柴志遠(yuǎn)

一、引言

在討論研究多元函數(shù)的有關(guān)理論和概念時(shí)，重要是研究二元函數(shù)，因?yàn)槎瘮?shù)所討論的一切結(jié)論都能相應(yīng)的推廣到n（n>2）元函數(shù)上去，二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域的重要屬性的一個(gè)基本概念，它刻畫了當(dāng)自變量趨向于某一個(gè)定值時(shí)，函數(shù)值的變化趨勢，是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的問題，本文就是主要討論二元函數(shù)極限問題，重要研究二元函數(shù)各種極限之間的關(guān)系.

二、預(yù)備知識(shí)

定義1：設(shè)二元函數(shù)f（x，y）在平面點(diǎn)集D上有定義，（x0，y0）為D的聚點(diǎn)，A為常數(shù)，若？坌ε>0，？堝？啄>0使得：？坌（x，y）∈D，當(dāng)0<<？啄時(shí)；或？坌（x，y）∈D，當(dāng)x-x0<？啄，y-y0<？啄，且（x，y）≠（x0，y0）時(shí)，有f（x，y）-A<ε成立，則稱A為f（x，y）在點(diǎn)，f（x0，y0）的二重極限，記為f（x，y）=A.

定義2：設(shè)Ex？奐R，Ey？奐R，x0為Ex的聚點(diǎn)，y0為Ey的聚點(diǎn)，二元函數(shù)f（x，y）在平面Ex×Ey點(diǎn)集上有定義，若？坌y∈Ey，極限f（x，y）=？漬（y）存在，又若極限？漬（y）=B存在，則稱B為二元函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）先x后y的累次極限，記為f（x，y）=B.若？坌x∈Ex，極限f（x，y）=？漬（x）存在，又若極限？漬（x）=C存在，則稱C為二元函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）先y后x的累次極限，記為f（x，y）=C.

定義3：設(shè)二元函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）某空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，取α∈[0，2π]，若極限f（x0+ρcosα，y0+ρsinα）=Dα存在，則稱Dα為f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）沿方向（cosα，sinα）的方向極限.

定義4：設(shè)二元函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）某空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，？坌α∈[0，2π]，若極限f（x0+ρcosα，y0+ρsinα）=D存在且相等，則稱D為f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）的弱二重極限.

定義5：設(shè){Pn（xn，yn}是平面上的一個(gè)無窮點(diǎn)列.我們稱{Pn}以點(diǎn)P0為極限即有Pn=P0.意思是說：？坌ε>0，？堝N>0，當(dāng)n>N時(shí)，恒有Pn-P0<ε成立.我們很容易證明：Pn（xn，yn）→P0（x0，y0）當(dāng)且僅當(dāng)xn→x0，yn→y0（當(dāng)n→∞時(shí)）.

三、二元函數(shù)各種極限之間的關(guān)系

二元函數(shù)各種極限之間的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，往往由一種極限的存在不能推出另一種極限存在.

1.二重極限與弱二重極限的關(guān)系

定理1：若（強(qiáng)）二重極限存在，則弱二重極限存在；若弱二重極限存在，則（強(qiáng)）二重極限不一定存在.

2.兩個(gè)累次極限之間的關(guān)系

（1）一個(gè)存在不能斷定另一個(gè)存在，或者兩個(gè)都不存在.

（2）兩個(gè)累次極限都存在，但不相等.

3.二重極限與累次極限的關(guān)系

二重極限與累次極限之間的關(guān)系是一個(gè)比較復(fù)雜的問題.

結(jié)論1：由二重極限存在，不能保證累次極限的存在；由兩個(gè)累次極限的存在，即使相等，也不能保證二重極限的存在.

那么在重極限和累次極限之間是否毫無關(guān)系可尋呢？并非如此，有下面的定理：

定理2：如果函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）存在二重極限，設(shè)f（x，y）=A，而它的累次極限也存在，且有f（x，y）=B，則A=B，即f（x，y）=f（x，y）.

由這個(gè)定理可得兩個(gè)推論：

推論1：當(dāng)f（x，y）→（x0，y0）時(shí)，如果f（x，y）的重極限和它的兩個(gè)累次極限都存在，那么這些極限都相等，即等式f（x，y）=f（x，y）=f（x，y）.

推論2：如果兩個(gè)累次極限都存在，但不相等，那么二重極限不存在，例如，函數(shù)f（x，y）=，當(dāng)（x，y）→（0，0）時(shí)，兩個(gè)累次極限存在但不相等：A21=-1，A12=1，所以極限不存在.

結(jié)論2：由二重極限和兩個(gè)累次極限存在，可以得出三者相等；若兩個(gè)累次極限都存在，但不相等，則二重極限不存在.

4.二重極限與方向極限之間的關(guān)系

由二重極限與方向極限的定義可知，方向極限是二重極限的特殊情形，即二重極限存在方向極限必存在，但其逆并不成立.即使f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處沿任何方向（cosα，cosβ）都有等于A的極限，也不能保證二重極限存在.

結(jié)論3：二重極限存在是方向極限存在的充分條件，但并非必要條件.而方向極限存在又是二重極限存在的必要條件，那么方向極限不存在，或沿任何兩個(gè)不同方向的方向極限存在而不相等，則可得出二重極限不存在.

5.累次極限與方向極限的關(guān)系

一般的說，二者沒有什么關(guān)系，特別注意，累次極限絕不是方向極限的特例，即是說f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處沿任何方向有等于A的極限，而累次極限也可能不存在.

結(jié)論4：兩個(gè)累次極限存在相等，也不能保證方向極限的存在，當(dāng)二重極限，累次極限都存在，方向極限必存在，而且三者相等.

二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的一個(gè)基本概念，比起一元函數(shù)的極限無論從計(jì)算還是證明都具有更大的難度，尤其是二元函數(shù)各種極限之間的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，本文總結(jié)了兩個(gè)二重極限之間的關(guān)系、兩個(gè)累次極限之間的關(guān)系、二重極限與累次極限之間的關(guān)系、二重極限與數(shù)列極限之間的關(guān)系、二重極限與方向極限之間的關(guān)系、以及累次極限與方向極限之間的關(guān)系，這對于我們更深入研究二元函數(shù)具有十分重要的意義.

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編輯 李琴芳