長沙市麓谷中心小學(xué)數(shù)學(xué)組　瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

“觀察物體（三）”教學(xué)研究報告

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一、問題

幾何學(xué)作為一門學(xué)科，歷史悠久。歐氏幾何曾經(jīng)統(tǒng)治幾何2000多年，近代以來，人們對歐氏幾何作為中小學(xué)幾何課程內(nèi)容的地位和價值的爭論從未中斷。但無論如何，空間想象能力的培養(yǎng)一直是認(rèn)同一致的幾何教學(xué)目標(biāo)。曹才翰先生認(rèn)為，空間想象能力是以現(xiàn)實世界為背景，對幾何表象進(jìn)行加工改造，創(chuàng)造出新的形象的能力。他同時認(rèn)為，空間想象能力提法的要求較高（對初中生而言都太高），建議提空間觀念。

課標(biāo)關(guān)于空間觀念內(nèi)容的表述，第一條即是“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體”。教材中“觀察物體”的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容是為了讓學(xué)生在空間觀念上獲得發(fā)展。三維圖形與二維圖形之間的相互轉(zhuǎn)換是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的主要途徑，“觀察物體（三）”就是借助小正方體的組合圖形來實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)換。這個內(nèi)容在初中階段的教學(xué)目標(biāo)為“學(xué)會根據(jù)物體的三視圖描述出幾何體的基本形狀或?qū)嵨镌?，?jīng)歷探索簡單的幾何體的三視圖的還原”，在高中階段的教學(xué)目標(biāo)則為“學(xué)會繪制簡單的三視圖”。

在新編的人教版小學(xué)教材中，關(guān)于觀察物體這一內(nèi)容的具體編排分為三個層次：第一層次，從不同角度觀察實物和單個的立體圖形；第二層次，從三個不同的位置觀察同一個幾何組合體，辨別看到的形狀；第三個層次，根據(jù)從一個方向看到的形狀圖拼擺幾何組合體，之后根據(jù)從三個方向看到的形狀圖拼擺幾何組合體。其中，前兩個層次都是三維空間到二維平面的轉(zhuǎn)換，第三個層次是從二維平面到三維空間的轉(zhuǎn)換。

第三個層次的內(nèi)容“觀察物體（三）”是新人教版教材增加的內(nèi)容。這一內(nèi)容的教和學(xué)都缺少經(jīng)驗可循，對教師而言是一種新的嘗試。首先，它是第二個層次的逆向思維過程，是以第二個層次的知識和能力發(fā)展達(dá)到應(yīng)有的水平為學(xué)習(xí)前提的。其次，在第三個層次的教學(xué)中，我們要讓學(xué)生理解，一個視圖只能反映物體的一個方位的結(jié)構(gòu)形狀，不能完整地反映物體的結(jié)構(gòu)形狀，如果運(yùn)用從三個不同方向?qū)ν粋€物體進(jìn)行投射的結(jié)果（即三視圖），學(xué)生基本能完整地表示出物體的結(jié)構(gòu)形狀。

1.教之困

（1）學(xué)生習(xí)慣了從空間實物到平面圖形的想象方式，現(xiàn)在需要進(jìn)行逆向思維，將用平面圖形的方式呈現(xiàn)的立體圖形還原為立體的實物圖形，跨越比較大，教學(xué)的時候有難度。

（2）教學(xué)中是否要從中尋找規(guī)律，尋求解答題目的最佳途徑。這樣做，從數(shù)學(xué)方法論的角度來說，能夠鍛煉學(xué)生的最優(yōu)化的思想，提高做題效率，但卻與三視圖本身的應(yīng)用沒有關(guān)系。

2.學(xué)之難

（1）從三維空間到二維平面的轉(zhuǎn)換要以較強(qiáng)的空間想象能力作為基礎(chǔ)，還需要突破錯覺，對基礎(chǔ)薄弱的孩子來說，可能要經(jīng)歷多次失敗的操作才能獲得正確的答案。

（2）在課堂中，存在著三視圖（主視圖、俯視圖、左視圖）、在平面上畫出的立體圖形、實物立體圖形等幾何形式，學(xué)生在學(xué)習(xí)之前就應(yīng)具備相應(yīng)的轉(zhuǎn)換能力，能將用平面圖形的方式呈現(xiàn)的立體圖形和實際擺放的立體組合圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

（3）三視圖是工程界一種對物體幾何形狀約定俗成的抽象表達(dá)方式，我們的教學(xué)僅僅是一個啟蒙，因此，使用的圖形也是規(guī)則的立體組合圖形。對學(xué)有余力的孩子，教學(xué)時可否將知識進(jìn)一步滲透？

