潘淑淑（浙江省永嘉中學）

“方程的根與函數(shù)的零點”（高三二輪復習）

潘淑淑
（浙江省永嘉中學）

一、教材分析

“方程的根與函數(shù)的零點”是人教版A版必修1第三章“函數(shù)的應用”第一節(jié)內(nèi)容，主要內(nèi)容是函數(shù)零點的概念、函數(shù)的零點與相應方程根的關系、函數(shù)零點的存在性定理，函數(shù)零點個數(shù)的判定。本課揭示了方程與函數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系，這種聯(lián)系是函數(shù)與方程思想的理論基礎。

二、學情分析

學生已經(jīng)學習了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會畫簡單函數(shù)的圖象，會通過圖象研究、理解函數(shù)的性質(zhì)，這為學生理解函數(shù)的零點提供了幫助。

三、教學目標

1.了解函數(shù)零點的概念，理解函數(shù)零點與方程根的聯(lián)系，掌握零點存在的判定方法，能利用函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷某些函數(shù)的零點個數(shù)及所在區(qū)間。

2.體會函數(shù)與方程思想，數(shù)形結合思想，轉(zhuǎn)化與化規(guī)思想。

四、教學重點和難點

1.教學重點：了解函數(shù)的零點概念，掌握函數(shù)零點的存在性定理。

2.教學難點：準確理解零點的存在性定理。

五、課堂實錄

問：求函數(shù)f（x）的零點。

生1：x=0或x=2

師：我們復習一下函數(shù)的零點。

生2：對于函數(shù)y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）的零點。于是得到以下等價關系：函數(shù)y=f（x）的零點就是方程f（x）=0的實數(shù)根，就是函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標。

意圖：復習零點的概念，由函數(shù)零點的概念得出三個等價關系。

師：討論函數(shù)y=f（x）-a的零點個數(shù)。

當a=1時，函數(shù)y=f（x）-a有一個零點1；

當a＞1時，函數(shù)y=f（x）-a沒有零點；

當a＜1時，函數(shù)y=f（x）-a有兩個零點2-a和a。

生4：（數(shù)形結合）作出y=f（x）和y=a的圖象，討論這兩個圖象的交點個數(shù)，結論同上。

師：總結一下判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法。

意圖：理解函數(shù)零點的定義；求函數(shù)零點的個數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題；體會整體思想和轉(zhuǎn)化思想。

師：變式2：求函數(shù)y=f（x）·logx2-1的零點個數(shù)。

生6：令y=f（x）·logx2-1=0，得令f（x）=log2x，其中x＞0且x≠1作出y=f（x）和y=log2x，其中x＞0且x≠1的圖象，發(fā)現(xiàn)這兩個圖象只有一個交點，故函數(shù)y=f（x）·logx2-1只有1個零點。

師：證明關于x的方程f（x）=log2x，（其中x＞0且x≠1）只有一個根。

生7：令

當0＜x＜1時，log2x＜0，此時g（x）＞0，∴y=g（x）在（0，1）沒有零點；

當x＞1時，y=g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，又g（1）=1＞0，

g（2）=-1＜0，由零點的存在性定理知y=g（x）在（1，+∞）上只有1個零點。

∴y=g（x）在（0，+∞）上只有1個零點，結論得證。

意圖：復習零點的存在性定理；求零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化函數(shù)圖象交點個數(shù)問題。

師：變式3：對任意的t∈［2，4］時，關于x的方程f（x）= log2t+a總有兩個不同的實根，求實數(shù)a的范圍。

生8：轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域之間的包含關系。

當t∈［2，4］時，log2t+a∈［1+a，2+a］，∴2+a＜1∴a＜-1

練習：已知函數(shù)g（x）是定義在R上的奇函

意圖：使學生對方程的根與函數(shù)的零點相關問題有進一步的認識，培養(yǎng)其獨立思考和自主探索的習慣。

總結：知識和思想方法。

意圖：使學生對所學的知識有比較全面的認識，有利于學生知識網(wǎng)絡的構建，在培養(yǎng)概括能力的同時，也能對課堂的教學效果進行反饋。

六、教后反思

本節(jié)課借助這一道題，復習了“方程的根與函數(shù)的零點”的所有內(nèi)容。內(nèi)容設計層次深入，分段進行，又環(huán)環(huán)相扣，使學生在接受知識、探究問題的過程中能有一個逐步積累深入、螺旋上升的發(fā)展。借助這一道題把本節(jié)課的重點知識進行復習，尤其是對零點的存在性定理的應用比較靈活。本節(jié)課還注重思想方法的滲透，如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、整體思想等多種思想方法。

浙江省特級教師議課：

本節(jié)課內(nèi)容設計由淺入深，課堂對話非常真實。課堂的主體意識很強，給學生足夠的思考時間，學生積極參與課堂，讓學習指導課堂，而不是讓老師指導課堂。能把握本節(jié)課的重點：求函數(shù)的零點，判斷函數(shù)零點的個數(shù)，把求函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)圖象的交點問題，存在性定理的靈活應用。注重提煉學習方法，變式教學，練高考題。

·編輯楊國蓉