個(gè)固定端之間的距離的理論值與其實(shí)驗(yàn)值的相對(duì)誤差是相同的，均為5.150 9%，與文獻(xiàn)[7]中用origin擬合、運(yùn)算的結(jié)果一致。

圖6 在圖5的基礎(chǔ)上，繼續(xù)利用mathstudio和作圖法計(jì)算、輸出文獻(xiàn)[7]中弦線波長(zhǎng)和兩個(gè)固定端之間的距離及其與實(shí)驗(yàn)值的相對(duì)誤差

2) 測(cè)量弦線的線密度

本節(jié)將分三種情況展示mathstudio在測(cè)量弦線線密度中的具體用法，并將計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)有文獻(xiàn)做了對(duì)比分析。第一種情況基于弦線線密度的定義，利用mathstudio直接對(duì)其進(jìn)行計(jì)算；第二和三種情況，是在2.1節(jié)驗(yàn)證弦振動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步利用所擬合直線的截距信息，計(jì)算弦線的線密度，一方面彌補(bǔ)了弦振動(dòng)該方面的研究，另一方面，對(duì)比分析了mathstudio運(yùn)算結(jié)果與其他軟件或方法所得結(jié)果。

(1) 直接計(jì)算弦線線密度的情況

根據(jù)弦線線密度的定義：

(7)

其中，m和L原分別表示弦線的總質(zhì)量和當(dāng)弦線中張力為零時(shí)弦線的總長(zhǎng)度。

以文獻(xiàn)[14]中數(shù)據(jù)為例，利用mathstudio直接計(jì)算弦線ρ線的程序，如圖7所示。從圖容易看出，本文所得結(jié)果與文獻(xiàn)[14]中結(jié)果完全一致；同時(shí)，圖7中上、下兩部分內(nèi)容的對(duì)比分析，展示了用mathstudio進(jìn)行單位換算的便捷性。

圖7 利用mathstudio直接計(jì)算文獻(xiàn)[14]中弦線線密度

(2) 固定弦線線密度和振動(dòng)頻率情況下

(8)

圖8展示的是利用式(8)計(jì)算文獻(xiàn)[13]中弦線線密度的程序。由于文獻(xiàn)[13]未提供弦線線密度信息，而本文使用mathstudio發(fā)掘了該文獻(xiàn)弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的隱藏信息。

圖8 ρ線和f一定情況下，利用mathstudio計(jì)算文獻(xiàn)[13]中弦線的線密度

(3) 固定弦線線密度和張力情況下

在2.1節(jié)第2)部分的基礎(chǔ)上，將式(6)與lnλ=-lnf+B′對(duì)比，利用lnf～lnλ擬合直線的截距B′，就可以通過(guò)下式計(jì)算該弦線的線密度：

=T·e-2B′

(9)

在圖3基礎(chǔ)上，圖9展示了計(jì)算文獻(xiàn)[16]中弦線線密度的過(guò)程。因文獻(xiàn)[16]中未給出ρ線相關(guān)參數(shù)，但本文在ρ線和T一定情況下，利用lnf～lnλ圖的截距信息，發(fā)掘了文獻(xiàn)[16]中的隱藏信息，一方面拓展了弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)的研究，另一方面通過(guò)mathstudio在物理實(shí)驗(yàn)中的運(yùn)用，提升和培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力。

圖9 ρ線和T一定情況下，利用mathstudio計(jì)算文獻(xiàn)[16]中弦線的線密度

3) 進(jìn)一步測(cè)量密度

通過(guò)巧改弦振動(dòng)裝置，本小節(jié)利用弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步測(cè)量浸入液體的密度以及弦線下方懸掛固體的密度。另外，在測(cè)量浸入液體密度的同時(shí)，又在其他參數(shù)相同的情況下，利用L2～M圖像的斜率，拓展了弦線線密度的測(cè)量方法。

(1) 測(cè)量浸入液體的密度

圖10顯示的是測(cè)量浸入液體密度的裝置圖[11]。由該圖可知弦線上的張力：

T=Mg-ρ液gV排

(10)

將上式與式(2，3&5)聯(lián)立，得弦線上所拉砝碼及其附件的總質(zhì)量M：

(11)

