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(杭州電子科技大學(xué) 通信工程學(xué)院,　杭州 310018)

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混合粒子流濾波的非線性系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)算法

趙知?jiǎng)?，吳?/p>

(杭州電子科技大學(xué) 通信工程學(xué)院,杭州 310018)

為了提高強(qiáng)環(huán)境噪聲下非線性系統(tǒng)估計(jì)性能，基于粒子流濾波對(duì)非線性系統(tǒng)估計(jì)能力強(qiáng)的特點(diǎn)，文中首先利用粒子流濾波粗估計(jì)狀態(tài)向量；然后，利用卡爾曼濾波平滑由強(qiáng)環(huán)境噪聲所導(dǎo)致的狀態(tài)向量估計(jì)誤差；最后，得到混合粒子流濾波算法。對(duì)轉(zhuǎn)移方程為線性而測(cè)量方程為非線性的系統(tǒng)估計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)表明：文中算法的參數(shù)估計(jì)精度高于普通粒子流濾波算法和粒子濾波算法，計(jì)算復(fù)雜度和普通粒子流濾波算法相當(dāng)且低于粒子濾波算法。

粒子流濾波；卡爾曼濾波；粒子濾波；計(jì)算復(fù)雜度；估計(jì)精度

0　引　言

近年來(lái)非線性濾波算法在信號(hào)處理、目標(biāo)跟蹤及數(shù)據(jù)融合等領(lǐng)域的應(yīng)用已引起越來(lái)越多研究者的關(guān)注[1]。傳統(tǒng)的非線性濾波方法主要有擴(kuò)展卡爾曼濾波算法(EKF)[2]和無(wú)跡卡爾曼濾波算法(UKF)[2]，這兩種方法僅適用于估計(jì)弱非線性系統(tǒng)模型情況。當(dāng)系統(tǒng)模型非線性程度較強(qiáng)時(shí)，EKF和UKF的估計(jì)誤差較大且可能發(fā)散。基于貝葉斯法則的粒子濾波算法(PF)[3]適用于估計(jì)強(qiáng)非線性系統(tǒng)模型，當(dāng)粒子數(shù)足夠多時(shí)，該方法能夠得到較好的估計(jì)結(jié)果。但是粒子濾波存在難以選取重要性分布函數(shù)、粒子貧化[4]以及由粒子數(shù)增加導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜度高等問(wèn)題。針對(duì)粒子濾波存在的問(wèn)題，文獻(xiàn)[5]提出了一種新的粒子型濾波算法——粒子流濾波算法(PFF)，用于估計(jì)非線性系統(tǒng)。PFF用粒子流方法替換PF中的重采樣方法，從而避免了重采樣帶來(lái)的粒子貧化和計(jì)算量增加問(wèn)題。

針對(duì)由線性轉(zhuǎn)移方程和非線性測(cè)量方程組成系統(tǒng)的估計(jì)問(wèn)題，本文提出一種由EKF和PFF結(jié)合的改進(jìn)算法，即混合粒子流濾波算法(HPFF)。HPFF的計(jì)算復(fù)雜度和PFF相當(dāng)且低于PF，但其估計(jì)精度高于PFF和PF。

本文詳細(xì)介紹了粒子流濾波算法，對(duì)提出的混合粒子流濾波算法進(jìn)行了描述，并通過(guò)對(duì)所提算法進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)，與其他算法性能進(jìn)行了結(jié)果比較。

1　混合粒子流濾波算法

利用粒子流濾波算法解決估計(jì)問(wèn)題時(shí)，建立動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。本文研究的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)模型如下

Xk=SXk-1+uk-1

(1)

yk=h(Xk)+vk

(2)

式中：Xk∈Rm為k時(shí)刻m維狀態(tài)向量；S∈Rm×m為已知的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；uk為均值為0、方差為Q的高斯分布狀態(tài)噪聲；yk為k時(shí)刻的測(cè)量值；h(·)為關(guān)于Xk的線性或非線性測(cè)量函數(shù)；vk為均值為0、方差為σ2的高斯分布環(huán)境噪聲，且vk與uk統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。

利用貝葉斯法則可以得到狀態(tài)向量Xk的概率密

度函數(shù)如下

(3)

式中：y0∶k為時(shí)刻0到時(shí)刻k所有的測(cè)量值；p(Xk|y0∶k)為后驗(yàn)概率密度；p(yk|Xk)為似然函數(shù)；p(Xk|y0∶k-1)為先驗(yàn)概率密度；p(yk|y0∶k-1)為與狀態(tài)向量Xk無(wú)關(guān)的歸一化常數(shù)。后驗(yàn)概率密度包含了對(duì)狀態(tài)向量Xk估計(jì)的全部信息，利用后驗(yàn)概率密度可以完成對(duì)狀態(tài)向量Xk的估計(jì)，但是由于后驗(yàn)概率密度表達(dá)式復(fù)雜，難以直接計(jì)算其結(jié)果。

