江美紅

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深入本質(zhì) 一通百通

江美紅

整式的乘法是一種重要的代數(shù)恒等變換，它是今后學(xué)習(xí)分式運(yùn)算、解一元二次方程等內(nèi)容的基礎(chǔ)，是中考必不可少的一部分內(nèi)容.面對(duì)這部分內(nèi)容，許多同學(xué)的反應(yīng)往往是：“老師講的聽不懂，煩，愁.”“每次我都很認(rèn)真地聽，可總似懂非懂，考試總考不好，我頭痛.”要改變現(xiàn)狀，我們需要打好基礎(chǔ)，尋找規(guī)律，舉一反三、一通百通.

一、問題解答

例1計(jì)算：（x+2y-1）（x-2y+1）.

【解析1】

【點(diǎn)評(píng)】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則解題，三項(xiàng)式乘三項(xiàng)式，展開得九項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng).

【解析2】

【點(diǎn)評(píng)】利用整體思想，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式乘二項(xiàng)式，展開得四項(xiàng)式，再利用平方差公式展開，最后合并同類項(xiàng).

【解析3】

【點(diǎn)評(píng)】利用整體思想構(gòu)造平方差公式，再利用完全平方公式展開.

二、尋找規(guī)律

此題還有更多的解法.那么為什么有這么多的解法呢？這些解法是怎么想出來的？這其中有什么秘密嗎？

這其中蘊(yùn)含了很多的規(guī)律.

1.知識(shí)規(guī)律

這中間包含了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法、平方差公式和完全平方公式，它們之間的聯(lián)系如圖所示.正是因?yàn)橛辛诉@些關(guān)系，才會(huì)使題目有多種解法.

2.解題規(guī)律

（1）選用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法計(jì)算與選用平方差公式和完全平方公式計(jì)算都能解決問題，這是因?yàn)檫@三個(gè)公式是“一伙”的.

（2）題中若有“形”，則選定一種公式直接解題.比如出現(xiàn)（a+b）（a-b）形，則選用平方差公式；若出現(xiàn)（a+b）2與（a-b）2形，則選用完全平方公式.

（3）題中若無(wú)“形”，選定一種方法，造出它的“形”，比如解析3運(yùn)用平方差公式，那就要把2y-1看作整體，造出平方差公式的“形”，即［x+（2y-1）］［x-（2y-1）］，再用平方差公式解題.而在解析2中要用平方差公式，就把x+2y與x-2y看作整體，造出（x+2y）·（x-2y），再利用平方差公式解題.

值得一提的是，雖然各種方法都能到達(dá)成功的彼岸，但還是要在平時(shí)的練習(xí)中積累經(jīng)驗(yàn)，選擇最佳方法解題.

三、一通百通

例2計(jì)算：（x+2y）（x-2y）（x2+4y2）.

【分析】題中有平方差公式的“形”，直接利用公式計(jì)算.

例3計(jì)算：（2x+3y）2（2x-3y）2.

【分析】題中雖無(wú)“形”，但有“隱形”，逆用積的乘方，造出平方差公式的“形”，再利用完全平方公式計(jì)算.

例4計(jì)算：（m-n-3）2.

【分析】題中雖無(wú)“形”，但也有“隱形”，可把m-n看作整體，造出完全平方公式的“形”.

例5計(jì)算：20152-2014×2016.

【分析】題中無(wú)“形”，也無(wú)“隱形”，利用數(shù)字之間的關(guān)系造出公式的“形”.

例6已知a2-b2=6，a-b=-3，求a+b的值.

【分析】題中有平方差公式的“形”，直接利用公式計(jì)算.

例7已知a-b=3，ab=2，求a2+b2的值.

【分析】題中雖無(wú)“形”，但也有“隱形”，即（a-b）2=a2-2ab+b2，直接利用公式計(jì)算.

在初中數(shù)學(xué)的每一章、每一節(jié)中都有知識(shí)規(guī)律與解題規(guī)律，掌握了規(guī)律，就能把難題變簡(jiǎn)單；解題找規(guī)律，就能一看就會(huì)、一通百通，你將會(huì)變得更有智慧，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更輕松.

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）