張曉東

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認(rèn)清本質(zhì) 靈活運(yùn)用 突破難點(diǎn)

張曉東

整式乘法和因式分解是在整式這部分內(nèi)容中最重要的兩個(gè)知識(shí)，要正確地運(yùn)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行整式乘法和因式分解，除了要理解定義內(nèi)涵之外，還要認(rèn)清整式乘法和因式分解的本質(zhì).下面就和同學(xué)們就這部分中的符號(hào)問(wèn)題、項(xiàng)數(shù)問(wèn)題、正確區(qū)分兩者之間關(guān)系及靈活運(yùn)用四方面的難點(diǎn)進(jìn)行剖析，希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助.

一、正確處理符號(hào)

例1計(jì)算：（-x-3y）（x-3y）.

【分析】要正確計(jì)算本題的關(guān)鍵是要處理好符號(hào)，把它變形成為完全符合平方差公式的形式.觀察發(fā)現(xiàn)第一個(gè)括號(hào)內(nèi)兩項(xiàng)都是負(fù)的，所以可以考慮提出負(fù)號(hào)，變形成為-（x+3y）（x-3y），這樣對(duì)應(yīng)到平方差公式中“a”就是x，“b”就是3y；從另外一個(gè)角度看，兩個(gè)括號(hào)內(nèi)3y項(xiàng)的符號(hào)相同、x項(xiàng)符號(hào)相反，所以可以考慮交換兩項(xiàng)位置讓其滿足平方差公式.

【點(diǎn)評(píng)】解答此類題目的關(guān)鍵是滿足公式的形式，符號(hào)上必須滿足和乘差才能運(yùn)用平方差公式.當(dāng)然，如果沒(méi)有看出可以變形后運(yùn)用公式，那就老老實(shí)實(shí)用整式乘法中多乘多的方法，一項(xiàng)一項(xiàng)相乘也是可以得到結(jié)果的.

例2計(jì)算：（-x-3y）2.

【分析】這個(gè)整式乘法明顯符合完全平方公式，在計(jì)算中關(guān)鍵是符號(hào)的處理.我們可以把它看成為-x與3y差的平方，亦可以利用（-a）2=a2這一恒等式，把式子轉(zhuǎn)化為（x+ 3y）2去計(jì)算.

【點(diǎn)評(píng)】此類問(wèn)題要求我們除注意公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)外，還要注意靈活處理式子中的符號(hào).

例3因式分解：-x2+16y2.

【分析】多項(xiàng)式有兩項(xiàng)，而且兩項(xiàng)是平方形式，形式看起來(lái)不符合公式的特點(diǎn)，但兩項(xiàng)符號(hào)是一正一負(fù)，所以只要調(diào)整兩項(xiàng)位置或提取負(fù)號(hào)，就可以用平方差公式進(jìn)行因式分解了.

【點(diǎn)評(píng)】平方差公式用來(lái)分解兩項(xiàng)的多項(xiàng)式，但多項(xiàng)式必須滿足兩項(xiàng)可以寫(xiě)成平方形式，且兩項(xiàng)符號(hào)要相反.只有通過(guò)相應(yīng)的調(diào)整及提取符號(hào)，將形式變?yōu)楹凸酵耆恢?，分解起?lái)才得心應(yīng)手.

二、正確尋找“a”與“b”

例4計(jì)算：（x+3y-4）（x-3y+4）.

【分析】本題是兩個(gè)三項(xiàng)式相乘，和公式不太匹配（公式中只有兩項(xiàng)），觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)括號(hào)中第一項(xiàng)符號(hào)完全相同，可以看成公式中的“a”，二、三項(xiàng)符號(hào)相反，我們可以把后兩項(xiàng)添括號(hào)后看成公式中的“b”，這樣就符合了平方差結(jié)構(gòu)特點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】?jī)蓚€(gè)公式中的“a”與“b”可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，在碰到三項(xiàng)乘三項(xiàng)時(shí)，我們要注意觀察符號(hào)的特點(diǎn)（一同兩反或一反兩同），通過(guò)添括號(hào)把三項(xiàng)轉(zhuǎn)化成兩項(xiàng)，進(jìn)而用公式進(jìn)行計(jì)算.

例5計(jì)算：（x+y-1）2.

【分析】若將其中兩項(xiàng)看成一項(xiàng)，即符合完全平方結(jié)構(gòu)，即數(shù)學(xué)中的“整體思想”的體現(xiàn).

【點(diǎn)評(píng)】此題還可以把后面兩項(xiàng)添括號(hào)得［x+（y-1）］2，再把x和（y-1）看成為公式中的“a”與“b”，兩種不同處理方法的本質(zhì)是一樣的，都是要把三項(xiàng)變?yōu)閮身?xiàng).有些同學(xué)錯(cuò)誤地把這類計(jì)算直接算成為x2+y2-1，這是把本題和積的乘方性質(zhì)混淆了.

三、靈活運(yùn)用整式乘法和因式分解

例6計(jì)算：（x-y）2-（x+y）2.

【分析】本題可以用完全平方公式將前后兩部分展開(kāi)，再進(jìn)行整式加減運(yùn)算.也可以把整個(gè)式子看成為x-y與x+y平方差形式，運(yùn)用平方差公式寫(xiě)成乘積形式后進(jìn)行合并，再去括號(hào).

解：方法一：

【點(diǎn)評(píng)】在動(dòng)筆做題前，大家首先要看清題目要求是計(jì)算，也就是最后結(jié)果中是沒(méi)有括號(hào)的.很多沒(méi)有看清楚的同學(xué)往往以為是因式分解問(wèn)題.當(dāng)然，方法一是本題的常規(guī)的做法，方法二是靈活的做法.

例7計(jì)算：512-51.1×50.9.

【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，將51.1和50.9分別寫(xiě)成51+0.1、51-0.1，就能產(chǎn)生平方差公式的結(jié)構(gòu).

【點(diǎn)評(píng)】靈活運(yùn)用整式乘法和因式分解是這部分的難點(diǎn)，本題的突破口在于要觀察到51.1和50.9的平均數(shù)正好是前面的底數(shù)51.如果用死算的方法做這道題，不僅計(jì)算量大，而且容易出錯(cuò).

四、處理好幾個(gè)代數(shù)式的關(guān)系

例8已知a+b=10且ab=4，求a2+b2.

【分析】此題求解的是與a2+b2有關(guān)的結(jié)論，已知條件為a+b=10，很自然會(huì)想到完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2.

【點(diǎn)評(píng)】解決好此類問(wèn)題的關(guān)鍵是要處理好“四兄弟”：a+b、a2+b2、ab及a-b之間的關(guān)系，常用的變形公式有：

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市沙溪實(shí)驗(yàn)中學(xué)）