薛秋萍
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整體出發(fā) 事半功倍
薛秋萍
我們常說,在一個(gè)集體中一定要有整體觀念,其實(shí)在數(shù)學(xué)問題的解決中,整體化的思想也是很重要的.從整體上把握解決問題的方向,往往可以尋找到突破口,避免繁雜的計(jì)算,收到事半功倍的效果.整體思想在本章中有廣泛的應(yīng)用,現(xiàn)舉例說明.
例1計(jì)算:(1)(x+y-1)(x+y+1);
(2)(x-2y+z)(x+2y-z);
(3)(a-2b+3c)2.
【分析】(1)中是兩個(gè)三項(xiàng)式相乘,可以用乘法分配律進(jìn)行運(yùn)算,但比較麻煩.如將x+y看作一個(gè)整體,就可用公式;(2)中若把2y-z視為整體,那么-2y+z=-(2y-z);在(3)中,只要先將a-2b整體作為一項(xiàng),就可直接用完全平方公式.
【反思】當(dāng)相乘的多項(xiàng)式是兩個(gè)三項(xiàng)式,且除了符號(hào)其他都相同時(shí),可以“整體”地把符號(hào)相同的看作一“項(xiàng)”,把符號(hào)相反的看成另一“項(xiàng)”;應(yīng)用(3)的方法,很快就能得到一個(gè)重要而實(shí)用的公式:
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
例2分解因式:(x2-2x)(x2-2x+2)+1.
【分析】若把兩個(gè)二次多項(xiàng)式x2-2x、x2-2x+2相乘,則將得到一個(gè)四次多項(xiàng)式,這時(shí)再分解因式就十分困難.但若把x2-2x視為一個(gè)整體A,原式就變形為關(guān)于A的二次多項(xiàng)式,問題就容易解決了.
【反思】本題看似超出了學(xué)習(xí)的范圍,但當(dāng)把x2-2x看作整體時(shí),就轉(zhuǎn)化成了我們熟悉的二次三項(xiàng)式的簡單分解.
同學(xué)們可依此法分解:(x+1)(x+2)(x+ 3)(x+4)+1.
【提示】先分別計(jì)算(x+1)(x+4)和(x+ 2)(x+3),問題就轉(zhuǎn)變成了本例.
例3(1)已知:x2-1=2x,求(x-1)(3x+ 1)-(x+1)2的值.
(2)已知:a+b=7,ab=12.
求:a2+b2,(a-b)2的值.
【分析】對于(1),把式子作適當(dāng)變形后把x2-2x看作一個(gè)整體,求出x2-2x=1,再將其代入化簡后的代數(shù)式很容易得到結(jié)果.
對于(2),要求代數(shù)式的值,最基本的思路是先求出a、b的值,但求解困難并使問題復(fù)雜化.如果我們對代數(shù)式先進(jìn)行化簡或變形,然后把a(bǔ)+b與ab看作一個(gè)整體,進(jìn)行整體代入,則問題就會(huì)變得非常簡單.
【反思】在(1)中,同樣可以運(yùn)用降次的思想,把x2-1=2x轉(zhuǎn)化為x2=2x+1,再代入2x2-4x,得2(2x+1)-4x=2.
在(2)中,關(guān)鍵是將所給式用整體a+b、ab來表示.
這里用了常見的基本結(jié)論:
(a-b)2=(a+b)2-4ab或其變形.
例4(1)設(shè)a-b=3,b-c=-2,求代數(shù)式3(a-c)2+2(c-a)-5的值.
(2)已知a=2016x+20,b=2016x+19,c= 2016x+21,則a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是多少?
【分析】(1)已知條件中有三個(gè)字母a,b,c,無法求出它們的具體值,而所求式只與a-c整體有關(guān).故有:由a-b=3,b-c=-2得:
(2)若把a(bǔ),b,c直接代入式子,計(jì)算十分煩瑣.但從整體出發(fā),可迅速得到:
a-b=1,a-c=-1,b-c=-2.
而所求式可用完全平方公式改寫為:
【反思】兩小題我們都是用“整體思想”來審視條件和結(jié)論(式子),并找到了它們的“聯(lián)系點(diǎn)”,才使問題得到快速的解決.
(作者單位:江蘇省太倉市第二中學(xué))