杜巖（甘肅省涇川縣第一中學(xué)）

新課標(biāo)下高考三角函數(shù)考點(diǎn)追蹤

杜巖
（甘肅省涇川縣第一中學(xué)）

課標(biāo)卷與大綱卷高考數(shù)學(xué)試題有較大變化，其中三角函數(shù)部分比較明顯，追蹤新課標(biāo)下高考三角函數(shù)試題，進(jìn)行仔細(xì)分析，研究考點(diǎn)變化，總結(jié)高考規(guī)律，必將提高復(fù)習(xí)的實(shí)效性。

新課標(biāo)；高考三角函數(shù)；考點(diǎn)追蹤

一、新課標(biāo)下三角函數(shù)試題的特點(diǎn)

新課標(biāo)卷高考數(shù)學(xué)文理科試題差異明顯，文科注重考查基礎(chǔ)知識(shí)，理科則是知識(shí)與能力考查并舉；試題的呈現(xiàn)形式靈活多樣，沒有固定的模式；分值大致穩(wěn)定在20分左右，必做題15分左右，選做題5分左右；在第（17）題出現(xiàn)三角函數(shù)題，一般都會(huì)對(duì)學(xué)生的個(gè)性品質(zhì)和心理素質(zhì)進(jìn)行考查。

二、新課標(biāo)下三角函數(shù)試題的考點(diǎn)追蹤

1.三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)

三角函數(shù)的定義，五點(diǎn)法作圖，圖象變換，根據(jù)部分圖象求函數(shù)解析式；值域（最值），周期性，奇偶性，單調(diào)性，圖象的對(duì)稱性；含有參數(shù)的三角函數(shù)問題；在知識(shí)交匯處命題，綜合性較強(qiáng)，思維含量較高，需要仔細(xì)審題，方可準(zhǔn)確解答。

點(diǎn)評(píng)：實(shí)際問題建立三角函數(shù)模型，由解析式選擇相應(yīng)圖象，是選擇題考應(yīng)用題的亮點(diǎn)，難點(diǎn)是準(zhǔn)確理解題意并寫出正確的函數(shù)解析式。

考情匯總：2007至2015年均考到，出現(xiàn)在選擇題、填空題中。

2.三角恒等變換

恒等變換是三角函數(shù)的核心內(nèi)容，是高考的熱點(diǎn)，每年必考。試題靈活性大，能力要求較高。常常以三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值形式出現(xiàn)，常與三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)結(jié)合，也與解三角形聯(lián)系在一起考查?？疾橥侨呛瘮?shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式及其變形應(yīng)用。

【例2】設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=____________.

點(diǎn)評(píng)：兩種方法，各有特點(diǎn)，法一比較靈活，法二思路簡(jiǎn)單，運(yùn)算麻煩。

考情匯總：2007至2015年均有考查，大多數(shù)出現(xiàn)在小題中。3.三角形中的三角函數(shù)問題

這類題?？汲Ｐ拢咙c(diǎn)紛呈。常以三角形為載體，考查正、余弦定理，三角形面積公式，平面幾何中重要的定理，三角公式的靈活運(yùn)用，凸顯三角函數(shù)的實(shí)用性。在（17）題中出現(xiàn)時(shí)，已成為解答題能否取得高分的分水嶺，與以往的三角題相比，突出思維含量，減少了運(yùn)算量。對(duì)恒等變換、邏輯推理、數(shù)據(jù)處理以及遇到障礙時(shí)繞過障礙重新選擇思路等方面的能力要求較高，同時(shí)還有函數(shù)與方程思想，考生的個(gè)性心理品質(zhì)的考查。

思路一，在△ADC和△ADB中由余弦定理求出AC和AB，在△ABC中利用余弦定理求解，運(yùn)算量大，甚至?xí)龅接?jì)算障礙，仔細(xì)計(jì)算才能得出結(jié)果∠BAC=60°。

思路二，建立如圖所示的坐標(biāo)系，可用兩向量的夾角公式求解，但是在計(jì)算中也會(huì)遇到和思路一同樣的麻煩。

點(diǎn)評(píng)：本題是檢測(cè)考生的心理素質(zhì)的經(jīng)典題，這也是新課標(biāo)下高考三角函數(shù)題的顯著特點(diǎn)，《考試說明》中明確指出當(dāng)考生遇到運(yùn)算障礙時(shí)要能調(diào)整運(yùn)算思路繞過障礙，法三是充分發(fā)揮了平面幾何中作輔助線的方法，另辟蹊徑，巧妙求解，值得重視。

【例4】已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為_________。

當(dāng)且僅當(dāng)2B-30°=90°，B=60°時(shí)S△ABC取最大值。

點(diǎn)評(píng)：三角形面積最值的求解策略基本有兩種方法：建立函數(shù)模型求解，利用不等式求解。法一通過解三角形，建立關(guān)于三角函數(shù)模型，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值，滲透函數(shù)思想；法二借助于基本不等式來求最值，不失為上策。

考情匯總：2007至2015年均可見到解三角形問題，選擇題、填空題、解答題中都出現(xiàn)過。

4.坐標(biāo)系與參數(shù)方程

新課標(biāo)下對(duì)三角函數(shù)的考查也經(jīng)常出現(xiàn)在三選一的解答題（23）題中，也是大多數(shù)考生首選的題。常見曲線的參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程都與三角函數(shù)緊密相關(guān)，一般考生能順利解答第一問，第二問就比較困難。若能準(zhǔn)確理解參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，極坐標(biāo)方程的意義，充分發(fā)揮三角函數(shù)的工具性作用，則可以輕松求解，穩(wěn)妥得分。

（1）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；

直線l的普通方程為2x+y-6=0。

（1）求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

解析：（Ⅰ）略。

（Ⅱ）曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ=α（ρ∈R，ρ≠0），（其中0≤α＜π）

點(diǎn)評(píng)：這兩道題都涉及了求兩動(dòng)點(diǎn)之間距離的最值問題，例5利用橢圓的參數(shù)方程借助于三角函數(shù)求最值；例6只需要將曲線C1的普通方程化成極坐標(biāo)方程θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用極坐標(biāo)方程求解顯得簡(jiǎn)便。

考情匯總：2007至2015，每年在（23）中均出現(xiàn)，而且靈活性越來越大，不是想象的送分題了，解答須謹(jǐn)慎。

三、備考建議

新課標(biāo)下的高考試題既肩負(fù)著為高校選拔優(yōu)秀新生的重任，又指引著高中階段的教學(xué)。研究新課標(biāo)，研究新考綱，研究高考題是高考備考的基本環(huán)節(jié)。高考試題變化莫測(cè)，如果仔細(xì)研究高考試題，還是可以發(fā)現(xiàn)高考規(guī)律的，認(rèn)真研究近幾年新課標(biāo)全國卷的數(shù)學(xué)試題，在復(fù)習(xí)中可以起到事半功倍的效果。筆者認(rèn)為凡是以往考過的經(jīng)典試題就值得仔細(xì)研究，反復(fù)琢磨，直到弄清出題人的意圖；合理利用復(fù)習(xí)資料，注意提取精華，充分挖掘課本中可能出現(xiàn)的高考題；注重思維訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生的智力，提高分析問題與解決問題的能力，提煉數(shù)學(xué)思想與方法。真正把新課改與新高考結(jié)合起來，切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以不變應(yīng)萬變，方可在高考中取得可喜的成績。

孫琳.新課標(biāo)下高考中的三角函數(shù)解題研究［D］.西北大學(xué)，2015.

·編輯薛直艷