羅　凱　吳　瑩

(廣州大學(xué)松田學(xué)院，廣東　廣州　511370)

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相關(guān)性分析
——一個(gè)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的視角

羅凱吳瑩

(廣州大學(xué)松田學(xué)院，廣東廣州511370)

摘要：本文從概率論的兩個(gè)例子出發(fā)構(gòu)造了兩組數(shù)據(jù)，通過分析得到了決定樣本相關(guān)系數(shù)大小的一個(gè)因素——解釋變量的取值分布是否對稱，解釋了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中相關(guān)性的含義，并給出了一個(gè)不相關(guān)但不獨(dú)立的例子。

關(guān)鍵詞：相關(guān)性；獨(dú)立；對稱

1.引言

在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，相關(guān)性是一個(gè)很重要的概念，在一般的線性回歸模型中，解釋變量與被解釋變量呈現(xiàn)出的便是一種相關(guān)關(guān)系。計(jì)量軟件一般不會直接給出度量相關(guān)性的統(tǒng)計(jì)量，但會給出一個(gè)與之聯(lián)系甚為緊密的結(jié)果——可決系數(shù)。雖然在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，相關(guān)系數(shù)與可決系數(shù)所表示的含義大相徑庭，但兩者的聯(lián)系如此緊密，以至于我們乍看時(shí)會有些許驚訝。具體一點(diǎn)說，如果我們用r表示相關(guān)系數(shù)，那么可決系數(shù)則為r2，用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的語言：

所以我們可以用可決系數(shù)的大小來分析相關(guān)系數(shù)的某些特征，但在此之前，我們先引入兩個(gè)具體的例子。

2.兩個(gè)例子

例1.設(shè)X～U(-1,1)，即X服從區(qū)間(-1,1)上的均勻分布，則其密度函數(shù)為：

因此：

再令Y=X2，則：

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

=E(X·X2)-E(X)E(X2)

=E(X3)-E(X)E(X2)

=0

顯然，這里X與Y不相關(guān)。

例2.假設(shè)X～U(0，1)，即X服從區(qū)間(0，1)上的均勻分布，則其密度函數(shù)為：

因此：

再令Y=X2，則：

顯然，這里X與Y并非不相關(guān)。

下面我們將應(yīng)用這兩個(gè)例子。

3.應(yīng)用

利用上面的結(jié)論我們可以相應(yīng)地構(gòu)造出兩組數(shù)據(jù)：

X0.40.30.20.100.10.20.30.4Y0.160.090.040.0100.010.040.090.16

X00.10.20.30.40.50.60.70.8Y00.010.040.090.160.250.360.490.64

另外，我們還得到了一個(gè)不相關(guān)但卻不獨(dú)立的例子。很明顯，第一組數(shù)據(jù)不獨(dú)立，但它們卻是不相關(guān)的。我們還可以嚴(yán)格地證明這一點(diǎn)，也就是說，對于例1，我們可以證明：

P(X

其實(shí)我們可以求出隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：

隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)為

所以：

P(X

而隨機(jī)向量(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為：

從而P(X

至此，我們證明了我們的結(jié)論：兩個(gè)變量不相關(guān)并不意味著獨(dú)立。

參考文獻(xiàn)：

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[2]茆詩松，程依明，濮曉龍.2011.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].第二版.北京：高等教育出版社.

[3]嚴(yán)士健，王雋驤，劉秀芳.2009.概率論基礎(chǔ)[M].第二版.北京：科學(xué)出版社.