楊淑心，沃維豐，朱　瑩

(寧波大學 理學院,　浙江 寧波 315211)

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投影法在多雷達坐標變換中的應用

楊淑心，沃維豐，朱瑩

(寧波大學 理學院,浙江 寧波 315211)

在雷達數(shù)據(jù)處理中，需要把不同雷達坐標系下的數(shù)據(jù)融合到同一坐標系下。即要把不同坐標系下的坐標進行相互轉(zhuǎn)換。針對此問題，提出利用向量投影法實現(xiàn)各個雷達坐標數(shù)據(jù)相互轉(zhuǎn)換的新方法。該方法不同于以往的旋轉(zhuǎn)平移坐標系轉(zhuǎn)換的常用方法，直接利用向量之間的幾何關(guān)系做坐標變換，計算簡單快捷，具有寬廣的應用前景。

目標跟蹤；坐標變換；向量投影法；多雷達系統(tǒng)

0　引　言

在雷達信息處理[1]中，不同雷達測量得到的數(shù)據(jù)因為坐標不同，不能直接采用。為實現(xiàn)雷達目標跟蹤[2]，需要首先把同一個目標在不同雷達中測量的數(shù)據(jù)變換到同一個坐標系中。坐標轉(zhuǎn)換是雷達數(shù)據(jù)預處理的重要組成部分，它的結(jié)果直接影響后續(xù)計算的復雜程度和準確性。根據(jù)這個同步后的數(shù)據(jù)，再進一步進行數(shù)據(jù)處理?，F(xiàn)有的坐標變換主要是通過不同坐標系之間的旋轉(zhuǎn)、平移實現(xiàn)[3-5]。這種處理方法在具體數(shù)值計算中，因為涉及到旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)角，當雷達個數(shù)多時，呈現(xiàn)出表達繁瑣、計算復雜的缺點。本文提出用數(shù)學中的向量投影法處理坐標轉(zhuǎn)換，給出了一種直接利用向量之間幾何關(guān)系的投影坐標變換法。該方法公式簡單直觀，計算簡便，能用程序快速實現(xiàn)坐標變換。近年來，隨著科學的發(fā)展，投影法已經(jīng)在數(shù)學多個分支廣泛應用，但還沒有在多雷達坐標變換中應用。本文提出的方法將為該領(lǐng)域研究者開展相關(guān)研究提供便利和借鑒。

1　坐標系的建立

為了減少誤差，本文將采用地心坐標系[5]為雷達

坐標轉(zhuǎn)換的同一坐標系。分析時建立坐標系：當對地球表面物質(zhì)分布不均、地球長短軸不一這些情況忽略不計時，地球可以近似看作球體；而考慮長短軸的區(qū)別時，地球可近似看作一個橢球體。我們分別對這兩種情況建立坐標系。

1.1地心坐標系的建立

緯度通常分為大地緯度和幾何緯度兩種：大地緯度是指將地球表面點投射到地球橢球體上時投影點法線方向與赤道平面的夾角；幾何緯度是指緯線上的點與球心連線和赤道平面所形成的角。在大地緯度的情況下,以地球球心O為原點，xOy平面平行于赤道平面，z軸朝向北極方向，x軸朝向經(jīng)度為0°的方向。圖1和圖2分別是將地球近似看作球體和橢球體時建立的坐標系[6]。

圖1　球體地心坐標系

圖2　橢球體地心坐標系

1.2雷達直角坐標系的建立

地球近似看作球體或是橢球體，對建立雷達的局部直角坐標系都不會產(chǎn)生影響。本文假設雷達在北半球，以雷達中心為原點，雷達中心點沿當?shù)鼐暥惹芯€方向指向東為x軸，雷達中心點沿當?shù)亟?jīng)度切線方向指向北為y軸，雷達中心指向地球外法線方向為z軸[2]，目標方位角為北向順時針夾角(y軸正向與x軸正向的夾角)，目標俯仰角為傳感器中心點與目標連線和地平面的夾角(即與xOy平面的夾角)，如圖3所示。