3.對問題的分析

（1）例1和例2之間需要架設(shè)橋梁，使它們的教學(xué)目標(biāo)一致。作為新編入的教材內(nèi)容，對教材的再加工是值得探討的問題。對于例1，可以探討的方向有兩個，第一個方向是，已知主視圖，用固定數(shù)量的小正方體擺相應(yīng)的立體圖形，可以有多種擺法；第二個方向是，在已知主視圖和左視圖的情況下，研究需要的小正方體的個數(shù)。這兩個方向都有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。在充分研究例2以后，我們決定還是從第一個方向著手，使例1與例2的教學(xué)目標(biāo)相對一致。由此學(xué)生也能理解到，只有一種或者兩種視圖都無法確定所能擺出的立體圖形的唯一性。只有給出三種視圖才可以確定所擺的立體圖形的唯一性。

（2）學(xué)生學(xué)習(xí)遇到困難的客觀原因來自于操作的缺失。要發(fā)展學(xué)生在平面圖形和立體圖形之間的轉(zhuǎn)換能力，必須通過畫圖及操作等手段實現(xiàn)。在這個內(nèi)容的教學(xué)中，操作的作用舉足輕重?？墒?，有些教師由于主觀上認(rèn)識不夠，加上學(xué)具缺乏，操作往往成了教師的演示，學(xué)生沒有機(jī)會動手。因此，準(zhǔn)備足夠的標(biāo)準(zhǔn)學(xué)具，留出充分的時間讓學(xué)生動手操作，是解決這個課時學(xué)習(xí)困難的有效策略。

（3）生生互動不夠也是造成學(xué)生理解和想象不透徹的原因之一。學(xué)生與學(xué)生之間的協(xié)作、辯論、質(zhì)疑和評價能夠激發(fā)學(xué)生更大的學(xué)習(xí)熱情，促使對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行更加深入的探討。因此，課堂應(yīng)該給學(xué)生充分的時間思考、質(zhì)疑、辯論、評價，教師適時引導(dǎo)，幫助學(xué)生拓展知識的深度和廣度。

基于以上認(rèn)識和對問題的分析，我們在教學(xué)這一內(nèi)容時對培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和思維能力作了一些嘗試。

二、實踐

1.基于已知正視圖擺出立體圖形的教學(xué)嘗試。

片段實錄

生1擺出圖形。

師：大家覺得他擺得對嗎？

生2：他的擺法可以，我認(rèn)為還可以把第一排的第一個小正方體擺在第二個小正方體的前面，也可以擺在第三個小正方體的前面，所以一共有3種擺法（如圖：）。

生3：我來補(bǔ)充，先用3個小正方體擺一排，再將剩余的這個小正方體擺在第一個小正方體的后面，也可以擺在第二個小正方體的后面，還可以擺在第三個小正方體的后面，也是3種擺法。加上之前的3種擺法，一共有6種。

師：說得真好，這樣有序思考，能夠做到既不重復(fù)也不遺漏。剛才你們把4個小正方體分成了兩排來擺，一排有3個，一排有1個，那我們就將它們分別稱為“一三型”擺法和“三一型”擺法。那只有這6種擺法嗎？

生4：有無數(shù)種。

師：真的有無數(shù)種嗎？請你上臺擺擺看。

生4將第四個小正方體擺在第一個和第二個小正方體后面的中間。

生5：只要是在第一個和第三個之間的后面來回移動都可以，有無數(shù)種擺法。

生6：我覺得不一定要緊挨著第一個小正方體的后面，一直垂直往后面擺都可以。也有無數(shù)種擺法。

師：是啊，如果按照你們說的這樣擺，會有無數(shù)種擺法。但我們現(xiàn)在只研究棱和棱重合的拼擺情況，不涉及錯開的情況。

生7：那就只有6種擺法。

師：其他同學(xué)還有什么問題嗎？

生8：剛才老師講了可以是棱和棱的重合。那我把最左邊的兩個往后挪，挪成這個樣子：，這應(yīng)該是一種新的擺法了吧？

師：誰來評價一下這種擺法？

生9：我認(rèn)為是對的，從正面看是。

師：大家都請認(rèn)真看一看。剛才我們有“一三型”“三一型”，他這個擺法可以稱為什么型呢？

生10：“二一一型”。

生11：還可以擺出“一二一型”“一一二型”。

師：請大家動手?jǐn)[擺看。（學(xué)生操作）還有別的擺法嗎？

生12：還有“二二型”。

師：這樣要怎么擺？

生12擺出和等形狀。

師：4個小正方體可不可以擺成“一一一一型”呢？

生13操作，擺出。

生14：不對，從正面看是4個正方形了。但是可以調(diào)整成“一一二型”。

師：那擺法有多少種，可以統(tǒng)計嗎？（可以）不過，我們今天不是研究有多少種擺法，而是要從中知道，光憑從正面看，我們無法確定一個立體圖形的唯一性。那么光從側(cè)面看，能不能確定一個立體圖形的唯一性呢？

