【關(guān)鍵詞】推理能力；規(guī)律；探索規(guī)律；和與積的奇偶性

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）26-0058-03

【作者簡介】王海峰，江蘇省南通師范學(xué)校第二附屬小學(xué)（江蘇南通，226001）副校長，一級教師，南通市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)基本功大賽一等獎獲得者。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們在學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。發(fā)展小學(xué)生的推理能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一?；诖?，各個版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材除了系統(tǒng)編排常規(guī)的數(shù)學(xué)知識外，還精心安排了各種“探索規(guī)律”的教學(xué)內(nèi)容，這些內(nèi)容責(zé)無旁貸地成為發(fā)展學(xué)生推理能力的重要載體?！疤剿饕?guī)律”的教學(xué)究竟應(yīng)該關(guān)注什么？“探索規(guī)律”的教學(xué)是否也存在一定的規(guī)律？下面，筆者以蘇教版五下《和與積的奇偶性》一課為例，談?wù)勛约旱慕虒W(xué)實踐與思考。

“和與積的奇偶性”是教材基于“因數(shù)和倍數(shù)”單元的學(xué)習(xí)，精心安排的探索規(guī)律的教學(xué)內(nèi)容，旨在讓學(xué)生通過舉例、觀察、比較和歸納，發(fā)現(xiàn)和與積的奇偶性規(guī)律，積累探索規(guī)律的經(jīng)驗，發(fā)展推理能力。從英國科學(xué)哲學(xué)家邁克爾·波蘭尼的默會認(rèn)識論的角度來看，對于和與積的奇偶性規(guī)律是什么，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)和歸納，也可以準(zhǔn)確地描述和表達(dá)，屬于明確知識。而對于為什么會有這樣的規(guī)律，以及在探索規(guī)律過程中的經(jīng)驗積累和能力提升，則很難直接而充分地表達(dá)，也很難直接傳授和傳播，這些顯然是默會知識。相對于明確知識而言，默會知識的習(xí)得對學(xué)生思維和行為的影響更大。

因此，探索規(guī)律的教學(xué)，要讓學(xué)生真正實現(xiàn)從“雙基”到“四基”的跨越，就要讓這些默會知識不再繼續(xù)沉默。讓學(xué)生通過多種方式領(lǐng)悟和與積的奇偶性的內(nèi)涵，在主動探索規(guī)律的過程中感悟探索規(guī)律的方法，積累探索規(guī)律的經(jīng)驗，應(yīng)是本節(jié)課的教學(xué)重點和難點?；谝陨险J(rèn)識，筆者對這節(jié)課進(jìn)行了如下建構(gòu)，也嘗試著對“探索規(guī)律”教學(xué)的規(guī)律進(jìn)行了梳理和總結(jié)。

一、規(guī)律肯定是“藏”起來的

課始，創(chuàng)設(shè)懸疑情境：班級圖書角一本新書有一頁被撕掉了，借閱者小杰說他清楚記得被撕掉的那一張正反兩頁的頁碼和是138，他完全沒必要把它撕下來。小杰說謊了嗎？

生1：我覺得不是小杰撕的，他都能背下來頁碼，確實沒有必要再撕下來。（很多學(xué)生點頭表示贊同）

生2：我感覺小杰說謊了，他說正反兩頁的頁碼和是138，我算了算，好像沒有兩個連續(xù)自然數(shù)加起來的和是138。

生3：我也發(fā)現(xiàn)了，正反兩頁一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)，奇數(shù)加偶數(shù)的和一定是奇數(shù)，不可能是偶數(shù)。

師：你們能從數(shù)學(xué)的角度思考這個問題，非常好！兩個自然數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)，其中確實蘊藏著一些規(guī)律，今天這節(jié)課我們就一起來研究和與積的奇偶性。（板書課題）