粒子濾波利用更新粒子的權(quán)值以及重要性采樣方法來(lái)表征后驗(yàn)概率密度實(shí)現(xiàn)貝葉斯估計(jì)；而粒子流濾波則是通過(guò)將粒子平滑移動(dòng)到狀態(tài)空間的后驗(yàn)分布上實(shí)現(xiàn)貝葉斯估計(jì)。圖1給出了粒子濾波和粒子流濾波過(guò)程的形象化描述，上半部分虛線框圖描述了粒子濾波過(guò)程，下半部分虛線框圖描述了粒子流濾波過(guò)程。

圖1　粒子濾波與粒子流濾波框架圖比較

為方便起見(jiàn)，將式(3)中的有關(guān)函數(shù)簡(jiǎn)化表示如下：q(X)=p(Xk|y0∶k)，g(X)=p(yk|Xk)，I(X)=p(Xk|y0∶k-1)。利用式(3)和拓?fù)鋵W(xué)中同倫函數(shù)[6]的概念定義一個(gè)針對(duì)變量λ的條件概率密度對(duì)數(shù)流如下

logq(X,λ)=logg(X)+λlogI(X)+K(λ)

(4)

式中：λ為數(shù)值從0變化到1的參數(shù)，此處為類(lèi)似于時(shí)間的變量；q(X,λ)為X的條件概率密度，其中，X為關(guān)于λ的函數(shù)；K(λ)為與X無(wú)關(guān)的歸一化常數(shù)。當(dāng)λ=0時(shí)，q(X,λ)表示先驗(yàn)概率密度；而當(dāng)λ=1時(shí)，q(X,λ)表示后驗(yàn)概率密度，這正是我們希望得到的結(jié)果。由于狀態(tài)向量X為關(guān)于λ的函數(shù)，我們定義狀態(tài)向量X對(duì)于變量λ的變化率為

(5)

f(X,λ)的物理意義可以解釋為：若狀態(tài)向量X為狀態(tài)空間Rm中的某一點(diǎn)，那么f(X,λ)就是該點(diǎn)在λ時(shí)刻的速度。由于變化率f(X,λ)在所有粒子上都有定義，可以認(rèn)為f(X,λ)定義了一個(gè)從先驗(yàn)分布到后驗(yàn)分布的“速度場(chǎng)”。求得f(X,λ)之后即可利用數(shù)值積分將先驗(yàn)粒子平滑移動(dòng)到后驗(yàn)分布上，從而實(shí)現(xiàn)粒子更新。

假設(shè)f(X,λ)滿(mǎn)足零散度的Fokker-Planck方程[7]，且由文獻(xiàn)[8]可得

(6)

式中：Tr(·)為(·)的跡。因?yàn)閝關(guān)于λ是光滑和連續(xù)的，式(4)兩端同時(shí)對(duì)λ求導(dǎo)可得

(7)

結(jié)合式(6)和式(7)可以得到以下等式

(8)

式(8)就是式(3)貝葉斯估計(jì)所應(yīng)滿(mǎn)足的常微分方程。求解式(8)得到f(X,λ)，然后對(duì)f(X,λ)進(jìn)行數(shù)值積分就能得到所要估計(jì)的X，這就是粒子流濾波。式(8)有多種求解方法[9-10]，如準(zhǔn)無(wú)旋近似法、變分近似法和參數(shù)近似法等。文獻(xiàn)[11]給出了一種利用參量近似求解式(8)的方法，該方法將先驗(yàn)分布和似然分布都近似成高斯分布，并且利用一階泰勒級(jí)數(shù)近似測(cè)量函數(shù)h(·)，得到了一種易于計(jì)算和編程實(shí)現(xiàn)的封閉形式解。

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

p(X0)=U(α,β)

(21)

(22)

綜上所述，混合粒子流濾波算法的具體步驟如下：

(2)fork = 1，2，…，T

(5)forj = 1，2，…，Nλ

(6)將λ的值設(shè)為：λ=jΔλ

(8)利用式(10)和式(11)計(jì)算A(λ)和b(λ)

(9)fori = 1，2，…，N

(12)endi

(14)endj

(15)利用式(12)～式(14)對(duì)Pk-1更新得到Pk

(18)endk

2　算法仿真與性能分析

本節(jié)分析比較了PF、混合粒子濾波(MPF)[12]、PFF和HPFF四種算法對(duì)正弦信號(hào)參數(shù)的估計(jì)性能。所用軟件為Matlab2010b版本，在Intel酷睿雙核處理器(2.13GHz)、2GB內(nèi)存的PC機(jī)上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。將含有未知參數(shù)的正弦信號(hào)用如下?tīng)顟B(tài)模型表示

(23)

yk=αkcos(2πftk+φk)+vk

(24)

