□江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)獨(dú)墅湖學(xué)校 仲秋月

建構(gòu)推理模式，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考
——小學(xué)數(shù)學(xué)推理能力培養(yǎng)的教學(xué)研究

□江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)獨(dú)墅湖學(xué)校 仲秋月

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，在數(shù)學(xué)知識(shí)形成和解決問(wèn)題過(guò)程中起著至關(guān)重要的作用。數(shù)學(xué)推理模式本質(zhì)上有兩種，分別是合情推理和演繹推理。作為數(shù)學(xué)基本思想之一，推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。只有遵循學(xué)生推理思維能力形成的規(guī)律，注重教學(xué)中的培養(yǎng)方法，才能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中逐步積累經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)推理模式，從而真正學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思考”。

小學(xué)數(shù)學(xué) 合情推理 演繹推理

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理能力的發(fā)展貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中?！睂?duì)于數(shù)學(xué)，本質(zhì)上有兩種推理模式，分別是合情推理和演繹推理。合情推理是命題內(nèi)涵由小到大的推理，是一種從特殊到一般的推理，通過(guò)合情推理得到的結(jié)論是或然的。演繹推理是命題內(nèi)涵由大到小的推理，是一種從一般到特殊的推理，通過(guò)演繹推理得到的結(jié)論是必然的。

推理作為一種基本數(shù)學(xué)思想是“不可教”的，小學(xué)生推理能力的培養(yǎng)蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中。因而，教師惟有在教學(xué)中設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，講究教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、聯(lián)想、計(jì)算、歸納、類比、畫圖、表達(dá)等活動(dòng)，經(jīng)歷知識(shí)形成及問(wèn)題解決的思維過(guò)程，明晰思考問(wèn)題的路徑和方法，通過(guò)豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來(lái)逐步建構(gòu)推理模型，才能使學(xué)生真正地學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思考”。

一、合情推理能力的培養(yǎng)：經(jīng)歷過(guò)程，感悟思想

合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類比等推斷某些結(jié)果的推理模式，主要包括不完全歸納推理、類比推理和統(tǒng)計(jì)推理。它是以觀察、體驗(yàn)多個(gè)事例、活動(dòng)后所獲得的經(jīng)驗(yàn)為根據(jù)，歸納出一些概括性原則的思維過(guò)程，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中用于形成知識(shí)、歸納法則和發(fā)現(xiàn)規(guī)律等，是小學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種主要的思維模式。

1.精選素材引發(fā)直觀與類比。數(shù)學(xué)知識(shí)的形成依賴于直觀，數(shù)學(xué)知識(shí)的確立依賴于推理。小學(xué)數(shù)學(xué)中，計(jì)算法則、定律、性質(zhì)等數(shù)學(xué)知識(shí)大多都是通過(guò)不完全歸納推理和類比推理形成的，這一推理模式的思維基礎(chǔ)是直觀與聯(lián)想。不完全歸納推理是以某類事物中部分對(duì)象的判斷為前提，推斷出這一類事物全體對(duì)象的判斷結(jié)論的推理。而類比推理是以關(guān)于兩個(gè)事物某些屬性相同的判斷為前提，推出兩個(gè)事物的其他屬性相同的結(jié)論的推理。概括地說(shuō)，這兩類合情推理均以某些判斷為前提，由直觀與聯(lián)想引發(fā)猜想，最終形成一般結(jié)論。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如能精選適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)素材便會(huì)有利于學(xué)生引發(fā)數(shù)學(xué)直觀，激活思維，提出猜想，形成結(jié)論。

2.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)展開(kāi)探究與歸納。讓學(xué)生在有限的課堂教學(xué)時(shí)間內(nèi)經(jīng)歷人類數(shù)學(xué)形成和發(fā)展的過(guò)程，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)“再創(chuàng)造”的過(guò)程，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)。因而，我們必須以恰當(dāng)?shù)那榫澈瓦m切的問(wèn)題引領(lǐng)探究活動(dòng)，讓學(xué)生能夠快速地定位研究的切入點(diǎn)，并順著一定的方向、帶著問(wèn)題進(jìn)入情境，有效地獲取活動(dòng)情境所承載的數(shù)學(xué)信息展開(kāi)探究活動(dòng)。再者，合情推理的探究活動(dòng)和其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)相比，學(xué)生的主體地位更加突出，自主性更加明顯，個(gè)性化更加強(qiáng)烈，適切的問(wèn)題能較好地激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)探究的主觀能動(dòng)性，提升創(chuàng)造能力。

3.深入引導(dǎo)促進(jìn)觀察與比較。數(shù)學(xué)規(guī)律常常不是顯而易見(jiàn)的，需要通過(guò)觀察、比較和歸納逐步發(fā)現(xiàn)。在呈現(xiàn)具體實(shí)例之后，教師巧妙而又深入的點(diǎn)撥引導(dǎo)能為學(xué)生的觀察和比較指引方向，幫助學(xué)生提取和組織關(guān)鍵信息，進(jìn)而對(duì)初步形成的表象進(jìn)行“精加工”，最終得出結(jié)論。

二、演繹推理能力的培養(yǎng)：掌握方法，發(fā)展思維

演繹推理是從假設(shè)和定義出發(fā)，按照某些規(guī)定了的法則所進(jìn)行的、前提與結(jié)論之間有必然聯(lián)系的推理。三段論是演繹推理的基本模式，包括大前提、小前提和結(jié)論三部分，三部分之間具有嚴(yán)格的邏輯關(guān)系和傳遞關(guān)系。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，雖然沒(méi)有運(yùn)用演繹推理進(jìn)行嚴(yán)格證明的內(nèi)容，但計(jì)算、判斷和解決問(wèn)題等的思維活動(dòng)大多是演繹推理。

1.借助正推反證發(fā)展思維嚴(yán)謹(jǐn)性。先看這樣一個(gè)教學(xué)實(shí)例：學(xué)生在學(xué)習(xí)簡(jiǎn)便運(yùn)算后，計(jì)算812-57+43這一題會(huì)錯(cuò)誤地算成812-（57+43）。經(jīng)過(guò)調(diào)查分析可知，學(xué)生主要存在兩類錯(cuò)誤原因。（1）學(xué)生已知運(yùn)算律為：a-b-c=a-（b+c），但在計(jì)算這題時(shí)受到數(shù)據(jù)特征影響，將812-57+43誤看成812-57-43。分析推理過(guò)程如下：如果用A表示“所有的連減算式”，用B表示“某一個(gè)連減算式”，用Ω表示這條運(yùn)算律，那么正確的推理關(guān)系式：B，然而，這一題中的B為“812-57+43”，BA，因此推理不成立。（2）學(xué)生自認(rèn)為有運(yùn)算律：ab+c=a-（b+c），這種情況中大前提是錯(cuò)誤的，因此推理不成立?？梢?jiàn)，正確的大前提和正確的包含關(guān)系才能建立具有傳遞性的推理過(guò)程。

在連減運(yùn)算律的教學(xué)中，一方面通過(guò)算理分析建立正確的計(jì)算規(guī)律，另一方面我們也可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究形如a-b+c的運(yùn)算規(guī)律，得出a-b+c=a-（b-c），通過(guò)兩式對(duì)比進(jìn)一步抽象規(guī)律，從而打破減法運(yùn)算律的單一性，彌補(bǔ)認(rèn)知的缺失。與此同時(shí)，反推驗(yàn)證也不失為演繹推理訓(xùn)練的一種方法。運(yùn)用假言推理：如果可以算成812-（57+43），則個(gè)位為2，而原式812-57+43的個(gè)位為8，產(chǎn)生矛盾，因此這樣推算不正確。