圖10 巧改弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置測(cè)液體密度

當(dāng)弦線固定、弦線的振動(dòng)頻率和半波數(shù)分別滿(mǎn)足f=100Hz和n=1時(shí)，測(cè)得掛在弦線上不同質(zhì)量M下弦線的兩個(gè)固定端之間的距離L，若以L2為橫坐標(biāo)，M為縱坐標(biāo)，由擬合直線的截距B?，可間接求出待測(cè)液體的密度為：

(12)

同時(shí)，在此基礎(chǔ)上，利用擬合直線的斜率k，可進(jìn)一步測(cè)量弦線的線密度：

(13)

在ρ線一定、f=100Hz、n=1情況下，圖11～圖13展示了用mathstudio計(jì)算文獻(xiàn)[11]中水、丙醇和甘油三種液體密度的全過(guò)程，所得結(jié)果與文獻(xiàn)[11]中用回歸法所得結(jié)果一致；同時(shí)，本文結(jié)果不僅具有更高精度，且相似問(wèn)題僅需更換相應(yīng)數(shù)據(jù)即可完美解決，大大提升了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理效率；雖然文獻(xiàn)[11]未給弦線的線密度，但是，利用mathstudio和式(13)，文獻(xiàn)[11]中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為我們提供了測(cè)量弦線線密度的機(jī)會(huì)。因此，本文還利用mathstudio擬合圖像的斜率信息，進(jìn)一步計(jì)算了弦線的線密度。經(jīng)mathstudio計(jì)算的文獻(xiàn)[11]中弦線線密度的最大相對(duì)誤差和平均值分別約為1.482%和0.000 106 61kg/m，如圖14所示。

圖11 ρ線一定、f=100 Hz、n=1時(shí)，利用mathstudio計(jì)算文獻(xiàn)[11]中樣品“水”的密度和弦線線密度

圖12 ρ線一定、f=100 Hz、n=1時(shí)，利用mathstudio計(jì)算了文獻(xiàn)[11]中樣品“丙醇”的密度和弦線線密度

圖13 ρ線一定、f=100 Hz、n=1時(shí)，利用mathstudio計(jì)算文獻(xiàn)[11]中樣品“甘油”的密度和弦線線密度

圖14 ρ線一定、f=100 Hz、n=1時(shí)，利用mathstudio計(jì)算文獻(xiàn)[11]中弦線線密度的最大相對(duì)誤差及其平均值

(2) 測(cè)量懸掛固體的密度

測(cè)量裝置僅需將普通的弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置弦線下所掛砝碼及其附件替換為待測(cè)固體即可。此時(shí)，弦線中的張力近似等于其懸掛固體的重力：

T=ρ固gV

(14)

將上式與式(2,3&5)聯(lián)立，可得弦線下方懸掛固體的密度：

(15)

當(dāng)n=2時(shí)，利用mathstudio計(jì)算了文獻(xiàn)[9]中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。盡管文獻(xiàn)[9]中采用三根弦線對(duì)同一固體的密度進(jìn)行測(cè)量，但mathstudio僅用了13行命令，便完成了文獻(xiàn)[9]中的全部計(jì)算，如圖15所示，本文所得結(jié)果與文獻(xiàn)[9]中的結(jié)果一致，且計(jì)算效率更高、更便捷。

圖15 n=2時(shí)，利用mathstudio計(jì)算文獻(xiàn)[9]中懸掛固體的密度

4 結(jié) 語(yǔ)

本文利用mathstudio研究了現(xiàn)有弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到如下結(jié)論：①利用控制變量法和mathstudio，分兩種情況驗(yàn)證了弦振動(dòng)規(guī)律；②基于弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)及規(guī)律，利用mathstudio擬合了相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并基于所擬合直線的斜率或截距，計(jì)算了弦線的波長(zhǎng)、線密度以及浸入液體和弦線上懸掛固體的密度，并與現(xiàn)有文獻(xiàn)做了對(duì)比分析?？傊?，通過(guò)mathstudio在弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用，不僅拓寬了弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)的研究?jī)?nèi)容，還提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)手能力，是我校大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)的一個(gè)亮點(diǎn)，為探索大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)與課程改革提供一定的參考價(jià)值。