李 燦 熊舉峰

(湖南師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙410000)

一種名為“記憶合金發(fā)動(dòng)機(jī)”的科學(xué)玩具最近火了起來(lái)，這種“發(fā)動(dòng)機(jī)”能在熱水中以較快的速度轉(zhuǎn)動(dòng)，其裝置結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，操作方便，且具有很好的觀賞性，通常用來(lái)做趣味性物理實(shí)驗(yàn)給觀眾帶來(lái)視覺(jué)沖擊和激發(fā)他們的無(wú)限遐想。如圖1所示。

圖1 “記憶合金發(fā)動(dòng)機(jī)”展示

但是，為什么這種結(jié)構(gòu)極其簡(jiǎn)單的裝置，可以在水中飛快轉(zhuǎn)動(dòng)呢？難道真的是有什么超自然的魔力在趨使它轉(zhuǎn)動(dòng)嗎？有人認(rèn)為，可能是這兩個(gè)輪子存在蹊蹺；也有人認(rèn)為可能是圈在兩個(gè)輪子上的“絲”在發(fā)揮作用。當(dāng)知道是“絲”在發(fā)生作用之后，多數(shù)人的理解是這根“絲”放在水中因?yàn)闊崦浝淇s而發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，這種解釋似乎頗有道理，但是卻僅僅停留在很淺顯的表面現(xiàn)象上。為了揭開(kāi)“發(fā)動(dòng)機(jī)”轉(zhuǎn)動(dòng)的奧秘，本文從物理學(xué)的角度來(lái)定量分析到底有哪些因素影響了“發(fā)動(dòng)機(jī)”的轉(zhuǎn)動(dòng)。

1 裝置結(jié)構(gòu)及演示方法

“記憶合金發(fā)動(dòng)機(jī)”是由兩個(gè)大小不同的鋁制輪子以及一根由鎳鈦材料做成的記憶合金絲組成，如圖2所示是將其拆開(kāi)之后的結(jié)構(gòu)，圖3是其安裝好之后的樣子。

圖2 “發(fā)動(dòng)機(jī)”部件

圖3 “發(fā)動(dòng)機(jī)”模型

當(dāng)把這種科學(xué)玩具向觀眾進(jìn)行演示時(shí)，只需將玩具傾斜一定角度讓小輪的部分浸入一定溫度的熱水中，就可以驚奇地看到小輪帶動(dòng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)；如果玩具是垂直放入熱水中，則需要用手輕輕撥動(dòng)一下輪子才會(huì)使其轉(zhuǎn)動(dòng)。其他情況如大輪浸入，則無(wú)論如何傾斜與撥動(dòng)都無(wú)法使其轉(zhuǎn)動(dòng)。

2 “發(fā)動(dòng)機(jī)”的動(dòng)力學(xué)分析

2.1 “發(fā)動(dòng)機(jī)”的動(dòng)力來(lái)源

該玩具所采用的記憶合金絲是由鎳和鈦組成的二元合金，這種合金受溫度和機(jī)械壓力的改變存在兩種不同的晶體結(jié)構(gòu)相，即奧氏體相和馬氏體相。當(dāng)高于一定溫度時(shí)(本裝置中的轉(zhuǎn)變溫度為60°C)，鎳鈦合金處于母相奧氏體結(jié)構(gòu)狀態(tài)，其立方晶體的各個(gè)陣點(diǎn)和中心各有一個(gè)原子，鈦原子任意分布在某一陣點(diǎn)上，其他陣點(diǎn)則為鎳原子，這是一種無(wú)序的晶體結(jié)構(gòu)，如圖4所示。但當(dāng)溫度逐漸冷卻至60°C以下時(shí)，晶體結(jié)構(gòu)中的鈦原子將回到立方體的中心，從而轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N有序的晶體結(jié)構(gòu)，即為馬氏體結(jié)構(gòu)，如圖5所示。這種從奧氏體向馬氏體轉(zhuǎn)變的過(guò)程即為馬氏體相變。

圖4 奧氏體晶體結(jié)構(gòu)

圖5 馬氏體晶體結(jié)構(gòu)

在馬氏體相變及其逆相變過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)類(lèi)似彈性似的擴(kuò)大和縮小[1]，這在宏觀上就表現(xiàn)為記憶合金絲的伸長(zhǎng)與收縮。正是合金絲的這種伸長(zhǎng)與收縮為轉(zhuǎn)軸提供了動(dòng)力矩才使得“發(fā)動(dòng)機(jī)”轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)。下面，從物理學(xué)的角度分別對(duì)“記憶合金發(fā)動(dòng)機(jī)”小輪垂直放入和傾斜放入熱水中時(shí)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)進(jìn)行定量分析，并定性說(shuō)明大輪放入熱水中不動(dòng)的原因。