數(shù)學(xué)的思維方式是人類各種思維方式中最為精細(xì)的也是最為精確的一種，從過(guò)程到結(jié)論，都必須是確定無(wú)疑的。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于小學(xué)生年齡特征的限制，小學(xué)數(shù)學(xué)教材里的數(shù)學(xué)知識(shí)未必是嚴(yán)密的，也不要求每一個(gè)結(jié)論都用嚴(yán)格的邏輯證明來(lái)實(shí)現(xiàn)，但在學(xué)習(xí)過(guò)程中僅依靠合情推理得出結(jié)論是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。教學(xué)實(shí)踐中要確立“推理與證明”的意識(shí)，始終保持嚴(yán)謹(jǐn)思考的要求，理解演繹推理的必要性，能有條理地思考并表達(dá)自己的思考過(guò)程，做到言之有理，落筆有據(jù)。

2.借助圖示表格發(fā)展思維邏輯性。數(shù)學(xué)命題的核心是敘述研究對(duì)象之間的關(guān)系。如果將能將隱性的推理關(guān)系顯性化、可視化，能有助于學(xué)生在頭腦中將概念之間的關(guān)系形成層級(jí)式表征，明晰各對(duì)象之間的關(guān)系，深入關(guān)系的本質(zhì)，理解并運(yùn)用推理思維開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)。如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第七冊(cè)教材中一道比較復(fù)雜的三步計(jì)算實(shí)際問(wèn)題：王大伯第一天收獲30筐土豆，共重750千克，第二天比第一天多收獲10筐。照這樣計(jì)算，第二天收獲多少千克？這一題可以列表分析如下：

顯然，在填寫表格的過(guò)程中數(shù)量關(guān)系經(jīng)過(guò)了整理，“筐數(shù)”與“質(zhì)量”這兩類數(shù)量建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，便于學(xué)生根據(jù)已知條件推理中間量，而在填寫“第二天”的筐數(shù)時(shí)將推理步驟轉(zhuǎn)移到表格上，無(wú)形中降低了思維難度，對(duì)于思維能力不強(qiáng)的學(xué)生來(lái)說(shuō)就有了思考的“拐棍”。

還可以利用關(guān)系圖輔助推理：

或者運(yùn)用線段圖：

在圖中，一段表示10千克，通過(guò)比較能發(fā)現(xiàn)，第二天多了這樣的一份，還可以這樣解答：750+750÷（30÷10）。從這個(gè)實(shí)例可以看出，以圖示表格作為思維工具，不僅能展示條件之間的顯性關(guān)系，發(fā)展思維的條理性，還能挖掘條件之間的隱性關(guān)系，發(fā)展思維的邏輯性和創(chuàng)造性。

3.借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言發(fā)展思維條理性。引導(dǎo)學(xué)生想清思考過(guò)程，并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，能讓學(xué)生加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)命題的理解和運(yùn)用。小學(xué)階段的演繹推理一般用口頭語(yǔ)言、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)關(guān)系式和計(jì)算算式等來(lái)表達(dá)。例如，506000、50600、500600這三個(gè)數(shù)比較大小時(shí)，有序思考才能有序表達(dá)：先比較位數(shù)，50600是五位數(shù)，506000和500600是六位數(shù)，50600的位數(shù)比它們少，所以是最小的；506000和500600兩個(gè)數(shù)位數(shù)相同就從最高位比起，最高位相同再比下一位，千位上6＞0，所以506000＞500600。

可見(jiàn)，以上問(wèn)題解決的過(guò)程均以演繹推理的方式逐步展開(kāi)，每一步之間都有一定的邏輯關(guān)系，環(huán)環(huán)相扣。這一類邏輯嚴(yán)明的演繹推理題例，我們不僅要給予學(xué)生充足的時(shí)間思考，還應(yīng)給予學(xué)生充足的時(shí)間表達(dá)。教師可以讓學(xué)生先自己說(shuō)，然后跟同學(xué)說(shuō)，再面向全班說(shuō)?！白晕艺Z(yǔ)言”除了有表達(dá)的功能以外，還有策劃的功能。這個(gè)過(guò)程學(xué)生回顧反思演繹推理的過(guò)程，當(dāng)用口頭語(yǔ)言或書面語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)時(shí)，思維又經(jīng)歷了一次“再加工”，于是不僅鍛煉了數(shù)學(xué)表達(dá)的能力，優(yōu)化了表達(dá)的方式，更促進(jìn)了思維的條理性和“元認(rèn)知”的發(fā)展。