薛秋萍

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源于課本 高于課本

薛秋萍

課本中有些例題屬于雙基性例題，它主要是起鞏固基本概念或公式，形成基本技能的作用.它形式簡單，內(nèi)容單一，但適當(dāng)變式、延展，也會起到整合知識、歸納方法、培養(yǎng)技能、發(fā)展思維的作用.下面以“整式乘法與因式分解”中的兩道例題為例，說明不少試題都“源于課本”，可以在課本中找到原型，但同時又“高于課本”.

原題1（蘇科版教材七下第78頁例題5第（1）題）

計算：（x-3）（x+3）（x2+9）.

【說明】這是一道計算題，兩次運用平方差公式.

變式1計算：（x-1）（x+1）（x2+1）（x4+ 1）（x8+1）.

【說明】本題把上題的“3”變成“1”主要為了便于表達計算結(jié)果，再增加幾個因式.經(jīng)觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，由（x-1）（x+1）得（x2-1），再由（x2-1）（x2+1）得x4-1，…根據(jù)最后一個因式（x8+1）得結(jié)果為x16-1.

變式2計算：（x-1）（x+1）（x2+1）（x4+ 1）…（x2n+1）.

【解析】把最后一個因式中x的指數(shù)由具體的數(shù)字改為字母，由變式1得結(jié)果是（x2n-1）（x2n+1）=x4n-1，滲透了特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

變式3試求：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1的個位數(shù)字.

【說明】本題中把變式2中的字母x換成數(shù)字2，并且還不能直接應(yīng)用平方差公式，需添加第一個因式（2-1），這樣才能使用平方差公式計算其結(jié)果，最后研究結(jié)果的個位數(shù)字.

∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…

∴2的整數(shù)次冪的個位數(shù)字每4個數(shù)字為一個循環(huán)組依次循環(huán).

∵64=16×4，

∴264的個位數(shù)字與24的個位數(shù)字相同.

∴原式的個位數(shù)字為6.

原題2（蘇科版教材七下第85頁例題5第（1）題）

把下列各式因式分解：x2+10x+25.

【說明】這是一道利用完全平方公式進行因式分解的例題，目的是熟悉關(guān)于因式分解的完全平方公式特點，并能熟練運用完全平方公式進行因式分解.

解：x2+10x+25=（x+5）2.

變式1把x2+y2+10x-4y+29寫成兩個完全平方式的和形式.

【說明】本題要進行適當(dāng)分組，同時要把常數(shù)29拆成25與4的和.

【延展1】如果x2+y2+10x-4y+29=0，求x 和y的值.

【說明】本題根據(jù)完全平方式的非負(fù)性質(zhì)，列方程求解.

【延展2】已知正整數(shù)a，b，c滿足等式a2+ b2+c2+49=4a+6b+12c，試判斷三條長分別為a，b，c的線段能否圍成一個三角形.若能，請判斷該三角形的形狀；若不能，請說明理由.

【說明】本題是一個綜合題，首先要利用等式性質(zhì)，把等式左邊配成三個完全平方式，再利用平方式的非負(fù)性和三角形的三邊關(guān)系，得出結(jié)論.

解：∵a2+b2+c2+49=4a+6b+12c，

∴（a2-4a+4）+（b2-6b+9）+（c2-12c+36）=0.

∴（a-2）2+（b-3）2+（c-6）2=0.

∴a-2=0，b-3=0，c-6=0.

即：a=2，b=3，c=6.

∵2+3＜6，

∴三條長分別為a，b，c的線段不能圍成一個三角形.

變式2“a2≥0”這個結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，有時我們需要將代數(shù)式配成完全平方式.

例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，

∵（x+2）2≥0，

∴（x+2）2+1≥1，

∴x2+4x+5≥1.

試比較代數(shù)式：x2-1與2x-3的大小.

【說明】比較兩個代數(shù)式值的大小，通常用做差法，即先求出兩個代數(shù)式的差，再對其配方，最后判斷正負(fù)性.

課本上的例題是我們學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).同學(xué)們應(yīng)多加重視，根據(jù)基本知識點，觸類旁通，一題多變，做到學(xué)一題通一類，即使是最基礎(chǔ)的計算題，我們也能使它生成新的題型，達到發(fā)展思維、培養(yǎng)能力的作用.

（作者單位：江蘇省太倉市第二中學(xué)）