□江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)獨(dú)墅湖學(xué)校 仲秋月
建構(gòu)推理模式,學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考
——小學(xué)數(shù)學(xué)推理能力培養(yǎng)的教學(xué)研究
□江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)獨(dú)墅湖學(xué)校 仲秋月
推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式,在數(shù)學(xué)知識(shí)形成和解決問(wèn)題過(guò)程中起著至關(guān)重要的作用。數(shù)學(xué)推理模式本質(zhì)上有兩種,分別是合情推理和演繹推理。作為數(shù)學(xué)基本思想之一,推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。只有遵循學(xué)生推理思維能力形成的規(guī)律,注重教學(xué)中的培養(yǎng)方法,才能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中逐步積累經(jīng)驗(yàn),建構(gòu)推理模式,從而真正學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思考”。
小學(xué)數(shù)學(xué) 合情推理 演繹推理
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出:“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式,也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理能力的發(fā)展貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中?!睂?duì)于數(shù)學(xué),本質(zhì)上有兩種推理模式,分別是合情推理和演繹推理。合情推理是命題內(nèi)涵由小到大的推理,是一種從特殊到一般的推理,通過(guò)合情推理得到的結(jié)論是或然的。演繹推理是命題內(nèi)涵由大到小的推理,是一種從一般到特殊的推理,通過(guò)演繹推理得到的結(jié)論是必然的。
推理作為一種基本數(shù)學(xué)思想是“不可教”的,小學(xué)生推理能力的培養(yǎng)蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中。因而,教師惟有在教學(xué)中設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng),講究教學(xué)方法,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、聯(lián)想、計(jì)算、歸納、類比、畫圖、表達(dá)等活動(dòng),經(jīng)歷知識(shí)形成及問(wèn)題解決的思維過(guò)程,明晰思考問(wèn)題的路徑和方法,通過(guò)豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來(lái)逐步建構(gòu)推理模型,才能使學(xué)生真正地學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思考”。
合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā),憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué),通過(guò)歸納和類比等推斷某些結(jié)果的推理模式,主要包括不完全歸納推理、類比推理和統(tǒng)計(jì)推理。它是以觀察、體驗(yàn)多個(gè)事例、活動(dòng)后所獲得的經(jīng)驗(yàn)為根據(jù),歸納出一些概括性原則的思維過(guò)程,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中用于形成知識(shí)、歸納法則和發(fā)現(xiàn)規(guī)律等,是小學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種主要的思維模式。
1.精選素材引發(fā)直觀與類比。數(shù)學(xué)知識(shí)的形成依賴于直觀,數(shù)學(xué)知識(shí)的確立依賴于推理。小學(xué)數(shù)學(xué)中,計(jì)算法則、定律、性質(zhì)等數(shù)學(xué)知識(shí)大多都是通過(guò)不完全歸納推理和類比推理形成的,這一推理模式的思維基礎(chǔ)是直觀與聯(lián)想。不完全歸納推理是以某類事物中部分對(duì)象的判斷為前提,推斷出這一類事物全體對(duì)象的判斷結(jié)論的推理。而類比推理是以關(guān)于兩個(gè)事物某些屬性相同的判斷為前提,推出兩個(gè)事物的其他屬性相同的結(jié)論的推理。概括地說(shuō),這兩類合情推理均以某些判斷為前提,由直觀與聯(lián)想引發(fā)猜想,最終形成一般結(jié)論。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,如能精選適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)素材便會(huì)有利于學(xué)生引發(fā)數(shù)學(xué)直觀,激活思維,提出猜想,形成結(jié)論。
2.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)展開(kāi)探究與歸納。讓學(xué)生在有限的課堂教學(xué)時(shí)間內(nèi)經(jīng)歷人類數(shù)學(xué)形成和發(fā)展的過(guò)程,經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)“再創(chuàng)造”的過(guò)程,對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)。因而,我們必須以恰當(dāng)?shù)那榫澈瓦m切的問(wèn)題引領(lǐng)探究活動(dòng),讓學(xué)生能夠快速地定位研究的切入點(diǎn),并順著一定的方向、帶著問(wèn)題進(jìn)入情境,有效地獲取活動(dòng)情境所承載的數(shù)學(xué)信息展開(kāi)探究活動(dòng)。再者,合情推理的探究活動(dòng)和其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)相比,學(xué)生的主體地位更加突出,自主性更加明顯,個(gè)性化更加強(qiáng)烈,適切的問(wèn)題能較好地激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)探究的主觀能動(dòng)性,提升創(chuàng)造能力。
3.深入引導(dǎo)促進(jìn)觀察與比較。數(shù)學(xué)規(guī)律常常不是顯而易見(jiàn)的,需要通過(guò)觀察、比較和歸納逐步發(fā)現(xiàn)。在呈現(xiàn)具體實(shí)例之后,教師巧妙而又深入的點(diǎn)撥引導(dǎo)能為學(xué)生的觀察和比較指引方向,幫助學(xué)生提取和組織關(guān)鍵信息,進(jìn)而對(duì)初步形成的表象進(jìn)行“精加工”,最終得出結(jié)論。
演繹推理是從假設(shè)和定義出發(fā),按照某些規(guī)定了的法則所進(jìn)行的、前提與結(jié)論之間有必然聯(lián)系的推理。三段論是演繹推理的基本模式,包括大前提、小前提和結(jié)論三部分,三部分之間具有嚴(yán)格的邏輯關(guān)系和傳遞關(guān)系。在小學(xué)數(shù)學(xué)中,雖然沒(méi)有運(yùn)用演繹推理進(jìn)行嚴(yán)格證明的內(nèi)容,但計(jì)算、判斷和解決問(wèn)題等的思維活動(dòng)大多是演繹推理。
1.借助正推反證發(fā)展思維嚴(yán)謹(jǐn)性。先看這樣一個(gè)教學(xué)實(shí)例:學(xué)生在學(xué)習(xí)簡(jiǎn)便運(yùn)算后,計(jì)算812-57+43這一題會(huì)錯(cuò)誤地算成812-(57+43)。經(jīng)過(guò)調(diào)查分析可知,學(xué)生主要存在兩類錯(cuò)誤原因。(1)學(xué)生已知運(yùn)算律為:a-b-c=a-(b+c),但在計(jì)算這題時(shí)受到數(shù)據(jù)特征影響,將812-57+43誤看成812-57-43。分析推理過(guò)程如下:如果用A表示“所有的連減算式”,用B表示“某一個(gè)連減算式”,用Ω表示這條運(yùn)算律,那么正確的推理關(guān)系式:B,然而,這一題中的B為“812-57+43”,BA,因此推理不成立。(2)學(xué)生自認(rèn)為有運(yùn)算律:ab+c=a-(b+c),這種情況中大前提是錯(cuò)誤的,因此推理不成立??梢?jiàn),正確的大前提和正確的包含關(guān)系才能建立具有傳遞性的推理過(guò)程。
在連減運(yùn)算律的教學(xué)中,一方面通過(guò)算理分析建立正確的計(jì)算規(guī)律,另一方面我們也可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究形如a-b+c的運(yùn)算規(guī)律,得出a-b+c=a-(b-c),通過(guò)兩式對(duì)比進(jìn)一步抽象規(guī)律,從而打破減法運(yùn)算律的單一性,彌補(bǔ)認(rèn)知的缺失。與此同時(shí),反推驗(yàn)證也不失為演繹推理訓(xùn)練的一種方法。運(yùn)用假言推理:如果可以算成812-(57+43),則個(gè)位為2,而原式812-57+43的個(gè)位為8,產(chǎn)生矛盾,因此這樣推算不正確。