生15：也不可以，因為只是換了一個方向而已。

設(shè)計意圖：從探索“一三型”的擺法開始，引導(dǎo)學(xué)生通過思考和實踐遷移到其他如“二一一型”等的擺法，把最后的落腳點(diǎn)放在得出“只有一個視圖無法確定立體圖形的唯一性”上。

2.基于已知正視圖和左視圖擺出立體圖形的教學(xué)嘗試。

片段目標(biāo)：學(xué)生通過想象和操作，用5個小正方體擺出正視圖為，左視圖為的圖形，并且通過觀察和想象，得出能擺出的其他圖形的樣子，利用動手操作進(jìn)行驗證，進(jìn)一步培養(yǎng)空間想象能力。

片段實錄

師：如果再增加一個同樣大小的小正方體，要保證從正面看到的形狀也是，你可以怎樣研究它的擺法呢？

生1：我可以將5個小正方體分成幾份進(jìn)行嘗試，和剛才研究4個小正方體的擺法差不多。

師：具體的操作我們現(xiàn)在就不進(jìn)行了。有興趣的同學(xué)下課以后可以研究，看看到底有多少種擺法。如果增加一個條件，規(guī)定擺出的圖形從左面看必須是，可以怎樣擺？會有多少種擺法呢？請大家先仔細(xì)想想該怎么做。

生2：我們可以從正面是的圖形里面挑選出從左面看是的圖形。

師：他這種方法，你們是怎么理解的？

生3：我覺得應(yīng)該先擺好從正面看是的 3個小正方體，然后進(jìn)行調(diào)整。

師：請大家動手?jǐn)[一擺吧。

學(xué)生動手操作。教師請兩位同學(xué)上臺展示各自的擺法（如下圖所示），并且說一說自己是怎么擺的。

師：他們的擺法不一樣，都符合條件嗎？

生（齊）：符合。

師：看樣子，規(guī)定兩個方向看到的平面圖形，我們還是可以擺出不一樣的立體圖形來。那再增加一個條件：從右邊看是的圖形，會怎么樣呢？

生4：從右邊看和從左邊看是一樣的，所以擺法跟剛才的結(jié)果相同。

師：那么，有沒有一種可能，我們給出足夠的條件，就能擺出唯一的立體圖形呢？

設(shè)計意圖：本片段我們對教材進(jìn)行了創(chuàng)新，使之能夠在例1和例2之間起到承接的作用。這樣一來，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生知道了已知兩個視圖也無法確定立體圖形的唯一性，從而進(jìn)一步思考已知三個視圖是否就可以確定立體圖形的唯一性。

3.基于已知正視圖、左視圖和俯視圖三個視圖擺出立體圖形的教學(xué)嘗試。

片段目標(biāo)：學(xué)生通過思考和想象，探索怎樣根據(jù)三視圖確定立體圖形，培養(yǎng)空間想象能力和動手操作能力，以及分析和解決問題的能力。

片段實錄

師：你覺得給出從幾個方向看到的平面圖形，能大致確定一個立體圖形？

生1：前后看是一樣的，左右看是一樣的，應(yīng)該是增加一個上下看的圖形，就差不多可以確定了。

師：那好，這里分別給出了從正面、左面、上面看到的圖形，你能用小正方體擺出原來的形狀嗎？（出示教材例2，如下圖）請大家先想象一下怎樣擺，可能需要幾個小正方體，再和同桌交流你的思路。

學(xué)生先想象，然后跟同桌交流，再進(jìn)行動手操作。

師：擺好以后，請從三個方向觀察，驗證你擺出的立體圖形是否正確。然后在紙上畫一畫，畫完后和給出的條件對比一下，再展示你們的作品。

學(xué)生驗證后展示作品。

師：我發(fā)現(xiàn)大家都擺得一模一樣。說說你是怎樣擺的？說之前，我們先看看在研究上是怎樣給從這幾個方向看到的平面圖形命名的。從正面看到的，是主視圖（板書：主視圖）；從左面看到的，是左視圖（板書：左視圖）；從上面看到的，是俯視圖（板書：俯視圖）。