PF、MPF、PFF和HPFF四種算法估計(jì)得到的信號(hào)幅度和相位參數(shù)如圖2所示。由圖2可見(jiàn)，四種算法均能逐漸收斂于待估計(jì)向量Xk的真實(shí)值，由于HPFF算法是PFF算法估計(jì)結(jié)果再經(jīng)KF濾波得到的。因此，與其他三種算法相比，HPFF的估計(jì)結(jié)果更加穩(wěn)定。

圖2　參數(shù)估計(jì)結(jié)果

(25)

用式(25)定義的均方根誤差來(lái)比較分析四種算法的性能。100次獨(dú)立仿真實(shí)驗(yàn)，即K=100，四種算法對(duì)兩個(gè)未知參數(shù)估計(jì)的均方根誤差隨采樣點(diǎn)數(shù)的變化曲線如圖3所示。隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加，四種算法的均方根誤差都隨之減少并趨于穩(wěn)定值，HPFF的估計(jì)均方根誤差最小，MPF次之，PFF再次之，PF最大。

圖3　4種算法的均方根誤差

環(huán)境噪聲方差取50、100、150、200、250和300時(shí)，四種算法對(duì)兩個(gè)未知參數(shù)估計(jì)的均方根誤差如圖4所示。HPFF算法的均方根誤差比其他三種算法小得多，四種算法的均方根誤差隨著噪聲方差的增加而增加。

圖4　不同環(huán)境噪聲下仿真結(jié)果

粒子數(shù)取20、50、100、200和500時(shí)，PFF和HPFF對(duì)兩個(gè)未知參數(shù)估計(jì)的均方根誤差如圖5所示。不同粒子數(shù)下，HPFF的均方根誤差都小于PFF；并且HPFF和PFF受粒子數(shù)的影響較小，當(dāng)粒子數(shù)大于100時(shí)HPFF和PFF估計(jì)精度趨于穩(wěn)定。

圖5　不同粒子數(shù)目下仿真結(jié)果

由于算法的計(jì)算復(fù)雜度隨著粒子數(shù)的增加而增加，選取100作為PFF和HPFF的粒子數(shù)，每種濾波算法分別進(jìn)行100次仿真實(shí)驗(yàn)，四種算法的運(yùn)行時(shí)間平均值如表1所示。PFF算法運(yùn)行速度最快，HPFF速度接近于PFF，比MPF和PF快得多。

表1四種濾波算法的平均運(yùn)行時(shí)間s

濾波算法名稱(chēng)運(yùn)行時(shí)間PF81.7513MPF83.1928PFF26.4282HPFF28.0834

3　結(jié)束語(yǔ)

本文提出的混合粒子流濾波算法首先利用粒子流濾波得到一個(gè)粗估計(jì)結(jié)果，然后在粗估計(jì)結(jié)果基礎(chǔ)上利用卡爾曼濾波進(jìn)一步平滑濾波得到最終估計(jì)結(jié)果。對(duì)轉(zhuǎn)移方程為線性而測(cè)量方程為非線性的系統(tǒng)模型估計(jì)仿真結(jié)果表明：HPFF算法是有效的；在強(qiáng)環(huán)境噪聲背景下，HPFF算法的估計(jì)精度高于PF、MPF和PFF；HPFF和PFF的算法復(fù)雜度相當(dāng)，低于PF和MPF算法。

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趙知?jiǎng)排?959年生，教授，博士生導(dǎo)師。研究方向?yàn)橥ㄐ判盘?hào)處理、自適應(yīng)信號(hào)處理、認(rèn)知無(wú)線電等。

吳棫 男，1991年生，碩士研究生。研究方向?yàn)樾盘?hào)與信息處理。

ANonlinearSystemParameter'sEstimationAlgorithmBasedonHybridParticleFlowFilter

ZHAOZhijin，WUYu

(SchoolofCommunicationEngineering,HangzhouDianziUniversity,Hangzhou310018,China)

Inordertoimproveestimationperformanceofthenonlinearsystemunderstrongenvironmentalnoise,thestatevectorisroughlyestimatedbyparticleflowfilterfirstlysinceitisgoodforhandlingnonlinearsystemestimationproblem.Thenthestatevector'sestimationerror,whichiscausedbythestrongenvironmentnoise,issmoothedbyaKalmanfilter.Finallythehybridparticleflowfilterisgotten.Theresultsofsimulationforthesystemestimationconsistingoflineartransferequationandnonlinearmeasurementequationshowthattheestimationaccuracyoftheproposedalgorithmishigherthanthatofthestandardparticleflowfilterandtheparticlefilter,computationalcomplexityofproposedalgorithmisthesameasstandardparticleflowfilterandislowerthanthatoftheparticlefilter.

particleflowfilter;Kalmanfilter;particlefilter;computationalcomplexity;estimationaccuracy

吳棫Email：waynegeek@yeah.net

2016-01-22

2016-03-20

TN911

A

1004-7859(2016)06-0045-05

·數(shù)據(jù)處理·DOI：10.16592/j.cnki.1004-7859.2016.06.011