鮑文碐

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整式乘法與因式分解易錯(cuò)題問診

鮑文碐

整式乘法運(yùn)算和因式分解是基本而重要的代數(shù)知識(shí)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)分式和根式運(yùn)算、函數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ)，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中具有重要意義.同時(shí)，這些知識(shí)還是學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等學(xué)科不可缺少的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí).但同學(xué)們在進(jìn)行整式乘法與因式分解時(shí)，常常會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤.為了幫助同學(xué)們盡可能地避免錯(cuò)誤，及時(shí)走出誤區(qū)，現(xiàn)就常見錯(cuò)題展示問診.

例1計(jì)算：（2x3y）2（-3x2y3z）.

【錯(cuò)解一】原式=2x6y2（-3x2y3z）=-6x8y5z.

【錯(cuò)解二】原式=4x6y2（-3x2y3z）=-12x8y5.

【錯(cuò)因問診】錯(cuò)解一的病因：積的乘方法則未理解，應(yīng)將每個(gè)因式分別乘方，尤其是數(shù)字因數(shù).

錯(cuò)解二的病因：計(jì)算結(jié)果丟掉了字母z.

【點(diǎn)評(píng)】單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，若運(yùn)算中含有乘方運(yùn)算，應(yīng)先算乘方，再進(jìn)行單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.

例2計(jì)算：-3x（x2-xy+1）.

【錯(cuò)解一】原式=-3x3-3x2y+3x.

【錯(cuò)解二】原式=-3x3+3x2y.

【錯(cuò)因問診】錯(cuò)解一的病因：忽略了單項(xiàng)式“-3x”的符號(hào).

錯(cuò)解二的病因：單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則沒有掌握，要用-3x乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，-3x與常數(shù)項(xiàng)1漏乘了.

解：-3x（x2-xy+1）=-3x3+3x2y-3x.

【點(diǎn)評(píng)】單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，一要注意符號(hào)的確定，二要注意用單項(xiàng)式分別乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng).

例3計(jì)算：（3a-2b）（5a+3b）.

【錯(cuò)解】原式=15a2+6b2.

【錯(cuò)因問診】多項(xiàng)式的乘法法則未掌握，第一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)要分別乘第二個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng).本題兩項(xiàng)的多項(xiàng)式乘兩項(xiàng)的多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)得四項(xiàng)，然后再進(jìn)行合并同類項(xiàng).

【點(diǎn)評(píng)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式要注意以下幾點(diǎn)：

1.不重不漏.

2.注意符號(hào).

3.結(jié)果中有同類項(xiàng)，要注意合并同類項(xiàng).

例4運(yùn)用公式計(jì)算（-2x-3y）（3y-2x）.

【錯(cuò)解】原式=（3y）2-（2x）2=9y2-4x2.

【錯(cuò)因問診】未理解公式（a+b）（a-b）= a2-b2中a和b的本質(zhì).這里的-2x相當(dāng)于公式中的a，而3y則相當(dāng)于公式中的b.錯(cuò)解把a(bǔ)、b的位置顛倒了.

例5計(jì)算：（-2x-3y）2.

【錯(cuò)解一】原式=（2x+3y）2=4x2+9y2.

【錯(cuò)因問診】錯(cuò)解一的病因：完全平方公式混淆未理解，要注意（a+b）2≠a2+b2（a≠0，b≠0）；

錯(cuò)解二的病因：1.誤認(rèn)為-2x-3y是兩數(shù)之差，選擇了差的平方公式，實(shí)際上-2x -3y與2x+3y互為相反數(shù)，應(yīng)選用和的平方公式.2.“2倍乘積項(xiàng)”未理解，這些都是同學(xué)們常會(huì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤.

例6計(jì)算：（x-2y+3z）（x+2y-3z）.

【錯(cuò)因問診】誤認(rèn)為可以利用公式（a+ b）（a-b）=a2-b2，而實(shí)際上2x+y與2x-y并不滿足公式中的a.

【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用平方差和完全平方公式，首先必須牢記完全平方公式、平方差公式，其次分析多項(xiàng)式的特點(diǎn)是否符合公式的條件，最后運(yùn)用時(shí)要分清公式中的兩數(shù)是指哪兩個(gè)，尤其是經(jīng)過適當(dāng)變形后才能應(yīng)用公式的更應(yīng)注意，這樣才能正確靈活地解題.

例7因式分解：3x2-6xy+x.

【錯(cuò)解一】原式=x（3x-6y）+x.

【錯(cuò)解二】原式=x（3x-6y）.

【錯(cuò)因問診】錯(cuò)解一的病因：因式分解的定義沒有掌握，因式分解要求的最終結(jié)果是寫成整式的乘積形式，上題中的結(jié)果是和的形式，只顧前不顧后.

錯(cuò)解二的病因：“1”作為單獨(dú)一項(xiàng)時(shí)，在因式分解中不可漏掉.

解：3x2-6xy+x=x（3x-6y+1）. 例8因式分解：4x4-8x2+4.

【錯(cuò)因問診】錯(cuò)解一的病因：因式分解的基本步驟未掌握.應(yīng)首先考慮提公因式法，然后考慮用公式法.正是因?yàn)槲磳⒐蚴教岢?，而?dǎo)致分解不徹底.

錯(cuò)解二的病因：分解不徹底.最后要再檢查所得結(jié)果是否分解徹底，否則就前功盡棄..

（作者單位：江蘇省太倉市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）