2.2 小輪垂直放入

分析“記憶合金發(fā)動(dòng)機(jī)”的動(dòng)力學(xué)特征時(shí)，把鎳鈦型形狀記憶合金當(dāng)做彈性材料處理，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程視為理想的帶傳動(dòng)來(lái)構(gòu)建物理模型。當(dāng)主動(dòng)輪部分垂直置于熱水中時(shí)，沒(méi)入熱水中的記憶合金由馬氏體相轉(zhuǎn)變?yōu)閵W氏體相，從而產(chǎn)生拉力而拉伸合金絲，這個(gè)拉力將為主動(dòng)輪提供動(dòng)力矩，但是由于輪的左右兩邊受力F1=F2(F1為主動(dòng)力，F(xiàn)2為阻力)，合外力矩為零，如圖6所示，“發(fā)動(dòng)機(jī)”將保持平衡。如果記憶合金絲不處在一個(gè)“發(fā)動(dòng)機(jī)”的循環(huán)中時(shí)，記憶合金絲將被拉直如圖7所示。

圖6 垂直放入熱水中的受力

圖7 合金絲不構(gòu)成一個(gè)循環(huán)時(shí)受力

當(dāng)沿順時(shí)針輕輕撥動(dòng)傳動(dòng)帶時(shí)，被拉伸的一部分合金絲dl將離開(kāi)熱水且被拉開(kāi)一些，而另一邊則會(huì)有長(zhǎng)度同為dl的一段合金進(jìn)入熱水中，但由于傳熱過(guò)程有一定時(shí)間間隔，所以，處于奧氏體相的總長(zhǎng)度未變，而主動(dòng)輪的受力不再對(duì)稱(chēng)。如圖8所示。

圖8 輕微撥動(dòng)之后的受力

A1B1為初始時(shí)刻的受熱部分，A2B2為被撥動(dòng)之后的受熱部分。將B1B2拿出來(lái)單獨(dú)分析。設(shè)主動(dòng)輪的半徑為R，記憶合金絲的半徑為r，B1B2的長(zhǎng)度為dl，該段弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的角度為θ，這一段被彎曲的圓弧中存在力偶，如圖9(a)所示，現(xiàn)選取DD′和EE′為上下兩個(gè)橫斷面，CC′為中性層，當(dāng)兩個(gè)橫斷面比整個(gè)dl短很多且形變微小時(shí)，記憶合金絲的橫截面依然可以看成是平面，只是相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)dθ，DD′和EE′分別發(fā)生拉伸形變和壓縮形變，由于彈性體是連續(xù)的，其形變也是連續(xù)的，故中性層CC′既不拉伸也不壓縮。為計(jì)算dθ這一段的力矩，我們選取該段合金絲的一個(gè)橫截面如圖9(b)所示。

圖9 彈性體

建立yOz坐標(biāo)系，Oy軸在中性層內(nèi)，用σ表示作用于與Oy軸相距z處狹條形面積上的應(yīng)力[2]，則作用于彈性體上的力矩為

形變前后中性層的長(zhǎng)度相同，因?yàn)閞?R,設(shè)R為中性層的曲率半徑，則形變之后，EE′層伸長(zhǎng)量為Rzdθ，中性層CC′的長(zhǎng)度仍為Rdθ，EE′的絕對(duì)伸長(zhǎng)量為(R+z)dθ?Rdθ=zdθ[2]，則其拉伸應(yīng)變?yōu)?/p>

由胡克定律，相距中性層為z處的應(yīng)力σ=Eε=Ez/R(其中E為彈性材料的楊氏模量)將其代入到式(1)得

此即為記憶合金絲因受熱而發(fā)生馬氏體相變之后所產(chǎn)生的動(dòng)力矩，再由力矩公式M=RF得

此F即為帶傳動(dòng)中的動(dòng)力，亦即緊邊拉力，則F=F1為緊邊拉力，現(xiàn)在我們將“發(fā)動(dòng)機(jī)”的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程視為理想的帶傳動(dòng)，如圖10所示，主動(dòng)輪半徑為R，主被動(dòng)輪軸之間的距離為O1O2=a，緊邊和松邊拉力分別為F1和F2，主動(dòng)輪沿順時(shí)針?lè)较蛞驭氐慕撬俣绒D(zhuǎn)動(dòng)。單獨(dú)分析主動(dòng)輪的受力情況如圖11所示。