規(guī)律是事物之間內(nèi)在的必然聯(lián)系，它決定著事物發(fā)展的趨向。規(guī)律往往“躲藏”在現(xiàn)象背后，需要深入挖掘才會浮現(xiàn)出來。因此，如何讓學(xué)生由表及里、自然而然地生發(fā)探索規(guī)律的欲望，往往是探索規(guī)律教學(xué)的關(guān)鍵。在本節(jié)課之前，學(xué)生對于加法和乘法算式，更多關(guān)注的是和與積的結(jié)果，而很少關(guān)注和與積的奇偶性，更不會發(fā)現(xiàn)和與積的奇偶性存在的規(guī)律。課始，通過創(chuàng)設(shè)懸疑情境，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，又引入本節(jié)課的探究，讓學(xué)生的注意力很自然地從關(guān)注具體結(jié)果轉(zhuǎn)移到關(guān)注結(jié)果的奇偶性上來。

二、規(guī)律首先是“猜”出來的

師：你們覺得，兩個自然數(shù)相加的和是奇數(shù)還是偶數(shù)，與什么有關(guān)？

學(xué)生通過思考與交流，明確和的奇偶性與兩個加數(shù)的奇偶性有關(guān)，與兩個加數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)或者兩個加數(shù)的大小無關(guān)。

師：兩個自然數(shù)相加，根據(jù)加數(shù)的奇偶性分類，一共有哪幾種情況？對于每種情況，你能提出你的猜測嗎？

生：我感覺奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)。不信的話大家可以舉一些例子進(jìn)行驗證。

師：舉例驗證的確可以幫助我們很快揭開規(guī)律的面紗。下面就請同學(xué)們?nèi)我饬信e一些算式，驗證自己的猜測。

牛頓曾說：沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。猜想和驗證是很重要的數(shù)學(xué)研究方法，也是培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力和初步的演繹推理能力的重要途徑。對于兩個加數(shù)和的奇偶性，學(xué)生可以借助之前學(xué)習(xí)所積累的經(jīng)驗，很輕松地提出自己的猜測，并以一些加法算式為例，初步驗證自己的猜測。在學(xué)生充分交流并初步肯定自己的猜測之后，教師帶領(lǐng)學(xué)生深入思考和的奇偶性規(guī)律背后的道理，邁開了探索規(guī)律的第一步。

三、規(guī)律應(yīng)該是“悟”出來的

師：剛才大家通過舉例驗證了和的奇偶性規(guī)律。但我們?nèi)嗫偣惨簿团e了一百多個例子，會不會在某個角落藏著一個算式，是不符合我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的？我們能不能想辦法弄清它的內(nèi)在道理呢？

學(xué)生先獨立思考，然后小組討論，教師組織學(xué)生交流想法。

生：我覺得不一定要列舉很多算式來證明，假設(shè)有兩筐蘋果，一筐有奇數(shù)個，一筐有偶數(shù)個，現(xiàn)在把兩筐蘋果兩個兩個地用紙包起來，偶數(shù)那筐正好包完，奇數(shù)那筐包到最后一定還剩一個，所以奇數(shù)加偶數(shù)的結(jié)果是奇數(shù)。

師：真聰明，不舉具體的算式了，通過生活中的例子，形象地解釋了奇數(shù)加偶數(shù)等于奇數(shù)。還有不同的想法嗎？

生：我有辦法證明奇數(shù)加奇數(shù)等于偶數(shù)，我從第一個奇數(shù)中拿出1給第二個奇數(shù)，這樣兩個數(shù)都變成了偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)結(jié)果一定還是偶數(shù)。

師：有道理，不過前提是我們要確認(rèn)偶數(shù)加偶數(shù)等于偶數(shù)是正確的。誰能說服我偶數(shù)加偶數(shù)一定等于偶數(shù)？

生：偶數(shù)加偶數(shù)等于偶數(shù)不需要證明，因為第一個數(shù)是2的倍數(shù)，第二個數(shù)也是2的倍數(shù)，我們可以用乘法分配律把公因數(shù)2提取出來，所以它們的和一定是2的倍數(shù)。

生：我們小組認(rèn)為，要確認(rèn)和的奇偶性規(guī)律，不需要把所有的加法算式全部列舉出來。其實，一個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)是由它個位上的數(shù)字決定的，我們只要把0～9這10個數(shù)字相加的情況都列舉出來，就能證明所有的情況了。

