鮑文碐
?
整式乘法與因式分解易錯(cuò)題問(wèn)診
鮑文碐
整式乘法運(yùn)算和因式分解是基本而重要的代數(shù)知識(shí),是進(jìn)一步學(xué)習(xí)分式和根式運(yùn)算、函數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ),在后續(xù)的學(xué)習(xí)中具有重要意義.同時(shí),這些知識(shí)還是學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等學(xué)科不可缺少的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí).但同學(xué)們?cè)谶M(jìn)行整式乘法與因式分解時(shí),常常會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤.為了幫助同學(xué)們盡可能地避免錯(cuò)誤,及時(shí)走出誤區(qū),現(xiàn)就常見(jiàn)錯(cuò)題展示問(wèn)診.
例1計(jì)算:(2x3y)2(-3x2y3z).
【錯(cuò)解一】原式=2x6y2(-3x2y3z)=-6x8y5z.
【錯(cuò)解二】原式=4x6y2(-3x2y3z)=-12x8y5.
【錯(cuò)因問(wèn)診】錯(cuò)解一的病因:積的乘方法則未理解,應(yīng)將每個(gè)因式分別乘方,尤其是數(shù)字因數(shù).
錯(cuò)解二的病因:計(jì)算結(jié)果丟掉了字母z.
【點(diǎn)評(píng)】單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式,若運(yùn)算中含有乘方運(yùn)算,應(yīng)先算乘方,再進(jìn)行單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.
例2計(jì)算:-3x(x2-xy+1).
【錯(cuò)解一】原式=-3x3-3x2y+3x.
【錯(cuò)解二】原式=-3x3+3x2y.
【錯(cuò)因問(wèn)診】錯(cuò)解一的病因:忽略了單項(xiàng)式“-3x”的符號(hào).
錯(cuò)解二的病因:?jiǎn)雾?xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則沒(méi)有掌握,要用-3x乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),-3x與常數(shù)項(xiàng)1漏乘了.
解:-3x(x2-xy+1)=-3x3+3x2y-3x.
【點(diǎn)評(píng)】單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,一要注意符號(hào)的確定,二要注意用單項(xiàng)式分別乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng).
例3計(jì)算:(3a-2b)(5a+3b).
【錯(cuò)解】原式=15a2+6b2.
【錯(cuò)因問(wèn)診】多項(xiàng)式的乘法法則未掌握,第一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)要分別乘第二個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng).本題兩項(xiàng)的多項(xiàng)式乘兩項(xiàng)的多項(xiàng)式時(shí),應(yīng)得四項(xiàng),然后再進(jìn)行合并同類(lèi)項(xiàng).
【點(diǎn)評(píng)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式要注意以下幾點(diǎn):
1.不重不漏.
2.注意符號(hào).
3.結(jié)果中有同類(lèi)項(xiàng),要注意合并同類(lèi)項(xiàng).
例4運(yùn)用公式計(jì)算(-2x-3y)(3y-2x).
【錯(cuò)解】原式=(3y)2-(2x)2=9y2-4x2.
【錯(cuò)因問(wèn)診】未理解公式(a+b)(a-b)= a2-b2中a和b的本質(zhì).這里的-2x相當(dāng)于公式中的a,而3y則相當(dāng)于公式中的b.錯(cuò)解把a(bǔ)、b的位置顛倒了.
例5計(jì)算:(-2x-3y)2.
【錯(cuò)解一】原式=(2x+3y)2=4x2+9y2.
【錯(cuò)因問(wèn)診】錯(cuò)解一的病因:完全平方公式混淆未理解,要注意(a+b)2≠a2+b2(a≠0,b≠0);
錯(cuò)解二的病因:1.誤認(rèn)為-2x-3y是兩數(shù)之差,選擇了差的平方公式,實(shí)際上-2x -3y與2x+3y互為相反數(shù),應(yīng)選用和的平方公式.2.“2倍乘積項(xiàng)”未理解,這些都是同學(xué)們常會(huì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤.
例6計(jì)算:(x-2y+3z)(x+2y-3z).
【錯(cuò)因問(wèn)診】誤認(rèn)為可以利用公式(a+ b)(a-b)=a2-b2,而實(shí)際上2x+y與2x-y并不滿(mǎn)足公式中的a.
【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用平方差和完全平方公式,首先必須牢記完全平方公式、平方差公式,其次分析多項(xiàng)式的特點(diǎn)是否符合公式的條件,最后運(yùn)用時(shí)要分清公式中的兩數(shù)是指哪兩個(gè),尤其是經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形后才能應(yīng)用公式的更應(yīng)注意,這樣才能正確靈活地解題.
例7因式分解:3x2-6xy+x.
【錯(cuò)解一】原式=x(3x-6y)+x.
【錯(cuò)解二】原式=x(3x-6y).
【錯(cuò)因問(wèn)診】錯(cuò)解一的病因:因式分解的定義沒(méi)有掌握,因式分解要求的最終結(jié)果是寫(xiě)成整式的乘積形式,上題中的結(jié)果是和的形式,只顧前不顧后.
錯(cuò)解二的病因:“1”作為單獨(dú)一項(xiàng)時(shí),在因式分解中不可漏掉.
解:3x2-6xy+x=x(3x-6y+1). 例8因式分解:4x4-8x2+4.
【錯(cuò)因問(wèn)診】錯(cuò)解一的病因:因式分解的基本步驟未掌握.應(yīng)首先考慮提公因式法,然后考慮用公式法.正是因?yàn)槲磳⒐蚴教岢?,而?dǎo)致分解不徹底.
錯(cuò)解二的病因:分解不徹底.最后要再檢查所得結(jié)果是否分解徹底,否則就前功盡棄..
(作者單位:江蘇省太倉(cāng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué))