薛秋萍
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整體出發(fā) 事半功倍
薛秋萍
我們常說,在一個集體中一定要有整體觀念,其實在數學問題的解決中,整體化的思想也是很重要的.從整體上把握解決問題的方向,往往可以尋找到突破口,避免繁雜的計算,收到事半功倍的效果.整體思想在本章中有廣泛的應用,現舉例說明.
例1計算:(1)(x+y-1)(x+y+1);
(2)(x-2y+z)(x+2y-z);
(3)(a-2b+3c)2.
【分析】(1)中是兩個三項式相乘,可以用乘法分配律進行運算,但比較麻煩.如將x+y看作一個整體,就可用公式;(2)中若把2y-z視為整體,那么-2y+z=-(2y-z);在(3)中,只要先將a-2b整體作為一項,就可直接用完全平方公式.
【反思】當相乘的多項式是兩個三項式,且除了符號其他都相同時,可以“整體”地把符號相同的看作一“項”,把符號相反的看成另一“項”;應用(3)的方法,很快就能得到一個重要而實用的公式:
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
例2分解因式:(x2-2x)(x2-2x+2)+1.
【分析】若把兩個二次多項式x2-2x、x2-2x+2相乘,則將得到一個四次多項式,這時再分解因式就十分困難.但若把x2-2x視為一個整體A,原式就變形為關于A的二次多項式,問題就容易解決了.
【反思】本題看似超出了學習的范圍,但當把x2-2x看作整體時,就轉化成了我們熟悉的二次三項式的簡單分解.
同學們可依此法分解:(x+1)(x+2)(x+ 3)(x+4)+1.
【提示】先分別計算(x+1)(x+4)和(x+ 2)(x+3),問題就轉變成了本例.
例3(1)已知:x2-1=2x,求(x-1)(3x+ 1)-(x+1)2的值.
(2)已知:a+b=7,ab=12.
求:a2+b2,(a-b)2的值.
【分析】對于(1),把式子作適當變形后把x2-2x看作一個整體,求出x2-2x=1,再將其代入化簡后的代數式很容易得到結果.
對于(2),要求代數式的值,最基本的思路是先求出a、b的值,但求解困難并使問題復雜化.如果我們對代數式先進行化簡或變形,然后把a+b與ab看作一個整體,進行整體代入,則問題就會變得非常簡單.
【反思】在(1)中,同樣可以運用降次的思想,把x2-1=2x轉化為x2=2x+1,再代入2x2-4x,得2(2x+1)-4x=2.
在(2)中,關鍵是將所給式用整體a+b、ab來表示.
這里用了常見的基本結論:
(a-b)2=(a+b)2-4ab或其變形.
例4(1)設a-b=3,b-c=-2,求代數式3(a-c)2+2(c-a)-5的值.
(2)已知a=2016x+20,b=2016x+19,c= 2016x+21,則a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是多少?
【分析】(1)已知條件中有三個字母a,b,c,無法求出它們的具體值,而所求式只與a-c整體有關.故有:由a-b=3,b-c=-2得:
(2)若把a,b,c直接代入式子,計算十分煩瑣.但從整體出發(fā),可迅速得到:
a-b=1,a-c=-1,b-c=-2.
而所求式可用完全平方公式改寫為:
【反思】兩小題我們都是用“整體思想”來審視條件和結論(式子),并找到了它們的“聯(lián)系點”,才使問題得到快速的解決.
(作者單位:江蘇省太倉市第二中學)