師：大家覺得有道理嗎？通過大家剛才的交流，我們現(xiàn)在還需要在列舉之后再進(jìn)行證明嗎？

生（齊答）：不需要！

在學(xué)生充分交流的基礎(chǔ)上，教師課件呈現(xiàn)下圖，帶領(lǐng)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合再次強(qiáng)化對規(guī)律的內(nèi)涵的理解。

學(xué)生并不難發(fā)現(xiàn)和的奇偶性規(guī)律，但為什么會存在這樣的規(guī)律？它的內(nèi)涵是什么？則需要學(xué)生通過多種方式進(jìn)行領(lǐng)悟，只有真正悟出了規(guī)律的內(nèi)在道理，學(xué)生發(fā)現(xiàn)的客觀存在的規(guī)律才能真正內(nèi)化為他們思維內(nèi)在的規(guī)律。本環(huán)節(jié)，先讓學(xué)生討論交流，充分體驗用舉例說明、抽象、演繹等方法描述規(guī)律的過程，再通過數(shù)形結(jié)合，直觀感受規(guī)律內(nèi)在的道理，通過多種方式，讓學(xué)生真正領(lǐng)悟規(guī)律的內(nèi)涵。

四、規(guī)律可以是“用”出來的

教師接著出示：23+16+35，同桌兩人互相說一說，指名匯報。

生1：我們可以算出這3個數(shù)相加的結(jié)果，從而判斷和的奇偶性。

生2：我覺得可以運用剛才發(fā)現(xiàn)的兩個數(shù)相加和的奇偶性規(guī)律，先判斷出23+16的和是奇數(shù)，再判斷“奇數(shù)+35”的和是偶數(shù)。

師總結(jié)：也就是說，三個數(shù)相加，也可以通過運用兩次兩個數(shù)相加和的奇偶性規(guī)律，判斷出三個數(shù)相加和的奇偶性。

教師繼續(xù)課件出示：68+104+26、171+93+245。

生1：第一題的結(jié)果是偶數(shù)，因為前兩個偶數(shù)相加的和是偶數(shù)，第三個數(shù)還是偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)，結(jié)果還是偶數(shù)。

生2：我覺得如果再加幾個偶數(shù)，結(jié)果還是偶數(shù)，也就是說不管多少個偶數(shù)相加，結(jié)果還是偶數(shù)。

師：及時發(fā)現(xiàn)，及時總結(jié)，而且有理有據(jù)，真棒！第二個算式呢？

生3：第二題的結(jié)果是奇數(shù)，因為前兩個奇數(shù)相加的和是偶數(shù)，第三個數(shù)還是奇數(shù)，偶數(shù)加奇數(shù)，結(jié)果是奇數(shù)。

生4：我估計和偶數(shù)類似，不管多少個奇數(shù)相加，結(jié)果還是奇數(shù)。

生5：我不同意，比如第二題再加一個奇數(shù)，結(jié)果就變成偶數(shù)了。

生6：我發(fā)現(xiàn)如果一個算式中全部是奇數(shù)，關(guān)鍵要看奇數(shù)的個數(shù)，如果有奇數(shù)個奇數(shù)，結(jié)果就是奇數(shù)，如果有偶數(shù)個奇數(shù)，結(jié)果就是偶數(shù)。

師：這個猜測很大膽，能說說你的理由嗎？

生6：因為奇數(shù)個奇數(shù)，可以兩個奇數(shù)兩個奇數(shù)地配對，每一對的結(jié)果都是偶數(shù)，但最后還會多出來一個奇數(shù)，前面若干對奇數(shù)的和是偶數(shù)，偶數(shù)加最后多出來的奇數(shù)，結(jié)果一定是奇數(shù)。

師：很有道理，那偶數(shù)個奇數(shù)的結(jié)果，誰能像他一樣說清楚道理？

生7：偶數(shù)個奇數(shù)，可以兩個奇數(shù)兩個奇數(shù)地配對，每一對的和都是偶數(shù)，最后正好配完沒有剩余，不管有多少個偶數(shù)，相加的結(jié)果一定是偶數(shù)。