數(shù)學(xué)的思維方式是人類各種思維方式中最為精細(xì)的也是最為精確的一種,從過(guò)程到結(jié)論,都必須是確定無(wú)疑的。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,由于小學(xué)生年齡特征的限制,小學(xué)數(shù)學(xué)教材里的數(shù)學(xué)知識(shí)未必是嚴(yán)密的,也不要求每一個(gè)結(jié)論都用嚴(yán)格的邏輯證明來(lái)實(shí)現(xiàn),但在學(xué)習(xí)過(guò)程中僅依靠合情推理得出結(jié)論是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。教學(xué)實(shí)踐中要確立“推理與證明”的意識(shí),始終保持嚴(yán)謹(jǐn)思考的要求,理解演繹推理的必要性,能有條理地思考并表達(dá)自己的思考過(guò)程,做到言之有理,落筆有據(jù)。
2.借助圖示表格發(fā)展思維邏輯性。數(shù)學(xué)命題的核心是敘述研究對(duì)象之間的關(guān)系。如果將能將隱性的推理關(guān)系顯性化、可視化,能有助于學(xué)生在頭腦中將概念之間的關(guān)系形成層級(jí)式表征,明晰各對(duì)象之間的關(guān)系,深入關(guān)系的本質(zhì),理解并運(yùn)用推理思維開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)。如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第七冊(cè)教材中一道比較復(fù)雜的三步計(jì)算實(shí)際問(wèn)題:王大伯第一天收獲30筐土豆,共重750千克,第二天比第一天多收獲10筐。照這樣計(jì)算,第二天收獲多少千克?這一題可以列表分析如下:
顯然,在填寫表格的過(guò)程中數(shù)量關(guān)系經(jīng)過(guò)了整理,“筐數(shù)”與“質(zhì)量”這兩類數(shù)量建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系,便于學(xué)生根據(jù)已知條件推理中間量,而在填寫“第二天”的筐數(shù)時(shí)將推理步驟轉(zhuǎn)移到表格上,無(wú)形中降低了思維難度,對(duì)于思維能力不強(qiáng)的學(xué)生來(lái)說(shuō)就有了思考的“拐棍”。
還可以利用關(guān)系圖輔助推理:
或者運(yùn)用線段圖:
在圖中,一段表示10千克,通過(guò)比較能發(fā)現(xiàn),第二天多了這樣的一份,還可以這樣解答:750+750÷(30÷10)。從這個(gè)實(shí)例可以看出,以圖示表格作為思維工具,不僅能展示條件之間的顯性關(guān)系,發(fā)展思維的條理性,還能挖掘條件之間的隱性關(guān)系,發(fā)展思維的邏輯性和創(chuàng)造性。
3.借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言發(fā)展思維條理性。引導(dǎo)學(xué)生想清思考過(guò)程,并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá),能讓學(xué)生加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)命題的理解和運(yùn)用。小學(xué)階段的演繹推理一般用口頭語(yǔ)言、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)關(guān)系式和計(jì)算算式等來(lái)表達(dá)。例如,506000、50600、500600這三個(gè)數(shù)比較大小時(shí),有序思考才能有序表達(dá):先比較位數(shù),50600是五位數(shù),506000和500600是六位數(shù),50600的位數(shù)比它們少,所以是最小的;506000和500600兩個(gè)數(shù)位數(shù)相同就從最高位比起,最高位相同再比下一位,千位上6>0,所以506000>500600。
可見(jiàn),以上問(wèn)題解決的過(guò)程均以演繹推理的方式逐步展開(kāi),每一步之間都有一定的邏輯關(guān)系,環(huán)環(huán)相扣。這一類邏輯嚴(yán)明的演繹推理題例,我們不僅要給予學(xué)生充足的時(shí)間思考,還應(yīng)給予學(xué)生充足的時(shí)間表達(dá)。教師可以讓學(xué)生先自己說(shuō),然后跟同學(xué)說(shuō),再面向全班說(shuō)?!白晕艺Z(yǔ)言”除了有表達(dá)的功能以外,還有策劃的功能。這個(gè)過(guò)程學(xué)生回顧反思演繹推理的過(guò)程,當(dāng)用口頭語(yǔ)言或書面語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)時(shí),思維又經(jīng)歷了一次“再加工”,于是不僅鍛煉了數(shù)學(xué)表達(dá)的能力,優(yōu)化了表達(dá)的方式,更促進(jìn)了思維的條理性和“元認(rèn)知”的發(fā)展。