圖10 “發(fā)動(dòng)機(jī)”帶傳動(dòng)示意圖

圖11 主動(dòng)輪的受力情況

在主動(dòng)輪上取一小段dl，由牛頓第二定律，該dl所受各力的平衡條件為

式中，F(xiàn)為有效拉力；dα為dl對(duì)應(yīng)的中心角，rad；dF為緊邊拉力增量，N；dFN為主動(dòng)輪給傳送帶的正壓力，N；q為傳送帶單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，kg/m；μ為傳送帶與輪之間的摩擦因數(shù)。僅保留一階小量可得

對(duì)式(6)從0到α積分可得

此即緊邊拉力F1與松邊拉力F2之間的關(guān)系，根據(jù)這個(gè)關(guān)系可以求出松邊拉力

又因?yàn)橛行Ю=F1?F2，所以可得

其中μ由材料本身決定，α=π?(dd1?dd2)/a，dd1和dd2為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的直徑，a為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪軸之間的距離，因此包角α由“發(fā)動(dòng)機(jī)”本身的構(gòu)造決定，于是可以令1?1/eμα=k，則有效拉力為

有效力矩則為

所以該有效力矩對(duì)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)所做的功為

由圖8可知?θ=2θ，又由剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理可得

將主動(dòng)輪近似視為是圓盤(pán)，其質(zhì)量為m，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=mR2w2/4，由此可得主動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為

由此可見(jiàn)，“記憶合金發(fā)動(dòng)機(jī)”轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與記憶合金絲的截面半徑的二次方成正比，與主動(dòng)輪半徑的二分之三次方成反比，與合金絲因?yàn)槭軣岫焕斓拈L(zhǎng)度所對(duì)應(yīng)的圓心角的二分之一次方成正比。此外，由v=wR可得主動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度為

進(jìn)而根據(jù)公式p=Fv可以求得主動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)的功率為

因此“發(fā)動(dòng)機(jī)”的功率p1與記憶合金半徑r6成正比，和主動(dòng)輪半徑R5/2成反比。

2.3 小輪傾斜放入

將“記憶合金發(fā)動(dòng)機(jī)”傾斜一定角度放入熱水中，“發(fā)動(dòng)機(jī)”可以立即轉(zhuǎn)動(dòng)，同樣以前面的思路進(jìn)行分析，其受力分析如圖12所示。

圖12 傾斜放入熱水時(shí)的受力

弧AB是與熱水接觸的部分,其對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，OC為對(duì)稱(chēng)軸。當(dāng)把主動(dòng)輪與豎直方向成β角放入熱水中時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸的兩邊明顯不對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)軸兩邊角度的差值為θ/2+β?(θ/2?β)=2β。由式(10)可知，記憶合金為主動(dòng)輪所提供的有效轉(zhuǎn)動(dòng)力矩只與材料本身的楊氏模量E、半徑r以及主動(dòng)輪的半徑R有關(guān)，故傾斜放入熱水中時(shí)，其有效轉(zhuǎn)動(dòng)力矩與垂直放入相等，即

所以根據(jù)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理可得

由此可以得到其角速度、線速度和功率分別為

所以，由此可以看出，傾斜放入熱水中與垂直放入熱水中相比，影響其動(dòng)力參數(shù)的是其傾斜角度。

2.4 大輪放入

通過(guò)前面對(duì)小輪作為主動(dòng)輪的動(dòng)力學(xué)分析，已經(jīng)知道了記憶合金對(duì)“發(fā)動(dòng)機(jī)”所提供的有效動(dòng)力矩為M有=FR=kEπr4/(4R)，即“發(fā)動(dòng)機(jī)”的有效力矩與發(fā)動(dòng)機(jī)主動(dòng)輪的半徑R成反比。因此當(dāng)使用大輪作為主動(dòng)輪時(shí)，有效力矩將減小，摩擦力矩M摩=Rf增大，記憶合金絲所提供的動(dòng)力矩將無(wú)法超過(guò)阻力矩，故而將大輪作為主動(dòng)輪放入熱水中時(shí)，“發(fā)動(dòng)機(jī)”總是無(wú)法轉(zhuǎn)動(dòng)。

3 總結(jié)

本文定量分析了科學(xué)玩具“記憶合金發(fā)動(dòng)機(jī)”的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。通過(guò)彈性體的彎曲原理構(gòu)建物理模型，計(jì)算出了“記憶合金發(fā)動(dòng)機(jī)”的有效轉(zhuǎn)動(dòng)力矩大??；由帶傳動(dòng)原理得出了其工作時(shí)的角速度、線速度、功率與記憶合金絲的半徑r、撥動(dòng)角度θ以及傾斜角度β成正相關(guān)，與主動(dòng)輪半徑R成負(fù)相關(guān)。并分析了一定的有效轉(zhuǎn)動(dòng)力矩是“發(fā)動(dòng)機(jī)”轉(zhuǎn)動(dòng)的首要條件。