圖3　雷達中心直角坐標系

圖中，b為目標的方位角，e為俯仰角，且已將數(shù)據(jù)單位“°”轉(zhuǎn)化成“rad”。假設目標在第i個雷達直角坐標系下的坐標為(xi,yi,zi),俯仰角為ei，方位角為bi,原點為Oi,目標與第i個雷達的距離為di。利用幾何關(guān)系，目標在雷達直角坐標系坐標與目標測量的方位角、俯仰角的變換式為

(1)

2　坐標轉(zhuǎn)換

2.1雷達在地心坐標系下的坐標

在進行目標坐標變換之前，需要根據(jù)雷達的地理位置(經(jīng)度、緯度)計算雷達在地心坐標系下的坐標。將地球近似看作半徑為R的球體，由引理1得到雷達在地心坐標系下的坐標。

引理1：已知的第i個雷達的經(jīng)度與緯度分別轉(zhuǎn)化為弧度Ji與Wi，那么第i個雷達(傳感器)的中心Oi在地心坐標系下的坐標為

(2)

式中：R為地球近似半徑。

從式(1)看出，將地球看作球體雖然能簡化計算公式，但是地球并不完全是一個球體，如果近似成球體計算誤差相對來說會大些。所以要進一步考慮地球是橢球體的情況。同時，將地球看作橢球體時，大地緯度和幾何緯度是不一樣的，但是它們之間可以相互轉(zhuǎn)換。所以，這里以大地緯度為例(即：將地球表面點投射到地球橢球體上，投影點法線方向與赤道平面的夾角為該點的大地緯度)，當將地球近似看作橢球體，也可以通過引理1推出數(shù)學轉(zhuǎn)換式。

此時，我們在考慮第i個雷達(傳感器)的中心Oi在地球坐標系下的坐標時，需要考慮到橢球體的長軸和短軸不一，根據(jù)圖2建立一個關(guān)于地球的橢球坐標系，如圖4所示。

圖4　雷達在地心坐標系的坐標

圖4中，Oi為雷達位置，M0為Oi點在橢球體表面的投影點，W為緯度，J為經(jīng)度。我們過Oi所在的經(jīng)線面截橢球體得到一個橢圓，如圖5所示。

圖5　地球經(jīng)線面截面

(3)

我們算得

則

同理

其中

設M(μM,zM),H為雷達Oi距離地面的高度(即:線段OiM0的長度)，則有

μM=μF(|M0F|+H)cosW=(N+H)cosW

(4)

(5)

因此，可以得到雷達在地心坐標系下的坐標公式

(6)

綜上可以得到

引理2：已知第i個雷達(傳感器)的經(jīng)度和大地緯度，轉(zhuǎn)化為rad分別為Ji和Wi，且已知第i個雷達距離地球表面的高度為H，同時地球近似為橢球體時的長軸和短軸分別為a和b，于是我們可以得到橢球體中第i個雷達(傳感器)的中心Oi在地心坐標系下的坐標為

(7)

其中

2.2向量投影法轉(zhuǎn)換坐標

首先，建立關(guān)于第i個雷達的坐標系：以雷達中心Oi為原點，雷達中心與當?shù)亟?jīng)度切線方向指向北為y軸，地心與雷達中心連線指向天向的為z軸，x軸沿著雷達中心點與當?shù)鼐暥惹芯€方向，并構(gòu)成右手直角坐標系。由于這里應用的是投影法，所以對于將地球看作球體和橢球體投影面都相同，不需要分開說明，但將地球看作橢球體更具有一般性。

圖6　地心坐標系下向量的示意圖

(8)

圖7　雷達坐標系x軸和地球坐標系之間的關(guān)系

(9)

(10)

利用向量之間關(guān)系OiM-OjM=OiOj=OOj-OOi，如圖8所示。

圖8　地心雷達目標之間向量示意圖

(12)

(13)

(14)