生2：我先根據(jù)正視圖擺出從正面看到的2個小正方體；再看左視圖，發(fā)現(xiàn)還要添1個小正方體，有可能是添在后面，也有可能是添在前面；最后看俯視圖，發(fā)現(xiàn)要添1個小正方體在后面。

生3：我和他的思路不一樣。我是先看俯視圖，每個位置擺1個小正方體，然后觀察，發(fā)現(xiàn)從正面看符合主視圖，從左面看也正好符合左視圖。這樣容易一些。

師：你們分別用了幾個小正方體？

生（齊）：3個。

師：這兩個同學(xué)的思路不一樣，可是擺出的結(jié)果卻是一樣的。由此我們可以猜測，根據(jù)給出的三視圖，用小正方體擺出相應(yīng)的幾何組合體，擺法是唯一的。那到底是不是唯一的呢？我們還只研究了一個例子，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，所以我們只能說，可能是唯一的。

師小結(jié)：這節(jié)課我們分別根據(jù)一個視圖、兩個視圖、三個視圖擺立體圖形，發(fā)現(xiàn)根據(jù)一個視圖、兩個視圖進(jìn)行拼擺，擺法多種多樣，也了解到根據(jù)三個視圖擺立體圖形可能是唯一的、確定的。你們擺出了經(jīng)驗，總結(jié)了方法，請你們記住這個經(jīng)驗，之后將它們應(yīng)用到練習(xí)當(dāng)中去。

三、討論

本節(jié)內(nèi)容旨在通過學(xué)生的動手操作和發(fā)揮空間想象能力，實現(xiàn)從二維平面到三維空間的轉(zhuǎn)化，突破學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。我們創(chuàng)造性地運(yùn)用了教材，理出了一條主線，即引導(dǎo)學(xué)生從探索已知一個視圖的立體圖形的擺放，過渡到已知兩個視圖的立體圖形的擺放，再落腳到已知三個視圖的立體圖形的擺放。在這個過程中，學(xué)生比較好地理解了已知三個視圖的立體圖形的擺放方法，也在想象與操作中獲得了能力的提升和學(xué)習(xí)的快樂。在教學(xué)完成以后，我們也進(jìn)行了認(rèn)真的反思。

1.本節(jié)課中，我們只讓學(xué)生感受了兩點(diǎn)：一是已知一個視圖時擺法的多樣，且可以遵循一定的規(guī)律來擺，至于到底有多少種擺法，是怎樣的規(guī)律，我們沒有深入研究或者說總結(jié)；二是已知兩個視圖時，擺法變少了，少成什么樣，我們也沒有總結(jié)。我們的思考是，這些結(jié)論和規(guī)律偏離了預(yù)設(shè)的課堂教學(xué)目標(biāo)，因此進(jìn)行了舍棄。

2.從時間和容量上來說，我們無法在本堂課進(jìn)行練習(xí)。再進(jìn)行教學(xué)時，我們可能會將這一課時的內(nèi)容拆分成兩個課時或者三個課時，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行充分的挖掘和研究。其一，可以將已知一個視圖擺圖形的方法研究作為方向來深入探究；其二，可以充分拓展：已知兩個視圖，在已有的規(guī)則下，我們用小正方體擺與之符合的立體圖形，需要多少個小正方體呢？其三，絕大多數(shù)的凹形立體圖形即使有了三視圖也無法確定其唯一性，那么在用小正方體擺立體圖形的時候，增加什么條件能確定其唯一性呢？這個也是可以帶領(lǐng)學(xué)生探討的。

3.關(guān)于三視圖的內(nèi)容，在小學(xué)、初中、高中三個階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中都有安排，而三視圖的概念是在高中階段才學(xué)習(xí)的，用投影來定義。顯然，我們無法在小學(xué)階段讓學(xué)生理解。但是，為了學(xué)習(xí)的方便，是否可以引入主視圖、俯視圖、側(cè)視圖這三個名詞？是否可以像我們的課堂這樣，先讓學(xué)生形象地認(rèn)為從上面看，看到的圖形就大致等同于俯視圖？從左邊看，看到的圖形就大致等同于左視圖？從正面看，看到的圖形就大致等同于正視圖？

（執(zhí)筆：王樹坤、李小珍、何琴）