吳耀鵬 鄧遠(yuǎn)航 郭昕

?(西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院，西安710055)

?(西安建筑科技大學(xué)國(guó)家級(jí)土木工程實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，西安710055)

實(shí)際結(jié)構(gòu)均為有限剛度，但為了簡(jiǎn)化計(jì)算，常假定結(jié)構(gòu)體系中某些桿件或桿件沿某個(gè)方向?yàn)闊o(wú)限剛性，如結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)時(shí)常假定桿件的抗壓剛度EA→∞、抗彎剛度EI→∞[1-2]。在經(jīng)典位移法教學(xué)中，剛性桿的存在可減少結(jié)構(gòu)體系的基本未知量個(gè)數(shù)，有利于課堂教學(xué)和手算。但對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，常難以確定結(jié)構(gòu)的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移。在矩陣位移法教學(xué)時(shí)，可以通過(guò)計(jì)算機(jī)編程分析結(jié)構(gòu)內(nèi)力，如結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器[3]。結(jié)構(gòu)分析時(shí)，無(wú)窮剛度可用大數(shù)代替，理論上大數(shù)取值越大越接近真解。但受計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)精度限制，大數(shù)不宜取值過(guò)大，否則會(huì)出現(xiàn)病態(tài)方程，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果。

應(yīng)用位移法分析剛架時(shí)，常假設(shè)結(jié)構(gòu)發(fā)生微小位移，且不考慮軸向變形和剪切變形對(duì)結(jié)點(diǎn)位移的影響，即受彎直桿兩端結(jié)點(diǎn)的距離在結(jié)構(gòu)變形前后保持不變[4-6]。有側(cè)移剛架的內(nèi)力分析，是結(jié)構(gòu)力學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容[7]。對(duì)于含斜桿的有側(cè)移剛架存在非獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移，是結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，若斜桿EI→∞，將更加難于分析。本文通過(guò)分析剛性桿單元的約束方程，確定結(jié)構(gòu)體系的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移，應(yīng)用位移法分析結(jié)構(gòu)內(nèi)力。

1 平面桿單元的約束方程

對(duì)于一般平面桿單元，在不考慮約束的情況下，每個(gè)桿端有3個(gè)位移，即水平線位移u、豎向線位移v和轉(zhuǎn)角位移θ。平面桿單元有2個(gè)桿端，共6個(gè)桿端位移，如圖1所示。位移法分析時(shí)，規(guī)定以順時(shí)針為正，建立如圖1所示整體坐標(biāo)系。圖1中，ui，vi，θi分別為桿單元始端的水平位移、豎向位移和轉(zhuǎn)角位移，uj，vj，θj為桿單元相應(yīng)的終端位移，φ為桿單元與x軸的夾角，L為桿長(zhǎng)。

圖1 整體坐標(biāo)系下桿單元及桿端位移

對(duì)于一般桿單元，忽略哪個(gè)方向的位移，即認(rèn)為在該方向是無(wú)限剛性。例如剛架常忽略軸向變形，類(lèi)似于一根剛性鏈桿約束，即EA→∞。本文主要考慮EA→∞和EI→∞兩種情況。

(1)EA→∞

桿單元無(wú)軸向變形，則單元始端的水平線位移和豎向線位移沿桿軸方向的投影必定等于單元終端的水平線位移和豎向線位移沿桿軸方向的投影，其約束方程為

(2)EI→∞

不考慮桿單元的彎曲變形，則桿單元只能發(fā)生剛體轉(zhuǎn)角，桿單元任意兩點(diǎn)的轉(zhuǎn)角相等，數(shù)值上等于桿端法線方向的相對(duì)線位移除以桿長(zhǎng)，其約束方程為

2 位移法的基本未知量

在不考慮桿單元約束的情況下，假定所有的桿端位移總數(shù)為n。若平面桿單元EA→∞或EI→∞，由于約束方程的存在，將減少結(jié)構(gòu)體系的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移個(gè)數(shù)。將結(jié)構(gòu)體系的所有約束方程聯(lián)立起來(lái)并寫(xiě)成矩陣形式，若系數(shù)矩陣的秩為m，表示約束方程中有m個(gè)是獨(dú)立的，即結(jié)構(gòu)體系有m個(gè)有效約束。桿端位移總數(shù)為n，則獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移個(gè)數(shù)為n?m，即為位移法的基本未知量個(gè)數(shù)。確定基本未知量后，其他的非獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移即可用基本未知量表示。

3 算例

圖2所示平面剛架不考慮軸向變形，AB桿和CD桿的抗彎剛度EI為常數(shù)，BC桿抗彎剛度EI′→∞，應(yīng)用位移法分析剛架內(nèi)力并畫(huà)彎矩圖。

圖2 平面剛架

將B和C當(dāng)作自由結(jié)點(diǎn)，則B點(diǎn)有水平線位移uB、豎向線位移vB和轉(zhuǎn)角位移θB，C點(diǎn)有水平線位移uC、豎向線位移vC和轉(zhuǎn)角位移θC。因此結(jié)構(gòu)體系的桿端位移總數(shù)n=6。

對(duì)于剛架結(jié)構(gòu)，不考慮軸向變形，即EA→∞，且BC桿抗彎剛度EI′→∞，需根據(jù)式(1)和式(2)引入約束方程。

AB桿EA→∞，其約束方程為

令BC桿的桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，傾角為φ。BC桿EA→∞，EI′→∞，其約束方程為

CD桿EA→∞，其約束方程為

將式(3)、式(5)和式(6)聯(lián)立，可得約束方程的矩陣形式

經(jīng)計(jì)算，約束方程系數(shù)矩陣的秩m=5，即結(jié)構(gòu)體系有5個(gè)獨(dú)立約束方程，因此結(jié)構(gòu)體系只有1個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移。取uB為位移法基本未知量?，則vB=?，uC=0.6?，vC=?0.6?，θB=?0.4?，θC=?0.4?。

根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程，可得

取BC桿為隔離體，如圖3所示。對(duì)AB桿和CD桿延長(zhǎng)線的交點(diǎn)O取矩，解得

圖3 BC桿隔離體

將位移?代入轉(zhuǎn)角位移方程，可計(jì)算得到各桿端彎矩。應(yīng)用疊加法，畫(huà)出結(jié)構(gòu)的彎矩圖，如圖4所示。

圖4 結(jié)構(gòu)彎矩圖(單位：kN·m)

討論：若BC桿剛度為常量，則BC桿僅有軸向約束方程。AB桿、BC桿和CD桿的軸向約束方程彼此獨(dú)立，因?yàn)檎麄€(gè)體系有3個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移。位移法分析時(shí)，除B點(diǎn)水平位移外，另有B點(diǎn)角位移和C點(diǎn)角位移2個(gè)未知量，因此結(jié)構(gòu)體系共有3個(gè)基本未知量。

4 結(jié)論

含剛性桿或剛性約束的結(jié)構(gòu)體系，桿端位移間存在約束關(guān)系，將出現(xiàn)非獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移。位移法以獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，本文通過(guò)引入剛性桿的約束方程，確定含斜桿有側(cè)移剛架的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移。并根據(jù)約束方程，確定非獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移與獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系式，應(yīng)用位移法分析結(jié)構(gòu)內(nèi)力。本方法為精確解法，可作為位移法的補(bǔ)充內(nèi)容，應(yīng)用在結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)中。