式中：右邊的括號表示作內(nèi)積，(a,b)=|a||b|cosθ，θ為向量a，b的夾角。

假設地心坐標系的單位坐標向量為{e1,e2,e3}，目標M在雷達i坐標系下的坐標變換為在地心坐標系下的坐標為(x0,y0,z0)。只需對式(13)作與地心坐標系的單位坐標向量{e1,e2,e3}的內(nèi)積，得到雷達坐標系與地心坐標系下的變換公式

(15)

式(14)、式(15)實現(xiàn)了目標在兩個不同雷達坐標系下的轉(zhuǎn)換。計算過程中主要用到了向量之間的投影，即用到了向量的內(nèi)積運算。所以，計算過程簡單，程序?qū)崿F(xiàn)容易。

綜上所述，得到下面坐標變換定理：

定理1： 假如跟蹤目標M在第i個雷達坐標系下的直角坐標為(xi,yi,zi)，在第j雷達坐標系下的坐標為(xj,yj,zj),在地心坐標系下的坐標為(x0,y0,z0)。那么兩個雷達坐標系間坐標變換為式(14)，雷達坐標系到地心坐標系坐標變換為式(15)。

2.3坐標變換的應用

假設已有不同雷達測得同一目標的測量數(shù)據(jù)，我們利用坐標變換，把數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到同一坐標系下。

已知地球的長軸和短軸分別為a和b，兩雷達在地心坐標系中的經(jīng)緯度分別為Ji和Wi，兩雷達距離地球表面的高度為Hi，同時還知道目標M在第i個雷達直角坐標系下的坐標為(xi,yi,zi)，則我們可以得到目標M在地心坐標系下的坐標，實現(xiàn)數(shù)據(jù)的融合。具體計算步驟如下：

步驟1：通過引理1中的式(7)得到雷達在地心坐標系中的坐標，從而得到向量OOi的坐標。

步驟3：利用定理1中式(15)求得(x0,y0,z0)。

3　結(jié)束語

本文將地球近似看作球體和橢球體，用投影法對多雷達直角坐標系巧妙地進行變換，為讀者研究地球坐標變換提供了較為便利的工具，同時也將幾何代數(shù)和數(shù)據(jù)處理強有力地結(jié)合在一起，體現(xiàn)了學科之間的相互融合、相互滲透。此外，從文中的結(jié)果可以看出，對于坐標變換有很多方法可以實現(xiàn)，但是投影變換法更為簡單易懂而且計算簡便。同時，也希望本文的坐標變換方法能幫助其他研究人員解決實際問題。

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楊淑心女，1992年生，碩士研究生。研究方向為應用數(shù)學。

沃維豐女，1981年生，博士，講師。研究方向為應用數(shù)學。

ApplicationofProjectionMethodintheMultipleRadarCoordinateTransformation

YANGShuxin，WOWeifeng，ZHUYing

(FacultyofScience,NingboUniversity,Ningbo315211,China)

Intheradardataprocessing,theobserveddatashouldbeconvertedtoacommoncoordinatesystemfirstly.Thatis,thecoordinateshouldbeconvertedtoeachother.Accordingtothis,thispaperprovidesanewmethodbasedonthevectorprojectiontoconvertthecoordinate.Thismethodismuchmoreconvenientthantheusualrotation-translationmethod.Geometricrelationsbetweenvectorsforcoordinatetransformationisused,whichisprovedtobesimpleandconvenient,andcanbewidelyappliedtoothersciencefields.

targettracking;coordinatetransformation;thevectorprojectionmethod;multi-radarsystem

國家自然科學基金資助項目(11201249)；浙江省自然基金資助項目(LY16A010002)；寧波大學科研基金(XKL14D2040)

沃維豐Email：woweifeng@nbu.edu.cn

2016-01-20

2016-03-22

TP274

A

1004-7859(2016)06-0050-04

·數(shù)據(jù)處理·DOI：10.16592/j.cnki.1004-7859.2016.06.012