生8：我把他們的發(fā)現(xiàn)合并起來又有新的發(fā)現(xiàn)，一個加法算式和的奇偶性與加法算式中偶數(shù)的個數(shù)沒有關(guān)系，關(guān)鍵看這個算式中奇數(shù)的個數(shù)，如果有奇數(shù)個奇數(shù)，和就是奇數(shù)，如果有偶數(shù)個奇數(shù)，和就是偶數(shù)。

師：同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)真是太精彩、太到位了！你們已經(jīng)把和的奇偶性規(guī)律全部探索出來了。請大家運用你們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，判斷1+2+3+……+99+100的和是奇數(shù)還是偶數(shù)。

探索規(guī)律的教學(xué)絕不會止步于總結(jié)出規(guī)律，必須讓學(xué)生運用規(guī)律解決問題，而在運用規(guī)律的過程中，往往會有新的發(fā)現(xiàn)，從而豐富原有的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律。這一環(huán)節(jié)，教師設(shè)計的三個連加算式，看似平淡、隨意，實際上獨具匠心、層層遞進(jìn)。第一道算式讓學(xué)生明白只要掌握了兩個數(shù)相加和的奇偶性規(guī)律，就可以通過多次運用，判斷多個數(shù)相加和的奇偶性規(guī)律。第二道算式讓學(xué)生自主總結(jié)發(fā)現(xiàn)，無論多少個偶數(shù)相加，和一定是偶數(shù)。第三道算式讓學(xué)生先由第二道算式產(chǎn)生負(fù)遷移，發(fā)現(xiàn)錯誤的結(jié)論，再通過深入研究得出若干個奇數(shù)相加的和的奇偶性規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生很順利地總結(jié)出任意個數(shù)相加的和的奇偶性規(guī)律。學(xué)生在用中學(xué)，在學(xué)中用，教學(xué)過程由學(xué)生的思維過程推動，規(guī)律也在運用的過程中不斷完善和豐富。

五、規(guī)律必須是“找”出來的

師：剛才，我們通過觀察、猜測、驗證、解釋和運用，發(fā)現(xiàn)了和的奇偶性規(guī)律。由此，你還能聯(lián)想到什么？

生：減法、乘法和除法的結(jié)果是不是也有類似的規(guī)律？

師：如果要研究積的奇偶性，你打算怎么研究？

生1：我想像研究和的奇偶性一樣，先寫幾個乘法算式，看看計算結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)，然后再尋找積的奇偶性有什么規(guī)律。

生2：我覺得規(guī)律找出來之后，還要想一想為什么會有這樣的規(guī)律。

師：看來你們不僅學(xué)會了和的奇偶性規(guī)律，還掌握了探索規(guī)律的規(guī)律，非常棒！下面就請同學(xué)們以學(xué)習(xí)小組為單位，按照剛才兩位同學(xué)所說的研究思路，探索積的奇偶性規(guī)律。

在課的最后環(huán)節(jié)，教師不再步步陪同，而是放手讓學(xué)生自己去探索積的奇偶性規(guī)律。規(guī)律只有讓學(xué)生自己“找”出來，才真正屬于他們。

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?？梢哉f，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程離不開對數(shù)量關(guān)系和空間形式的規(guī)律的探尋。探索規(guī)律的過程是不斷明晰數(shù)學(xué)思想方法、逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程，是培養(yǎng)合情推理和演繹推理能力、發(fā)展創(chuàng)新意識和品質(zhì)的過程。探索規(guī)律的教學(xué)必須首先明確規(guī)律的隱蔽性，通過激趣、猜測、驗證、領(lǐng)悟、運用等多個環(huán)節(jié)的“光合作用”，才能讓規(guī)律在學(xué)生心中生根、發(fā)芽，也才能讓探索規(guī)律的過程在學(xué)生以后的學(xué)習(xí)、生活中開花、結(jié)果。